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高三周考文科数学试题11-7



高三周练文科数学试题(应届复习实验班通用)
命题人:胡亚果 一、选择题: 1.已知集合 M={ y | y ? 2 x , x ? 0 },N={ x | y ? lg(2 x ? x 2 ) },M∩N=( A.(1,2) B.(1,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞) ) 时间:2013-11-7

2 2.设 z ? 1 ? i (i 为

虚数单位) ,则 z ?

A. ? 1 ? i

B. ? 1 ? i

2 ?( ) z C. 1 ? i D. 1 ? i
)

3. 如右边的程序框图,若输入 m ? 4, n ? 6 则输出的 a , i 分别等于( A.12,3 B.12,2 C.24,2 D.24,3

4.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?2013 ,其前 n 项和为 S n , 若

S 2014 S 2012 ? ? 2 ,则 S 2013 的值等于( 2014 2012 A. ?2013 B. ?2012 C. 2012
2 2 2

) D. 2013
0

5. 圆 x ? y ? r 的弦 AB 中点是 M (?1, 0) ,若 ?AOB ? 90 ( O 是坐标原点),那么( A. r ? 1 B. r ?
2

) C. r ? 3 D. r ? 2 ) D.3 个

2

6. 函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? 2) ln x 的零点有( A.0 个 B.1 个 C.2 个

7. 已知函数 f ( x ) 定义在[可能是( )

? ? , ]上,且其导函数的图象如图所示,则函数 y ? f ( x) 4 4
B. y ? ? sin x ? cos x D. y ? cos x

A. y ? sin x C. y ? sin x ? cos x

8.设向量 a =( 3 sin ? + cos ? +1,1) ,b =(1,1) ,θ ∈[

? 2? , ], 3 3

m 是向量 a 在向量 b 方向上的投影,则 m 的最大值是(
A.

)

3 2 2

B.4

C.2 2

D.3.

9.设 ?ABC 的三个顶点都在半径为 3 的球上,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 且 a ? 1, b ? 2, ?C ? 60 , O 为球心,则几何体 O ? ABC 的体积为(
0

)

1

A.

6 2

B.

6 3

C.

3 2

D.

3 3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 10. 已 知 点 ( x, y ) 满 足 约 束 条 件 ?3 x ? y ? 2 ? 0 , 若 函 数 f ( x) ? loga ( x2 ? 1) ?x ? 2 ?

(a ? 0且a ? 1) 图像通过的定点是 (m, n) ,则
A. 1 B.

y?n 的最大值为( x?m
2 D. 4



3 2

C.

11. 已 知 直 线 x ? 2 与 双 曲 线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的 渐 近 线 交 于 E1 , E2 两 点 , 记 4

OE1 ? e1 , OE2 ? e2 ,任取双曲线 C 上的点 P ,若 OP ? ae1 ? be 2 (a ? R, b ? R) ,则
( )
2 2

A. 0 ? a ? b ? 1

B. 0 ? a 2 ? b 2 ?

1 2

C. a ? b ? 1
2 2

D. a 2 ? b 2 ?

1 2

12. 若数列 {an } 满足: 存在正整数 T , 对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成立, 则称数列 {an }

?an ? 1, an ? 1, ? 为周期数列,周期为 T . 已知数列 {an } 满足 a1 ? m (m ? 0) , an ?1 = ? 1 , 0 ? an ? 1. ?a , ? n
则下列结论中错误 的是( .. A. 若 m ? ) B.若 a3 ? 2 ,则 m 可以取 3 个不同的值

4 ,则 a5 ? 3 . 5

C.若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列 . D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数列 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,,为此进行了 5 次试验.根据收集到 的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程 y ? 0.67x ? 54.9

现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为______. 14.在区间 ??? , ? ? 内随机取两个数分别记为 a , b ,则使得函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b ? ? 有
2 2 2

零点的概率为

.
2

15.某几何体的三视图如图所示 ,则此几何体的体积 为 . 16.在四边形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? BC ,

2 2 1 2

2 2

2 2

2 2

BA BA

?

BC BC

?

3 BD BD

,则四边形 ABCD 的面积是



2 2
2

单位(cm)

三.解答题: 17. 设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a2 2 ? 10 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 {bn } 是以函数 y ? 2 sin
2

?x ? 1的最小正周期为首项,以它的最大值为公比的等比

数列,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n . 18. 某学校为准备参加市运动会, 对本校甲、 乙两个田径队中 30 名跳高运动员进行了测试, 并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩(单位:cm) .跳高成绩在 175cm 以上(包 括 175cm)定义为“合格” ,成绩在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“不合格” . (Ⅰ) 求甲队队员跳高成绩的中位数; (Ⅱ) 如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽 取 5 人,则 5 人中“合格”与“不合格”的人数各为多少. (Ⅲ)从甲队 178cm 以上(包括 178cm)选取两人,至少有一人 在 186cm 以上(包括 186cm)的概率为多少. 19. 在如图所示的多面体 ABCDE 中, AB ⊥平面 ACD ,

DE ⊥平面 ACD , AB ? CD ? 1 , AC ? 3 , AD ? DE ? 2 , G 为
AD 的中点.
(Ⅰ)在线段 CE 上找一点 F ,使得 BF ∥平面 ACD ,并加以 证明; (Ⅱ)求三棱锥 G ? BCE 的体积. 20.已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点, 点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满 足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨迹为曲线 E . (1)求曲线 E 的方程; (2)若直线 y ? kx ? k 2 ? 1 与(1)中所求点 N 的轨迹 E 交于不同两点 F、H,O 是坐

2 3 ? OF ? OH ? , ,求 k 2 的取值范围. 3 4 a 1 21.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx, g ( x ) ? x ? ( a ? 0) . x 2
标原点,且
3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 m ?

1 2 ,对 ?x1 , x2 ? [2,2e ] 都有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围; 2e 2

(3)证明: 22 ln 2 ? 23 ln3 ??2n ln n ? 4 ? ? n ? 2? ? 2n?1(n ? 2, 且n ? N * ) . 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22.( 本小题满分 10 分) 选修 4-1 :几何证明选讲 如图, AB 是 ?O 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE ,

CFD , CGE 都是 ?O 的割线,已知 AC ? AB .
(I) 求证: FG // AC ; (II) 若 CG ? 1, CD ? 4 ,求

DE 的值. GF

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的

? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 方程为 ? ? 4cos ? ,直线 l 的方程为 ? ( t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 的 ?y ? 1 t ? ? 2
公共点为 T . (Ⅰ)求点 T 的极坐标; (Ⅱ)过点 T 作直线 l ' , l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2 ,求直线 l ' 的极坐标方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?

x+1 + x-2 +a

(Ⅰ)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x ) 的定义域: (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,求 a 的取值范围.

4

高三周考文科数学试题参考答案(应届复习实验班) 一、选择题
1----4 ADAA 5-----8 BBCC 9—12 BCDD

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
13. 68 14. 1-

? 4

15. 2cm

3

16.

2 3

17. 解: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,则 ?

? ?

a1 ? 2
2

? ?a1 ? 2d ? ? a1 ? d ? ? 10

解得 d ? 2 或 d ? ?4 (舍)所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n (2) y ? 2 sin 2 ?x ? 1=2- cos 2?x 其最小正周期为

2? ? 1 ,最大值为 3, 2?

故数列 ?bn ? 是首项为 1;公比为 3 的等比数列,从而 bn ? 3n ?1 所以 an ? bn ? 2n ? 3n ?1 故 Sn ? 2 ? 3 18. (Ⅰ) 中位数 ?

?

0

? ? ? 4 ? 3 ? ? ? ? ? 2n ? 3 ?
1 n ?1

2 ? 2n ? n 1 ? 3n ? ? ? 2 1? 3

? n2 ? n ?

1 1 n ? ?3 2 2

176 ? 178 ? 177 cm. (Ⅱ) 根据茎叶图, 有“合格”12 人, “不合格”18 2 5 1 ? , 人,用分层抽样的方法,每个运动员被抽中的概率是 30 6 1 1 所以选中的“合格”有 12 ? ? 2 人, “不合格”有 18 ? ? 3 人. 6 6
(Ⅲ)甲队 178cm 以上(包括 178cm)的人数共 6 人,从中任取 2 人基本事件为: (178,181) , (178,182) , (178,184) (178,186) (178,191) (181,182) , (181,184) , (181,186) , (181,191) , (182,184) , (182,186) , (182,191) , (184,186) , (184,191) (186,191)共有 15 个; 其中至少一人在 186cm 以上(包括 186cm)的事件为: (178,186) (178,191) , (181,186) (181,191) , (182,186) , (182,191) , (184,186) , (184,191) , (186,191) ,共有 9 个; 则至少有一人在 186cm 以上(包括 186cm)的概率为

9 3 ? . 15 5

19. (Ⅰ)由已知 AB ? 平面ACD, DE ? 平面ACD ? AB ? ? DE ,

H 是CD的中点 ,所以 FH ? ? ED, FH ? 设 F是CE的中点,
? AB ? 1,DE ? 2 ? AB ?

1 ED , 2

1 DE , ?四边形ABHF是平行四边形? BF ? ??? , 2
5

? AH ? 平面ACD, BF ? 平面ACD ? BF ? ?平面ACD .
(Ⅱ)由 DE ? 平面ACD ?平面ABED ? 平面ACD ,在平面 ACD 内作 CP ? AD于P ,

?平面ABED ? 平面ACD ? AD ?CP ? 平面ABED ,
?CP为三棱锥C ? BGE的高
1 ?VG ? BCE ? VC ? BGE ? S? BGE ? CP , 3
且 S? BGE ? S梯形ABED ? S? ABG ? S? EDG ? 的 CP ?

3 , 由三角形的等面积法 2
y M P N C o A

3 . 2 1 3 . ? S? BGE ? CP = 3 4

? ?VG ? BCE ? VC ? BGE

x

20.解: (1) AM ? 2 AP , NP ? AM ? 0 所以 NP 为线段 AM 的垂直平分线, NA ? NM

NC ? NA ? NC ? NM ? 2 2 ? 2 ? CA
所以动点 N 的轨迹是以 C ?? 1,0? , A?1,0? 为焦点的椭圆, 且 长 轴 长 为 2a ? 2 2 , 焦 距 2c ? 2 , 所 以 a ?

2 ,

x2 c ? 1 b ? 1 曲线 E 的方程为 ? y2 ? 1. 2
2

? x2 2 ? ? y ?1 (2)设F(x1,y1)H(x2,y2) ,则由 ? 2 , 消去 y 得 ? y ? kx ? k 2 ? 1 ?

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4k k 2 ? 1x ? 2k 2 ? 0, ? ? 8k 2 ? 0(? k ? 0)
? x1 ? x2 ? ? 4k k 2 ? 1 2k 2 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

6

??? ? ???? OF ? OH ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? k 2 ? 1)(kx2 ? k 2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k k 2 ? 1( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1 ? (k 2 ? 1) ? 2k 2 4k 2 (k 2 ? 1) k 2 ?1 2 ? ? k ? 1 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
1 ? ? k 2 ? 1, 2

2 k 2 ?1 3 ? ? 2 ? 3 2k ? 1 4
21. 解:(1) f ( x) ?

1 1 ln x ? mx , x ? 0 ? f ?( x) ? ?m 2 2x 当 m ? 0 时 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在(0,+∞)单调递增.
当 m ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 2m

由?

? f ?( x) ? 0 1 得0 ? x ? , 2m ?x ? 0

由?

? f ?( x) ? 0 1 得x ? . 综上所述:当 m ? 0 时, f ( x) 单调递增区间为(0,+∞). 2m ?x ? 0

当 m ? 0 时, f ( x) 单调递增区间为(0, (2)若 m=

1 1 ) ,单调递减区间为( ,+∞). 2m 2m

1 1 1 2 , f ( x) ? ln x ? 2 x ,对 ?x1 , x2 ? [2,2e ] 都有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立等价 2 2e 2 2e 2 于对 ? x ? [2, 2e ] 都有 [ g ( x)]min ? [ f ( x)]max

2 由(I)知在 2,2e 2 上 f ( x) 的最大值 f (e ) =

?

?

1 2

所以实数 a 的取值范围为 ?0,3? . (3)证明: f ( x) ?

a ? 0(a ? 0), x ? [2,2e 2 ] 函数 g ( x) 在[2,2 e 2 ]上是增函数, 2 x a a 1 [ g ( x)]min = g (2) ? 2 ? ,由 2- ? ,得 a ? 3 ,又因为 a ? 0 ,∴ a ∈ ?0,3? 2 2 2 g ?( x) ? 1 ? 1 1 1 1 ln x ? mx , x ? 0 令 m= ,则 f ( x) ? ln x ? x 2 2 2 2

由(I)知 f ( x) 在(0,1)单调递增, (1,+∞)单调递减,

1 (当 x=1 时取“=”号) f ( x) ? f (1) ? ? , 2 1 1 1 ? ln x ? x ? ? , ln x ? x ? 1 ? 22 ln 2 ? 23 ln 3 ? 24 ln 4 ? ? ? 2n ln n < 2 2 2
22 ?1 ? 23 ? 2 ? 24 ? 3 ? ?? 2n ? (n ?1)
令 S = 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?? 2 ? (n ?1)
2 3 4 n

2 S = 23 ?1 ? 24 ? 2 ? 24 ? 3 ? ?? 2n ? (n ? 2) ? 2n?1 ? (n ?1)
①-②得-S= 2 ? 2 ? ?? 2 ? (n ?1) ? 2
2 3 n n ?1

? ?4(1 ? 2n?1 ) ? (n ?1) ? 2n?1

? S = 4 ? (n ? 2) ? 2 n ?1
7

? 22 ln 2 ? 23 ln 3 ? 24 ln 4 ? ?? 2n ln n ? 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 ( n ? 2, n ? N * )
22.解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割线,
2 2 所以 AB ? AD ? AE ,又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC .

所以

AD AC ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ ACE , ? AC AE

所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE ,所以 FG // AC . (Ⅱ)由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,

? ?CGF ? ?CDE, ?CFG ? ?CED .? ?CGF ∽ ?CDE .
? DE CD DE ? .又? CG ? 1, CD ? 4 ,? =4. GF CG GF

23. (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 .

? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 代入上式并整理得 t 2 ? 4 3t ? 12 ? 0 . 将? ?y ? 1 t ? ? 2
解 得 t ?2 3 . ∴ 点 T 的 坐 标 为 ( 1 ,

3其 ) 极 坐 标 为 ( 2 , , 3

?

) .

(Ⅱ)设直线 l ? 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1),即kx ? y ? 3 ? k ? 0 . 由(Ⅰ)得曲线 C 是以 (2, 0) 为圆心的圆,且圆心到直线 l ? 的距离为 3 . 则,

3?k k 2 ?1

? 3 .解得 k ? 0 ,或 k ? 3 .直线 l ? 的方程为 y ? 3 ,或 y ? 3x .

其极坐标方程为 ? sin ? ?

( ? ? R ). 3 24. (I)当 a ? ?5 时,要使函数 f ? x ? ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a . 有意义, 则 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ①当 x ? ?1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,即 x ? ?2 ; ②当 ? 1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 3 ? 5 ,显然不成立; ③当 x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 x ? 3 . 综上所求函数的定义域为 ?? ?,?2? ? ?3,??? . ( II ) 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 则 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a ? 0 恒 成 立 , 即

3 ,或 ? ?

?

?1 ? 2 x, ( x ? ?1) ? | x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?a 恒成立,构造函数 h?x? ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | = ? 3, ( ?1 ? x ? 2) ,求得 ? 2 x ? 1, ( x ? 2) ?
函数的最小值为 3,所以 a ? ?3 .
8



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