9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

(4)高中数学不等式典型例题解析、恒成立、均值不等式的运用



高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一.不等式的性质: 1. 同向不等式可以相加; 异向不等式可以相减: a ? , d ? , a ? ? ? 若 bc 则 c b d (若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ) ,但异向不等式

不可以相加;同向不等式不可 以相减; 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可 以相除,但不能相乘:若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d , a b 则 ? ) ; c d 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若 a ? b ? 0 ,则 a n ? b n 或 n a ? n b; 1 1 1 1 4.若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? ;若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? 。如 a b a b (1)对于实数 a, b, c 中,给出下列命题: ① 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ; ② 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ; 1 1 ③ 若a ? b ? 0, 则a 2 ? ab ? b 2 ; ④ 若a ? b ? 0, 则 ? ; a b b a ⑤ 若a ? b ? 0, 则 ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b 其中正确的命题是______ (答:②③⑥⑦⑧) ; (2)已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ (答: 1 ? 3x ? y ? 7 ) ; c (3)已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则 的取值范围是______ a 1? ? (答: ? ?2, ? ? ) 2? ? 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式) ; 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如 1 t ?1 (1)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较 log a t和 log a 的大小 2 2

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

(答:当 a ? 1 时,

1 t ?1 log a t ? log a ( t ? 1 时取等号); ) 2 2 2 1 (2)设 a ? 2 , p ? a ? , q ? 2 ?a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小 a?2 (答: p ? q ) ; (3)比较 1+ logx 3 与 2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小 4 4 (答: 0 ? x ? 1 或 x ? 时, logx 3 > 2log x 2 ;当 1 ? x ? 时,1+ logx 3 < 当 1+ 3 3 4 2log x 2 ;当 x ? 时,1+ logx 3 = 2log x 2 ) 3 三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到: “一正二定三相等,和定积 最大,积定和最小”这 17 字方针。如 (1)下列命题中正确的是 1 A、 y ? x ? 的最小值是 2 x 2 x ?3 B、 y ? 的最小值是 2 x2 ? 2 4 C、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x (答:C) ; x y (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______

1 t ?1 log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ;当 0 ? a ? 1 时, 2 2

(答: 2 2 ) ; (3)正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则
1 1 ? 的最小值为______ x y

(答: 3 ? 2 2 ) ;
2 2 4.常用不等式有: (1) a ? b ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右 2 2 1?1 a b 2 2 2 的运算结构选用) ; (2) b、 ? R,a ? b ? c ? ab ? bc ? ca(当且仅当 a ? b ? c a、 c b b?m 时,取等号)(3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? ; (糖水的浓度问题) 。如 a a?m 如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________ (答: ?9, ?? ? )

五.证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是: 作差 (商) 后通过分解因式、 配方、 通分等手段变形判断符号或与 1 的大小, 然后作出结论。). 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2? ? ? 常用的放缩技巧有: ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

1 1 1 ? ? ? k ? k ?1 k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k 如(1)已知 a ? b ? c ,求证: a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc2 ? ca 2 ; (2) 已知 a, b, c ? R ,求证: a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c) ; 1 1 x y (3)已知 a, b, x, y ? R? ,且 ? , x ? y ,求证: ; ? a b x?a y ?b (4) 若 a 、 b 、 c 是 不 全 相 等 的 正 数 , 求 证 : a? b ?b c? c a l g ? l g? l? g a ? b ? l c ; l g g l g 2 2 2 (5)已知 a, b, c ? R ,求证: a2b2 ? b2c2 ?c2a2 ? abc(a ? b ? c) ; k ?1 ? k ?

(6)若 n ? N * ,求证: (n ? 1) 2 ? 1 ? (n ? 1) ? n2 ? 1 ? n ; |a|?|b| |a|?|b| (7)已知 | a |?| b | ,求证: ; ? | a ?b| | a?b| 1 1 1 (8)求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 。 2 3 n 六.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次 因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每一个一次因式 的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过 偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规律,写出不等式的解集。如 (1)解不等式 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 。 (答: {x | x ? 1 或 x ? ?2} ) ; (2)不等式 ( x ? 2) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____ (答: {x | x ? 3 或 x ? ?1} ) ; 0 (3) 设函数 f ( x) 、g ( x) 的定义域都是 R, f ( x) ? 的解集为 {x |1 ? x ? 2} , 且 g ( x) ? 0 的解集为 ? ,则不等式 f ( x)?g ( x) ? 0 的解集为______ (答: (??,1) ? [2, ??) ) ; (4)要使满足关于 x 的不等式 2 x 2 ? 9 x ? a ? 0 (解集非空)的每一个 x 的值 至少满足不等式 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0和x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 中的一个, 则实数 a 的取值范围是 ______. 81 (答: [7, ) ) 8 七.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通 分并将分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项的系数为正, 最后用 标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时 可去分母。如 5? x ? ?1 (1)解不等式 2 x ? 2x ? 3 (答: (?1,1) ? (2,3) ) ; ( 2 ) 关 于 x 的 不 等 式 ax ? b ? 0 的 解 集 为 (1,??) , 则 关 于 x 的 不 等 式 ax ? b ? 0 的解集为____________ x?2 (答: (??,?1) ? (2,??) ).
京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

八.绝对值不等式的解法: 1.分段讨论法(最后结果应取各段的并集) :如解不等式 | 2 ? (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合;如解不等式 | x | ? | x ?1|? 3 (答: (??, ?1) ? (2, ??) ) (4)两边平方:如 若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 4 (答: { } ) 3 九.含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分 类讨论是关键. ”注意解完之后要写上: “综上,原不等式的解集是?” 。注意: 按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求 并集. 如 2 (1)若 log a ? 1 ,则 a 的取值范围是__________ 3 2 (答: a ? 1 或 0 ? a ? ) ; 3 ax 2 ? x(a ? R) (2)解不等式 ax ? 1 1 1 a a a { { { (答: ? 0 时, x | x ? 0} ; ? 0 时, x | x ? 或 x ? 0} ; ? 0 时, x | ? x ? 0} a a 或 x ? 0} ) 提醒: (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2) 不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 x?2 ? 0 的解集为 如关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (??,1) ,则不等式 ax ? b __________(答: (-1,2) ) 十一.含绝对值不等式的性质: a、 b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; a、 b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | . 如设 f ( x) ? x2 ? x ? 13 , 实数 a 满足 | x ? a |? 1 , 求证:| f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) 十二. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题: 不等式恒成立问题的常规处理方 式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住 所给不等式的结构特征,利用数形结合法) 1).恒成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B 如(1)设实数 x, y 满足 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时, c 的取值范围是 ______ (答: ? 2 ? 1, ?? ) ; ?
3 1 x |? 2? | x ? | 4 2 (答: x ? R ) ;

?

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/

(2) 不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立, 求实数 a 的取值范围_____ (答: a ? 1 ) ; 2 (3)若不等式 2x ?1 ? m( x ?1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的取值 范围_____ (答: ( (4)若不等式 (?1) n a ? 2 ? 值范围是_____
3 (答: [ ?2, ) ) ; 2 (5)若不等式 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的 取值范围. 1 (答: m ? ? ) 2 2). 能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上

7 ?1 3 ?1 , ); ) 2 2

(?1) n ?1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取 n

f ? x ?max ? A ;

f ? x?min ? B .如

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的

已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值 范围____ (答: a ? 1 ) 3). 恰成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? A 的解集为 D; 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? B 的解集为 D.

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/



更多相关文章:
(4)高中数学不等式典型例题解析、恒成立、均值不等式的运用
(4)高中数学不等式典型例题解析恒成立均值不等式的运用_数学_高中教育_教育...如(1)解不等式 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 。 (答: {x | x ? 1 ...
均值不等式的应用(习题+答案)
此题为两个式子 解析:由 积的形式,但其和不是定...(x)恒正或恒负的形式, 然后运用均值不等式来求最...(4)高中数学不等式典型例... 5页 免费 均值不...
均值不等式最值恒成立
均值不等式最值恒成立_数学_自然科学_专业资料。均值...?g () x 然后运用均值不等式来求最值。 A ?(...(4)高中数学不等式典型例... 5页 免费 ...
均值不等式的正确使用及例题
R , x ? 0 恒成立,运用 x ? 0 等号成立条件, 可解决二次函数型...(4)高中数学不等式典型例... 5页 免费 均值不等式习题 2页 1下载券 均值不...
(可用)7-4均值不等式
(可用)7-4均值不等式_数学_高中教育_教育专区。1...不等式 2004x+4>m>2x-x2 对一切实数 x 恒成立...解析 5 B. 3 25 C. 6 D.不存在 答案 由题...
2高考中均值不等式类型解析
2高考中均值不等式类型解析_数学_高中教育_教育专区...恒成立,则实数 m 的最大值是___. 解析 (1)∵...≥4,故 A 错;由基本不等式得 1 1 a2+b2=(a...
(5)高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)及常见题型
x ?1 解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将...应用三:均值不等式恒成立问题 例:已知 x ? 0,...(4)高中数学不等式典型例... (4)等差数列、等比...
高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)
x ?1 解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将...18 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立...高中数学不等式经典方法... 6页 免费 高中数学不...
高中数学公式完全总结归纳(均值不等式) 2
求y? x ?1 解析一:本题看似无法运用均值不等式,...1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。...高中数学不等式经典方法... 6页 免费 高中数学知识...
高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)
x ?1 技巧:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x...高中数学不等式知识点总... 6页 免费 均值不等式公式总结及应... 6页 1...
更多相关标签:
均值不等式典型例题    均值不等式例题    高一不等式典型例题    基本不等式典型例题    不等式典型例题    均值不等式    均值不等式公式    均值不等式的证明    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图