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双曲线的几何性质(1)



数学就是这样一种东西:她提醒你有 无形的灵魂,她赋予她所发现的真理以 生命;她唤起心神,澄净智能;她给我 们的内心思想添辉;她涤尽我们有生以 来的蒙昧与无知;并赐予你能力去解决 你遇到的问题。
四川省大竹中学

徐天顺

2004年夏季中国在相隔20年后再一次经 历了”电荒”的考验,全国的所有大城市都 在拉闸限电,我们知道电能

是现代生活不可 缺少的能源,于是一夜之间全国上下热电厂 象竹笋一样拔地而起,而象照片中“粗烟囱” 更是随处可见。

冷却通风塔

冷却通风塔外型

如果你是设计师你将如何设计?

曲线 性质 椭圆

方程

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
Y
a

F1

图形

O

F2

X

范围 对称性 顶点

x ? a, y ? b
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

(?a,0), (0,?b)
c e? a
e越大,椭圆越扁 e越小,椭圆越圆

离心率

0<e<1,

如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方 法来研究双曲线,那么双曲线将会具有什么样 的几何性质呢? 1、范围: 2、对称性: 3、顶点: 4、离心率:
F1 o F2 x

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

2

2

参照椭圆,完成下表

曲线
性质 方程 椭圆

双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
Y
a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

图形

F1 O F2 X
F1

B2 A1
o

A2 B1

F2

x

范围 对称性 顶点 离心率

x ? a, y ? b
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

x ? a, y ? R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

(?a,0), (0,?b)
c e? a
e越大,椭圆越扁 0<e<1, e越小,椭圆越圆

(? a,0)
c e? a
e>1,

椭圆的离心率可以决定椭圆的圆扁程度,那 么双曲线的离心率能决定双曲线的什么几何特 征呢?

下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动 时,与直线逐渐靠拢。 方案1:考查点到直线的距离
由双曲线的对称性知,我们只需 证明第一象限的部分即可。

MQ

方案2:考查同横坐标的两点间的距离
y

MN
N Q B2

设M ( x, y )是它上面的点 , b 2 则y ? x ? a 2 ( x ? a) a b N ( x,Y )是直线y ? x a 上与有相同横坐标的点 , b 则Y ? x a

M

A1

O

b a
B1

A2

x

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

2

2

b ? MQ 是点M到直线y ? 的距离,且MQ ? MN 。 a 当x逐渐增大时, MN 逐渐减小,x无限增大, MN 接近于0, MQ 也接近于0

b ? MN ? Y ? y ? ( x ? x 2 ? a 2 ) a b ( x ? x 2 ? a 2 )(x ? x 2 ? a 2 ) ? ? 2 2 a x? x ?a ab ? 2 2 x? x ?a

b 2 b a 2 b 2 ?y ? x ? a ? x 1? ( ) ? x ? Y a a x a
Y Q

N (x,Y)

M (x,y)

O

X

5、渐近线:

x2 y2 b 对于双曲线 2 ? 2 ? 1,直线y ? ? x叫做双曲线 a b a 的渐近线 y
注:渐近线是双曲线特有 的几何性质,它决定着双 曲线张口的开阔与否。

B2
A1

O

b a
B1

A2

x

离心率e与双曲线的图形变化的联系?
c a 2 ? b2 b 2 e? ? ? 1? ( ) a a a

y

e越大,斜率越大,倾斜角越 大,张角越大,张口越开阔 e越小,斜率越小,倾斜角越 小,张角越小,张口越扁狭

B2 A1

O

b a
B1

A2

x

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

标准方程

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

图形
F1 o F2 x

o

x

焦点
范围 对称性 顶点 离心率

(c,0)

x ? a, y ? R

(-c,0)

(0,c)

(0,-c)

y ? a, x ? R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

对称轴:x轴,y轴 中心:原点

(? a,0)
e越大,张口开阔 e>1,

(0,? a)
e越大,张口开阔 e>1, e越小,张口扁狭

渐近线

b y?? x a

e越小,张口扁狭

y ??

a x b

例1、研究双曲线 9 x 2 ? 16y 2 ? 144与9 y 2 ? 16x 2 ? 144 的的几何性质,并完成 下表。

标准方程

x2 y2 ? ?1 16 9
y

y2 x2 ? ?1 16 9 y
o x

图形
F1 o F2 x

范围
对称性 顶点 焦点 离心率 渐近线

x ? 4, y ? R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

y ? 4, x ? R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

(?4,0)
(5,0) (-5,0)

(0,?4)
(0,5) (0,-5)

5 e? 4 3 y ?? x 4

e?

4 y ?? x 3

5 4

总结:

x2 y2 对于双曲线 2 ? 2 ? 1, a b b 它的渐近线方程是 y?? x a

y x 对于双曲线 2 ? 2 ? 1, a b a 它的渐近线是y ? ? x b

2

2

已知双曲线的虚轴长为6,离心率为2, 求双曲线的标准方程。
变式1:已知中心在原点,焦点在坐标轴的双 4 y ? ? x ,且实轴长为6, 曲线的渐近线方程为 3 求此双曲线的标准方程。

变式2:已知中心在原点,焦点在坐标轴 3 的双曲线的渐近线方程为 y ? ? x , 4 求此双曲线的离心率。

尝试练习:
求适合下列条件的双曲线的标准方程。

5 (1)顶点在 x轴上,两顶点的距离是 8,且离心率 e ? 4 4

(2)焦点在 y轴上,焦距是 16,离心率 e ?

(3)双曲线的渐近线为 y ? ? x,且过点( 1 , 2)
解:

3

x2 y 2 (1). ? ?1 16 9
2 2

y2 x2 (2). ? ?1 36 28

(3).y ? x ? 3

总结:
实轴长,虚轴长,离心率、渐近线方程 都不能直接确定双曲线的焦点所在的轴, 在解决相关问题时应该加以区别:

定性条件与定量条件

双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分 绕其虚轴旋转所成的曲面(如图),它的最小 5 半径为12米,被旋转的双曲线的离心率为 3 , 请选择适当的坐标系,求出双曲线的方程。

解: 如图建立直角坐标系xoy,使最小圆的直径x在轴上, 圆心与原点重合,则A(12,0)
设双曲线的方程为 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

5 c 5 根据题意:a ? 12, e ? , ? 3 a 3 ? c ? 20, 又c 2 ? a 2 ? b 2

y

? b ? 16 ? 双曲线的方程是 x2 y2 ? ?1 144 256

o

A x

变式1:若上题中的通风塔的上口直径是18 米,下口直径是36米,试求通风塔的高度。

y

O1
o A

B

x

O2

C

小结:
1、本节课所研究的双曲线的几何性质有哪些?

2、需要注意的两个问题:

(1)、焦点在不同的轴时的渐近线的方程不同
(2)、根据几何性质求双曲线方程时需区分定 性与定量条件。

作业:
教材第113页 第1题、第2题(3、4)

努力吧,同学们,未来 的世界靠你们来创造!



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