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江西省九江第一中学2016届高三数学下学期适应性考试试题(二) 理



九江一中 2016 适应性考试理科数学试卷(二)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x y ? ln(1 ? 2 x ) , B ? x x 2 ? x , ,则 A ? B 为( A. ?0, ? 2

?

/>?

?

?



? 1? ?1 ? ? 1? ? 1 ? B . ? ,1? C. ?0, ? D. ? ? , 0 ? ? 2 ? ? ? ?2 ? ? 2? 1 1 ? ? 2.设 ? ? ??2, ?1, ? , ,1, 2 ? ,则使 f ( x) ? x? 为奇函数且在 (0, ??) 单调递减的 ? 的值的个数是( 2 2 ? ?
A.1 3、已知函数 f ( x) ? ? A. B.2 C.3 ,则 f [ f ( D.4 ) D. ?9

)

?log 4 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

1 )] ? ( 16

1 1 B. ? C. 9 9 9 b?i 4.若复数 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( ) 2?i 1 A. 3 B . 1 C. 3
5.下列有关命题的说法中错误的是 ( .... ) A. 若“ p或q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题 B .“ x ?

D. ?

1 2

?
6

” 是“ sin x ?

1 ”的必要不充分条件 2

C.“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件
? D.若命题 p: “ ? 实数 x ,使 x ? 0 ” ,则命题 p 为“对于 ?x ? R 都有 x ? 0 ”
2 2
3 2 2 6.若 ( ax ? ) 的展开式中 x 项系数为 20,则 a ? b 的最小值为(

2

b x

6



A. 1 B .2 C. 3 D. 4 7.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题: “今有五人分五钱,令上 二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱, 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差 数列.问五人各得多少钱?” ( “钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为 ( ) A.

5 钱 4

B .

4 钱 3

C.

3 钱 2

D.

5 钱 3

8. 阅读如右上图所示的程序框图,若输入 a ? 0.45 ,则输出的 k 值是( A. 3 B . 4 C. 5 9.已知函数 f ( x) ? a sin x ? 3 cos x 关于直线 x ? ? A. e B .1

) D. 6 )

?

6 C. 3e ? 2

对称 , 则

? ( x ? 3)dx 值为(
a

e

1

D. 3e ? 3

1

10.已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,以 F 为圆心和双曲 a 2 b2

线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M, 且 MF 与双曲线的实轴垂直, 则 双曲线 C 的离心率为( ) A.

5 2

B.

5

C.

2

D. 2

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几何体中, 最长的棱的 长度是( ) A. 4 2 B. 2 5 C. 6 D. 4 3

12. 已知定 义域 为 R 的偶 函数 f ( x) 满 足 : ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x )? f (1) , 且当 x ? [2,3] 时 , 。若函数 y ? f ( x) ? loga (| x | ?1) 在区间 (0, ?? ) 内至少有三个不同的零点,则实 f ( x) ? ? 2x2 ? 12x ? 18 数 a 的取值范围是( A. (0, ) B. (0,

2 ) 2

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?x ? 1 ? 13.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 2y ?1 ? 0 ?

.

14.九江一中运动会上高一(1)班 6 名运动员报名参加 4 项比赛,每个项目至少有一人参加且每人只能报 一个项目,其中 A,B 两名运动员报同一项目,则不同的报名种数共有_______种. 15.已知函数 f ? x ? ? 3sin x cos x ? cos2 x ? m (m ? R) 的图象过点 M (

π , 0) . 在△ ABC 中, 角 A ,B , 12
.

C 的对边分别是 a , b , c .若 ccosB + bcosC = 2acosB , 则 f ( A) 的取值范围是
AB ? AC , BC ? CD ? BD ? 2 3 ,则球 O 的表面积为

16. 已知三棱锥 D ? ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上, ?ABC 和 ?DBC 所在的平面互相垂直,且 .

2

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知等比数列错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用 源。 ,数列 ?bn ? 满足错误!未找到引用源。 bn ?

1 (1 ? an ) . 3

(Ⅰ)求错误!未找到引用源。的通项公式; (Ⅱ)设错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。 ,求证:错误!未 找到引用源。 .

18.(本小题满分 12 分)某网站点击量等级规定如下: 点击次数( x 万次) 等级

0 ? x ? 50


50 ? x ? 100


100 ? x ? 150


x ? 150


统计该网站 6 月份每天的点击数如下表: 点击次数( x 万次) 天数

0 ? x ? 50
5

50 ? x ? 100
11

100 ? x ? 150
10

x ? 150
4

(1)若从中任选两天,则点击数落在同一等级的概率; (2)从 6 月份点击量低于 100 万次的天数中随机抽取 3 天,记这 3 天点击等级为差的天数为随机变量 X , 求随机变量 X 的分布列与数学期望.

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且 AD=CD=2 2 , BC=4 2 ,PA=2,点 M 在 PD 上. (Ⅰ)求证:AB⊥PC; (Ⅱ)若二面角 M-AC-D 的大小为 45°,求 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值.

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆

的离心率为

,且过点

,其长轴的左

右两个端点分别为 A,B,直线 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设直线 AD,CB 的斜率分别为

交椭圆于两点 C,D.

,若

,求 m 的值.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? a ln x(a ? R) .
2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
3

(Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 2 x2 ,讨论函数 g ( x) 的单调性; (Ⅲ)若(Ⅱ)中函数 g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,且不等式 g ( x1 ) ? mx2 恒成立,求实数 m 的取 值范围。

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所 做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

F F ? C 如图, 在 ?ABC 中, 若B CD ? AB 于 D , BE ? AC 于 E ,BE 交 CD 于点 F ,
(Ⅰ)求证: AD ? AB ? AE ? AC , (Ⅱ)求线段 BC 的长度.
D

?D F 3 , E F?
A

? 2



F

E

B

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? cos? , ( ? 为参数) ,以直角坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? 2 sin ?

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? sin ? ? 2? cos? ? 4 2 . (Ⅰ)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上任意一点,Q 为曲线 C2 上任意一点,求|PQ|的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 f ( x ) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1 | (Ⅰ)求不等式 f ( x ) ? 6 的解集; (Ⅱ)设 m, n, p 为正实数,且 m ? n ? p ? f (2) ,求证: mn ? np ? pm ? 3 .

九江一中 2016 适应性考试理科数学试卷(二)参考答案 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4

答案 二 填空题 13. 7 三 解答题

C

A

A

C

B

B

B

D

C

C

D

B

14. 240

15. ( ?

1 ,1] 2

16. 16 ?

17.解: (Ⅰ) 因为 ?a n ?是等比数列, 且错误! 未找到引用源。 , 错误! 未找到引用源。 , 所以 q ? ?
3

1 1 ?q?? 8 2
??5 分

? an ? a2 ? q

n?2

1 ? 1? ? ??? ? 4 ? 2?

n?2

n n 1? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? ,? bn ? ?1 ? ? ? ? ? . 3? ? 2? ? ? ? 2? ?

n ? 1 ?? ? 1 ? ? ? ? ??1 ? ? ? ? ? 1 2 n n 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? ? 1 ? ? n 1 ? 2 ?? (Ⅱ) S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ?bn ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 3? ? 2? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? 3 3 1? 2
n n 1? ? 1? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 3 9? ? ? 2? ? ?

??8 分

当 n 为奇数时, S n ? 综上: S n ?

n 1? 1? n 1 n 1? 1? n 1 3 n 1 ? ?1 ? n ? ? ? ;当 n 为偶数时, S n ? ? ?1 ? n ? ? ? ? ? ? 3 9? 2 ? 3 9 3 9 ? 2 ? 3 9 4 3 12
??12 分
2 2 2 C52 ? C11 ? C10 ? C4 4 ? , 2 C30 15

n 1 ? . 3 12

18.解: (1)折点击数落在同一等级的为事件 A 概率 P( A) ?

即点击数落在同一等级的概率为

4 . 15

??4 分 ??5 分

(2) X 的可能取值为 0、1、2、3,

P( X ? 0) ?

2 1 1 3 3 C5 C11 C5 55 C11 C52 11 C11 33 1 , , , ? P ( X ? 3) ? ? , P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? 3 3 3 3 C16 112 C16 56 C16 112 C16 56

随机变量 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

11 1 33 55 56 56 112 112 33 55 22 1 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 数学期望 E ( X ) ? 0 ? ??12 分 112 112 112 56 16 19.解: (1)取 BC 中点 E , 连结 AE ,则 AD ? EC, AD // EC , 所以四边形 AECD 为平四边形, 故 AE ? BC ,
又 AE ? BE ? EC ? 2 2 ,所以 ?ABC ? ?ACB ? 45 , 故 AB ? AC ,又 AB ? PA , AC ? PA ? A ,所以 AB ? 平面PAC ,故有 AB ? PC ??5 分
?

5

(2)如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则 A?0,0,0?, B 2 2,?2 2 ,0 , C 2 2,2 2 ,0 , P?0,0,2?, 设 PM ? ? PD ? 0,2 2?,?2? ?0 ? ? ? 1? ,易得 M 0,2 2? ,2 ? 2? 设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ?x, y, z ? , 则?

?

? ?
?

?

?

?

?

? ?n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ?n1 ? AM ? 2 2?y ? ?2 ? 2? ?z ? 0
? ? 2? ? ? ? ?1 ?

令y?

2 , 得x ? ? 2 , z ?

2? , ? ?1

即 n1 ? ? ? 2 , 2 ,

??8 分

又平面 ACD 的一个法向量为 n2 ? ?0,0,1? ,

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2? ? ?1 ? 2? ? 4?? ? ? ? ?1 ?
2

? cos 45? ,解得 ? ?

1 , 2

??10 分

即 M 0, 2 ,1 , BM ? ? 2 2,3 2,1 , 而 AB ? 2 2 ,?2 2 ,0 是平面 PAC 的一个法向量, 设直线 BM 与平面 PAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? cos ? BM , AB ?? 故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

?

?

?

?

?

?

| ?8 ? 12 | 4?3 3

?

5 3 . 9
??12 分

5 3 9

20.解: (Ⅰ) 由

, 解得

, ∴椭圆方程为

.

??4 分

(II)设

,联立方程



①,??6 分

∴判别式





为①式的根,∴



??8 分

由题意知

,∴

.



,即

,得

②,

6



,∴

,同理



??10 分

代入②式,解得

,即





解得

又∵



(舍去),∴

.??12 分

21.解: (Ⅰ)易知 f ?x ? 的定义域为 ?0, ? ? ? ,且 f ??x ? ? ?2 x ? 所以 f ?x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ?1 . (Ⅱ) g ?x? ? x 2 ? 2x ? a ln x, ?x ? ?0,???? .有 g ?? x ? ? 当 a ? 0 时, g ?x ? 在区间 ? 0,

a ? 2x2 ? a ? , 又 a ? 2, 得 f ??1? ? 0 , x x
??2 分

2x2 ? 2x ? a , x

??3 分

? 1 ? 1 - 2a ? ? 1 ? 1 ? 2a ? ? 上单调减,在区间 ? ? 上单调增; , ?? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

当0? a ?

? 1 ? 1 ? 2a ? ? 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 上单调增,在区间 ? ? 上单调减,在区 , 时 , g ?x ? 在区间 ? 0, ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ?

间?

? 1 ? 1 ? 2a ? ,?? ? ? ? 上单调减; 2 ? ?
1 时, g ?x ? 在区间 ?0,??? 上单调增,无减区间. 2
??6 分

当a ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,函数 g ?x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,则 0 ? a ? 又因为 x1 ? x2 ,所以 0 ? x1 ? 因为

1 且 x1 ? x2 ? 1 , 2

g ?x1 ? x12 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2 x12 ln x1 1 ? ? 1 ? x1 ? ? 2 x1 ln x1 ,于是设 x2 1 ? x1 x1 ? 1
1 1 x? x ? 2 ? 1? ? ? 2 x ln x ? 0 ? x ? ? ,有 h??x ? ? ? 2 ln x ,因为 0 ? x ? 2 2 x ?1 2? ?x ? 1? ?

?

1 ? x2 ? 1 2

?

??8 分

h? x ? ? 1 ? x ?

所以

x? x ? 2 ? ? 1? ? 0 且 2 ln x ? 0 ,得 h??x ? ? 0 ,即 h?x ? 在 ? 0, ? 内单调递减, 2 ?x ? 1? ? 2? ?1? ?2?
3 3 ? ln 2 ,故 m ? ? ? ln 2 2 2
?

所以 h?x ? ? h? ? ? ?

??12 分

22. (Ⅰ)证明:由已知 ?BDC ? ?BEC ? 90 ,所以 B, C , D, E 在以 BC 为直径的圆上,由割线定理知:
7

AD ? AB ? AE ? AC

??3 分

? (Ⅱ)解:如图,过点 F 作 FG ? BC 于点 G ,由已知 ?BDC ? 90 ,又因为 FG ? BC ,所以 B, G, F , D

四点共圆,所以由割线定理知: CG ? CB ? CF ? CD ,① 同理 F , G, C , E 四点共圆,由割线定理知: BF ? BE ? BG ? BC ② ①+②得 CG ? CB ? BG ? BC ? CF ? CD ? BF ? BE 即 BC 2 ? CF ? CD ? BF ? BE ? 30 所以 BC ? 30 23. 解:(Ⅰ)将 ?

??5 分 ??7 分

??10 分

? x ? ? cos? , 代入 ? sin ? ? 2? cos? ? 4 2 得: ? y ? ? sin ?

曲线 C2 的直角坐标方程为 y ? 2x ? 4 2 ? 0 . 曲线 C1 的直角坐标方程为 x ?
2

y2 ?1 4

???5 分

(Ⅱ)由题意可知|PQ|的最小值即为 P 到直线 y ? 2 x ? 4 2 的距离的最小值,
| 2cos ? ? 2sin ? ? 4 2 | 5 2 2 cos(? ? ) ? 4 2 4 ? 5

?

∵d =

所以|PQ|的最小值为 d min ?

2 10 . 5

???10 分

24. (Ⅰ)解:不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 等价于不等式组

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 ? x ? 2 或? 或? ? ??3x ? 3 ? 6 ?? x ? 5 ? 6 ?3x ? 3 ? 6
所以不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 的解集为 (?1,3) (Ⅱ)证明:因为 m ? n ? p ? 3 ,所以 (m ? n ? p) ? m ? n ? p ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9
2 2 2 2
2 2 因为 m, n, p 为正实数,所以由基本不等式得 m ? n ? 2mn (当且仅当 m ? n 时取等号)

??5 分

同理: n ? p ? 2np ; p ? m ? 2mp ,所以 m ? n ? p ? mn ? np ? mp
2 2 2 2

2

2

2

所以 (m ? n ? p) ? m ? n ? p ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9 ? 3mn ? 3np ? 3mp
2 2 2 2

所以 mn ? np ? pm ? 3

??10

8



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