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2013年内蒙古包头市第一中学第一次模拟数学(文科)试题


包头一中 2012——2013 学年度高三年级 校一模文科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,把唯一正确的答案的代码

8.阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间[ 数 x 的取值范围是 A. (— ? ,—2] C.[—l,2]

1 1 , ]内,那么输入实 4 2
( )

B.[—2,—1] D.[2,+ ? )

填在答题卡上)
? 1 ? 1.设 A ? ? x | ? x ? 5, x ? Z ? , B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是( ) ? 2 ?
A. a ? 2. 复数 A. ?

9. 下图是一个几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图是直角 边长分别为 l 与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积等于 ( )
3? 6 4 3? 3

1 2

B.

a?

1 2

C. a ? 1

D. a ? 1 ( )

1 1 ? 的虚部为 i ? 2 1 ? 2i
B. ? i

A.

B.

3? 3

1 5

1 5

C.

1 5

D. i )

1 5

C.

D.

3.已知向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为(

? 2

正视图

侧视图

俯视图

1 A. 2

1 B. ? 2

C.

3 2

3 D. ? 2

2

10. 已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,A , B 是该抛物线上的两点.若线段 AB 的中点到 y
) .

4、若抛物线的焦点坐标为 (2, 0) ,则抛物线的标准方程是 A. y ? 4 x
2

轴的距离为 A.2

B. x ? 4 y
2

C. y ? 8x
2

D. x ? 8 y ( )

5.实数 x 满足 log3 x ? 1 ? sin ? ,则 | x ? 1 | ? | x ? 9 | 的值为 A.8 B. ? 8 C.0 D.10

5 ,则 | AF | ? | BF |? 4 5 B. C.3 2

( D.4
(



11.函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是

)

6 . 设 a , b 是平面 ? 内两条不同的直线, l 是平面 ? 外的一条直线,则“ l ? a , l ? b ” 是“ l ? ? ” 的 A.充要条件 C.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件 12.若函数 y ? f ? x ? ( )

? x ? R? 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x???1,1? 时, f ? x? ? 1? x2 ,函数
,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 [?5, 6] 内的零点的个数为

7.已知集合 A ? x | 2 x ? x ? 3 ? 0 , B ? ? x | y ? 1g
2

?

?

? ?

1? x ? ? ,在区间 ?? 3,3? 上任取一实数 x ,则 x ? 3?
( ) D.

“ x ? A ? B ”的概率为 A.

?lg x ? g ? x? ? ? 1 ?? x ?
( ) A.8

? x ? 0? ? x ? 0?

1 4

B.

1 8

C.

1 12

1 3

B.9

C.10

D.13

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分,将正确答案写在题中横线上)
13.设曲线 y ? ax2 在点 (1, a ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? . 14.已知 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(2,1) ,点 N(x,y)的坐标 x、y 满足不等式组

(Ⅰ)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [10,15) 内的 人数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社 区服务次数在区间 [25,30) 内的概率.

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ???? ???? ? ? ? x ? 3 y ? 3 ? 0 .则OM ? ON 的取值范围是 ?y ?1 ?
15. 某同学为研究函数



f ( x) =

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x ?1)) 0?x 1

D

C P

F

的性质, 构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , P 点 是边 BC 上的一个动点,设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这些 信息, 推知函数的极值点是 ; 函数 f ( x ) 的值域是

频率/组距

分组

频数 10 24

频率 0.25

a
A B E

[10,15)

.

[15, 20)

n
p
0.05 1

16.若函数 f (x) 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内的任意 x, f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 恒成立,则 称 f (x) 为 m 函数,现给出下列函数: ①y?
0 10 15 20 25 30 次数

[20, 25) [25,30)
合计

m
2

M

1 ; x

② y ? 2x ;

③ y ? sin x ;

④ y ? 1nx 19. (本小题满分 12 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别为 1

其中为 m 函数的序号是 17. (本小题满分 12 分)

。 (把你认为所有正确的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出必要的文字说明和解题步骤)
已知等差数列{ an },公差 d>0,前 n 项和为 S n ,且满足 a2 a4 ? 45, a1 ? a4 ? 14 (I)求数列{ an }的通项公式及前 n 项和 Sn;

DD1 、 DB 的中点.
(1)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (2)求证: CF ? B1E ; (3)求三棱锥 VC ? B1FE 的体积. 20. (本小题满分 12 分)

Sn 1 , 若{bn } 也是等差数列时,试确定非零常数 c;并求数列 { (Ⅱ)设 bn ? } 的前 n 项 n?c bn ? bn ?1
和 Tn .

已知椭圆 18.(本题满分 10 分)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为 样本, 得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图如下:

x2 y 2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F 为圆 a 2 b2

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的圆心,且椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 2 ? 1 。
(I)求椭圆方程; (II)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,点 M( ? 为定值。

5 ,0 ) ,证明: MA? MB 4

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x2 ? ln x, a ? R. (1)若 a ? 0, 求f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 存在极值,且所有极值之和大于 5 ? ln

1 ,求 a 的取值范围。 2

请考生在第 22 和第 23 题中任选一题作答,只能选做一道. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一点, 过点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ? CD 于 D , 交半圆于点 E , DE ? 1 . (Ⅰ)求证: AC 平分 ?BAD ; A (Ⅱ)求 BC 的长.

D E C

?O

B

23.(本小题分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处, 极轴与 轴的正半轴重合, 且长度单 位相同.直线 的极坐标方程为: ? ?
10 ,点 P ? 2cos? ,2sin ? ? 2? ,参数 ?? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?

? ??0,2? ? .
(Ⅰ)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 到直线 l 距离的最大值.

包头一中 2012——2013 学年度高三年级 校一模文科数学试题 (答案)
一.选择题 题目 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 A 10 C 11 A 12 B

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m ? 2 ? 6 人,

???7 分

设在区间 [20, 25) 内的人为 ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,在区间 [25,30) 内的人为 ?b1 , b2 ? . 则任选 2 人共有 (a1 , a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1),

(a2 , b2 ),(a3 , a4 ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(b1, b2 ) 15 种情况,
二.填空题 13. 1 14.

?1,6?

15.

1 2



? 5,

2 ? 1 。16.

?

而两人都在 [25,30) 内只能是 ? b1 , b2 ? 一种, ② ③ 。 所以所求概率为 P ? 1 ?

??????9 分 ??????12 分

1 14 ? .(约为 0.93 ) 15 15

19. 解: (1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则 ∵EF 为中位线????2 分

? EF / / D1B
而 D1B ? 面 ABC1D1 , EF ? 面 ABC1D1

? EF / / 面 ABC1D1 ????4 分
(2)等腰直角三角形 BCD 中,F 为 BD 中点 ? CF ? BD ①????5 分

? 正方体 ABCD ? A1B1C1D1
? DD1 ? 面ABCD , CF ? 面ABCD
18.解(Ⅰ)由分组 [10,15) 内的频数是 10 ,频率是 0.25 知, 所以 M ? 40 . 因为频数之和为 40 ,所以 10 ? 24 ? m ? 2 ? 40 , m ? 4 .

10 ? 0.25 , M
??????1 分 ??????2 分 ??????3 分

? DD1 ? CF ②????7 分
综合①②,且 DD1 ? BD ? D, DD1 , BD ? 面BDD B1 1

? CF ? 面BDD1 B1 ,而 B1 E ? 面BDD1 B1 ,
? CF ? B1 E ???????????????????8 分
(3)由(2)可知?CF ? 平面BDD1B1

p?

m 4 ? ? 0.10 . M 40

因为 a 是对应分组 [15, 20) 的频率与组距的商,所以 a ?

24 ? 0.12 .?????4 分 40 ? 5

?CF ? 平面EFB1 即 CF 为高 , CF ? BF ? 2 ????10 分

(Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组 [10,15) 内的频率是 0.25 ,

? EF ?

1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 ∴ S ?B EF ? 即 ?EFB1 ? 90?

1 3 2 ????10 分 EF ? B1 F ? 2 2

1 1 3 2 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? 2 ? 1????12 分 3 3 2

21. 解: (1)函数 f (x ) 的定义域为 (0,??)
a ? 0 时 f / (x ) ? ?
间 (2) f (x ) ? ?
/

1 ? 2x ? 0 对 (0,??) 恒成立,所以 f (x ) 的递减区间是 (0,??) ,无递增区 x

2x 2 ? ax ? 1 x

2x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上 有 根 即 方 程 因 为 f (x ) 存 在 极 值 , 所 以 f (x ) ? ? x
/

23.解:(Ⅰ) 所以点 的轨迹方程为

且参数 .

, 3分

2x 2 ? ax ? 1 ? 0
在 (0,??) 上有根.

1 ? ?x 1 x 2 ? 2 ? 0 ? 2 记方程 2x ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x 1 , x 2 由韦达定理 ? ,所以方程的根必为两不等 a ?x ? x ? 1 ? 2 2 ?
正根。 f (x 1 ) ? f (x 2 ) ? a(x 1 ? x 2 ) ? (x 1 ? x 2 ) ? (ln x 1 ? ln x 2 )
2 2

(Ⅱ)因为 所以 法一:由(Ⅰ) 点

,所以

, . 6分 ,半径为 2.

,所以直线 的直角坐标方程为 的轨迹方程为 ,圆心为

?

1 a2 a2 1 ? ? 1 ? ln ? 5 ? ln 所以 a 2 ? 16 满足方程 2x 2 ? ax ? 1 ? 0 判别式大于零 2 2 4 2

,所以点

到直线 距离的最大值

. 10 分

故所求取值范围为 (4,??)

法 二 : ,即点 到直线 距离的最大值 . 10 分

, 当



22.解: (Ⅰ)因为

,所以



????????????2 分 因为 为半圆的切线,所以 ∥ , , 6分 四点共圆, ,所以△ ∽△ , 8分 , ,所以 平分 .4分 ,又因为

,所以 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 连结 ,因为

所以

,所以

. 10 分


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