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函数的周期性



函数的周期性
定义:如果函数 f(x)对于定义域内的任意 x 的值,存在最小正数 T,使得 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)是以 T 为周期的周期函数。 图像特点:周期性重复出现。 注意:判断函数周期的几个常用的结论: (1) 若对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x 都有 f(x+a)=-f(x)(a 不等于 0),则 函数 f(x)的周期是 2a

(2) 若对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x 都有 f (x+a) =1/ f(x)(a 不等于 0), 则 函数 f(x)的周期是 2a

(3) 若对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x 都有 f(x+a)=-1/ f(x)(a 不等于 0), 则函数 f(x)的周期是 2a (4) 若对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x 都有 f(x+a)= f(x-a)(a 不等于 0), 则函 数 f(x)的周期是 2a

例. 已知偶函数 f(x)满足 f (x+1) = f(x-1), 且 x∈[0,1]时, f (x) =|x-1|+1,求 f (-2015.5) 的值

1

函数的奇偶性与周期性训练题
一、填空题 1.若 f(x)=ax2+bx+3a+b 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则 a=________,b= ________.

2. 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5]. 若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如图所示, 则不等式 f(x)<0 的解集是________.

3. (2010· 全国大联考三江苏卷)定义在[-2,2]上的偶函数 f(x),它在[0,2]上的图象是一条如 图所示的线段,则不等式 f(x)+f(-x)>x 的解集为________.

4. 已知函数 y ? f ( x) 在 R 是奇函数, 且当 x ? 0 时,f ( x) ? x 2 ? 2x , 则 x ? 0 时, f ( x) 的解析式为_______________

5.定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ?
二、选择题

x?m ,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1
2

1、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T, T 则 f (? ) ? 2 T T (A)0 (B) (C) T (D ) ? 2 2
2.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实 数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是(

5 2



A. 0

B.

1 2

C. 1

D.

5 2

3、 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x) =0 在区 间(0,6)内解的个数的最小值是 A.5 B.4 C.3 D.2
)
2

4. (2009 全国卷Ⅰ理) 函数 f ( x ) 的定义域为 R, 若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数, 则(

(A) f ( x ) 是偶函数 (B) f ( x ) 是奇函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2)

(D) f ( x ? 3) 是奇函数

5.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2] 上是增函数,则( ). B. f (80) ? f (11) ? f (?25)

A. f (?25) ? f (11) ? f (80)

C. f (11) ? f (80) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11) 6(2009 辽宁卷)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是( (A) ( ) (B) [

1 3

1 2 , ) 3 3

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

7、定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图 象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式 ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是 (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④
二、解答题 1.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+x+1,求 f(x)的解析式.

.

2.f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x),又当 x∈[0,1]时,f(x)=x-1, 求 f(2016.5)的值.

3

a 3.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R). x (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)-f(x-1)>2x-1; (2)讨论 f(x)的奇偶性,并说明理由.

4 、 定 义 在 [ ?1 , 1] 上 的 函 数 y ? f ( x) 是 减 函 数 , 且 是 奇 函 数 , 若

f (a 2 ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 ,求实数 a 的范围.

5 、 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 其 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 对 任 意
1 x1 , x 2 ? [0, ] , 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) . 2 1 1 (I)设 f (1) ? 2 , 求 f ( ), f ( ) ; 2 4

(II)证明 f ( x) 是周期函数.

4



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