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【步步高】2015届高考数学总复习 第七章 7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理 北师大版


数学

北(理)

§7.3 二元一次不等式(组)与简 单的线性规划问题
第七章 不等式、推理与证明

基础知识·自主学习
要点梳理
1.二元一次不等式表示的平面区域 一般地, 直线 l: ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分: ①直线 l 上的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c=0 ; ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c>0; ③直线 l 另一侧的平面区域内的点(x, y)的坐标满足 ax+by+c<0. 所以,只需在直线 l 的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0, y0), 从 ax0+by0+c 值的正负, 即可判断不等式表示的平面区域.
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基础知识·自主学习
要点梳理
2.线性规划相关概念 名称 目标函数 约束条件 可行解 可行域 最优解 二元线性 规划问题 意义 欲求 最大值 或 最小值 的函数 目标函数中的变量所要满足的不等式组 满足约束条件 的解(x,y) 由所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行 解,通常在可行域的顶点处取得 如果两个变量满足一组一次不等式,求这两 个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫 作二元线性规划问题
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基础知识·自主学习
要点梳理
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3.应用 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解: 在可行域内平行移动目标函数变形后的 直线,从而确定最优解. (4)求最值: 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最 小值.

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) × (4) √(5) √ (6) ×

解析

C C C
2

题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1 】

二元一次不等式(组)表示的平面区域
若 不 等 式 组 所表示的平面区
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x≥0, ? ?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

4 域被直线 y=kx+ 分为面积相 3 等的两部分,则 k 的值是( 7 3 A. B. 3 7 4 3 C. D. 3 4 )

题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1 】

二元一次不等式(组)表示的平面区域
若 不 等 式 组 所表示的平面区
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x≥0, ? ?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

4 域被直线 y=kx+ 分为面积相 3 等的两部分,则 k 的值是( 7 3 A. B. 3 7 4 3 C. D. 3 4 )

画出平面区域,显然点 ? 4? ? ? 0 , 在已知的平面区域 ? 3? ? ? ? 4? ? 内,直线系过定点?0, ? , 3? ? ? 结合图形寻找直线平分平 面区域面积的条件即可.

题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1 】

二元一次不等式(组)表示的平面区域
若 不 等 式 组 所表示的平面区
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x≥0, ? ?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

不等式组表示的平面区域如图 所示.

4 域被直线 y=kx+ 分为面积相 3 等的两部分,则 k 的值是( 7 3 A. B. 3 7 4 3 C. D. 3 4 )
? 4? 4 由于直线 y=kx+3过定点?0,3?. ? ?

因此只有直线过 AB 中点时, 直线 4 y=kx+ 能平分平面区域. 3

题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1 】

二元一次不等式(组)表示的平面区域
若 不 等 式 组 所表示的平面区
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x≥0, ? ?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

因为 A(1,1),B(0,4), ?1 5? 所以 AB 中点 D?2,2?. ? ?
?1 5? 4 当 y=kx+ 过点?2,2?时, 3 ? ? 5 k 4 = + , 2 2 3

4 域被直线 y=kx+ 分为面积相 3 等的两部分,则 k 的值是( 7 3 A. B. 3 7 4 3 C. D. 3 4 )

7 所以 k=3.

题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1 】

二元一次不等式(组)表示的平面区域
若 不 等 式 组 所表示的平面区
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x≥0, ? ?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

因为 A(1,1),B(0,4), ?1 5? 所以 AB 中点 D?2,2?. ? ?
?1 5? 4 当 y=kx+ 过点?2,2?时, 3 ? ? 5 k 4 = + , 2 2 3

4 域被直线 y=kx+ 分为面积相 3 等的两部分,则 k 的值是( A ) 7 3 A. B. 3 7 4 3 C. D. 3 4

7 所以 k= . 3

题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1 】

二元一次不等式(组)表示的平面区域
若 不 等 式 组 所表示的平面区
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x≥0, ? ?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

二元一次不等式 (组 )表示平面 区域的判断方法: 直线定界,测试点定域. 注 意不 等式 中不 等号 有无 等 号,无等号时直线画成虚线, 有等号时直线画成实线.测试 点可以选一个, 也可以选多个, 若直线不过原点,则测试点常 选取原点.

4 域被直线 y=kx+ 分为面积相 3 等的两部分,则 k 的值是( A ) 7 3 A. B. 3 7 4 3 C. D. 3 4

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图,在平面直角坐标系中,已知 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(-2,2), C(2,6),试写出△ABC 及其内部区域所对应的二 元一次不等式组.
解 由已知得直线 AB、BC、CA 的方程分别为直线 AB:x+2y

-2=0,直线 BC:x-y+4=0,直线 CA:5x-2y+2=0,

∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端, ?x-y+4≥0 ? 结合式子的符号可得不等式组为?x+2y-2≥0 ?5x-2y+2≤0 ? .

题型分类·深度剖析
题型二 求线性目标函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 x,y 满足约束条
?x-4y≤-3 ? 件 : ?3x+5y≤25 ? ?x≥1

,求 z

=x+y 的最大值与最小值.

题型分类·深度剖析
题型二 求线性目标函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 x,y 满足约束条
?x-4y≤-3 ? 件 : ?3x+5y≤25 ? ?x≥1

,求 z

作可行域后,通过平移直线 l0: x+y=0 来寻找最优解,求出目 标函数的最值.

=x+y 的最大值与最小值.

题型分类·深度剖析
题型二 求线性目标函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 x,y 满足约束条
?x-4y≤-3 ? 件 : ?3x+5y≤25 ? ?x≥1



先作可行域,

如图所示中 △ABC

,求 z

的区域,且求得 22 A(5,2)、B(1,1)、C(1, ),作出直 5 线 l0:x+y=0,再将直线 l0 平移,

=x+y 的最大值与最小值.

当 l0 的平行线 l1 过点 B 时,可使 z =x+y 达到最小值;
当 l0 的平行线 l2 过点 A 时,可使 z =x+y 达到最大值. 故 zmin=2,zmax=7.

题型分类·深度剖析
题型二 求线性目标函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 x,y 满足约束条
?x-4y≤-3 ? 件 : ?3x+5y≤25 ? ?x≥1

(1)线性目标函数的最大 (小)值一 般在可行域的顶点处取得,也可 能在边界处取得.

,求 z

=x+y 的最大值与最小值.

(2)求线性目标函数的最优解, 要 注意分析线性目标函数所表示 的几何意义,明确和直线的纵截 距的关系.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 ?0≤x≤ 2, ? ?y≤2, ? ?x≤ 2y A.3 (1) 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1), ( B ) D.4 2

→ → 则 z=OM· OA的最大值为 C.3 2 ?0≤x≤ 2, ? 解析 (1)由线性约束条件?y≤2, ?x≤ 2y ? B. 4

画出可行域如图阴影部分所示,目标函数 →· → = 2x+y,将其化为 y=- 2x+z,结合图形可知, z=OM OA
目标函数的图像过点( 2,2)时,z 最大,将点( 2,2)的坐标代入 z = 2x+y 得 z 的最大值为 4.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (2)(2013· 课标全国 Ⅱ)已知 a>0, x, y 满足约束条件 ?x≥1, ? ?x+y≤3, 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a 等于 ?y≥a?x-3?, ? 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2
解析

( B )

(2)作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

易知直线 z=2x+y 过交点 A 时,z 取最小值,
? ?x=1, 由? ? ?y=a?x-3?, ? ?x=1, 得? ? ?y=-2a,

∴zmin=2-2a=1, 1 解得 a=2,故选 B.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

实际生活中的线性规划问题
(2012· 江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超

过 50 亩, 投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、 成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元 ( )

为使一年的种植总利润 ( 总利润=总销售收入-总种植成本 ) 最 大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 A.50,0 C.20,30 B.30,20 D.0,50

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

实际生活中的线性规划问题
(2012· 江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超

过 50 亩, 投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、 成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元 ( )

为使一年的种植总利润 ( 总利润=总销售收入-总种植成本 ) 最

思维启迪

根据线性规划解决实际问题,要先用字母
B.30,20

大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 A.50,0 C.函数,转化为线性规划问题. 20,30 D.0,50

表示变量,找出各量的关系列出约束条件,设出目标

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

实际生活中的线性规划问题
(2012· 江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超

解析 设种植黄瓜 x 亩,韭菜 y 亩, 过 50 亩, 投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、 ?x+y≤50, 成本和售价如下表 ? 0.9y≤ 54, ?1.2x+ 则由题意可知年产量 /亩 年种植成本 /亩 每吨售价 ?x,y∈N , 黄瓜 ? 4 吨 + 1.2 万元 0.55 万元 求目标函数 z=x+0.9y 的最大值, 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 根据题意画可行域如图阴影所示. 为使一年的种植总利润 ( 总利润=总销售收入-总种植成本 ) 最 当目标函数线 l 向右平移,移至点 A(30,20)处时,目标函数取 大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 ( ) 得最大值, A.50,0 B.30,20 即当黄瓜种植 30 亩,韭菜种植 20 亩时,种植总利润最大. C.20,30 D.0,50 答案 B

题型分类·深度剖析
题型三 实际生活中的线性规划问题
【例 3】 (2012· 江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超 线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题 过思维升华 50 亩, 投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、

意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束 成本和售价如下表 条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题, 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 再按如下步骤完成: 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 示的平行直线系中过原点的那一条 l; 为使一年的种植总利润 ( 总利润=总销售收入-总种植成本 ) 最 (2)平移——将 l 平行移动,以确定最优解的对应点 A 的位置; 大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 ( ) (3) 求值——解方程组求出 A 点坐标(即最优解),代入目标函 A. 50,0 B.30,20
数,即可求出最值. C. 20,30 D.0,50

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆

载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车. 某 天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只能 送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利 润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得 利润 350 元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可 得最大利润 z 为 A.4 650 元 C.4 900 元 B.4 700 元 D.5 000 元 ( )

题型分类·深度剖析
解析 设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分

? ?x+y≤12, ?2x+y≤19, ? 则根据条件得 x,y 满足的约束条件为?10x+6y≥72, ? ?x≤8,y≤7, ? ?x∈N+,y∈N+,
目标函数 z=450x+350y.作出约束条件 所表示的平面区域如图,

别为 x,y,

题型分类·深度剖析

然后平移目标函数对应的直线 450x+350y=0(即 9x+7y=0) 知,
当直线经过直线 x+y=12 与 2x+y=19 的交点(7,5)时,目标 函数取得最大值,

即 z=450×7+350×5=4 900.

答案 C

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

求非线性目标函数的最值
(1) 设 实数 x , y 满 足 y 则x的最大值
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x-y-2≤0, ? ?x+2y-4≥0, ?2y-3≤0, ?

为________. (2)已知 O 是坐标原点, 点 A(1,0), 若 点 M(x , y) 为 平 面 区 域 ?x+y≥2, ? ?x≤1, ?y≤2, ? 上的一个动点,则

→ +OM → |的最小值是________. |OA

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

求非线性目标函数的最值
(1) 设 实数 x , y 满 足 y 则x的最大值
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x-y-2≤0, ? ?x+2y-4≥0, ?2y-3≤0, ?

与二元一次不等式(组)表示的

平面区域有关的非线性目标 为________. (2)已知 O 是坐标原点, 点 A(1,0), 函数的最值问题的求解一般 若 点 M(x , y) 为 平 面 区 域 要结合给定代数式的几何意 ?x+y≥2, ? 义来完成. ?x≤1, 上的一个动点,则 ?y≤2, ?

→ +OM → |的最小值是________. |OA

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

求非线性目标函数的最值

(1) 设 实数 x , y 满 足 思维启迪 解析 答案 思维升华 y0, 3 x-y-(1) 2≤ ?解析 表示点(x, ? y y)与原点(0,0)连线的斜率,在点(1,2)处取 x ?x+2y-4≥0, 则 的 最 大 值 x ?到最大值. ?2y-3≤0, → → → +OM →| (2)依题意得,OA+OM=(x+1,y),|OA 为________ . 2 2 = ?x+1? +y 可视为点(x, y)与点(-1,0)间的距 (2)已知 O 是坐标原点, 点 A(1,0), 离, 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平 若 点 M(x , y) 为 平 面 区 域 面区域,结合图形可知, x+y≥2, ? ? (-1,0)向直线 x+y=2 引垂线的垂 x≤1, ?在该平面区域内的点中,由点 上的一个动点,则 ?y≤2, → → ?足位于该平面区域内,且与点(-1,0)的距离最小,因此|OA +OM
|-1+0-2| 3 2 → → |OA +OM|的最小值是________ |的最小值是 = .. 2 2

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

求非线性目标函数的最值
(1) 设 实数 x , y 满 足 y 则x的最大值
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x-y-2≤0, ? ?x+2y-4≥0, ?2y-3≤0, ?
3 为________ . 2

(2)已知 O 是坐标原点, 点 A(1,0), 若 点 M(x , y) 为 平 面 区 域 ?x+y≥2, ? ?x≤1, ?y≤2, ? 上的一个动点,则

3 2 → +OM → |的最小值是________ 2 |OA .

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

求非线性目标函数的最值
(1) 设 实数 x , y 满 足 y 则x的最大值
思维启迪 解析 答案 思维升华

?x-y-2≤0, ? ?x+2y-4≥0, ?2y-3≤0, ?
3 为________ . 2

常见代数式的几何意义有
(1) x2+y2 表 示 点 (x , y) 与 原点 (0,0)的距离; (2) ?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)

(2)已知 O 是坐标原点, 点 A(1,0), 与点(a,b)之间的距离; 若 点 M(x , y) 为 平 面 区 域 y ?x+y≥2, ? ?x≤1, ?y≤2, ? 上的一个动点,则

(3)x表示点(x,y)与原点(0,0)连线

3 2 → +OM → |的最小值是________. |OA 2

的斜率; y-b (4) 表示点(x,y)与点(a,b)连 x-a
线的斜率.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 4 ?x≥1, ? 设不等式组?x-2y+3≥0, ?y≥x, ? 所表示的平面区域是 Ω1,

平面区域 Ω2 是与 Ω1 关于直线 3x-4y-9=0 对称的区域,对于 Ω1 中的任意一点 A 与 Ω2 中的任意一点 B,|AB|的最小值等于 ( B ) 28 12 A. B. 4 C. D.2 5 5
解析 由题意知,所求的|AB|的最小值,即为区域 Ω1 中的点到直线 3x-4y-9=0 的距离的最小值的两倍, 画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,
可看出点(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离最小,
|3×1-4×1-9| 故|AB|的最小值为 2× =4,选 B. 5

题型分类·深度剖析
易错警示系列8 线性规划问题中忽视参数范围致误
典例:(5 分)已知 x,y 满足约束条件|x|+2|y|≤2,且 z=y-mx(m≠0)的最小 值等于-2,则实数 m 的值等于________.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
易错警示系列8 线性规划问题中忽视参数范围致误
典例:(5 分)已知 x,y 满足约束条件|x|+2|y|≤2,且 z=y-mx(m≠0)的最小 值等于-2,则实数 m 的值等于________.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

本题容易出现的错误主要有两个方面:

(1)没有将绝对值不等式转化为不等式组,画不出正确的可行域;
(2)没有对参数 m 的取值情况进行分类讨论,造成漏解,只得到 m=1.

题型分类·深度剖析
易错警示系列8 线性规划问题中忽视参数范围致误
典例:(5 分)已知 x,y 满足约束条件|x|+2|y|≤2,且 z=y-mx(m≠0)的最小 值等于-2,则实数 m 的值等于________.

易 错 分 析
?x≥0, ? ?y≥0, ?x+2y≤2, ? ?x≥0, ? ?y≤0, ?x-2y≤2, ?

规 范 解 答
?x≤0, ? ?y≥0, ?-x+2y≤2, ?

温 馨 提 醒
?x≤0, ? ?y≤0, ?-x-2y≤2, ?

原不等式等价于以下四个不等式组:

因此可画出可行域(如图):
由 z=y-mx 得 y=mx+z. 1 (1)当 m> 时, 由图形可知, 目标函数在点 A(2,0) 2
处取得最小值,

题型分类·深度剖析
易错警示系列8 线性规划问题中忽视参数范围致误
典例:(5 分)已知 x,y 满足约束条件|x|+2|y|≤2,且 z=y-mx(m≠0)的最小 1或-1 . 值等于-2,则实数 m 的值等于________

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

因此-2=0-2m,解得 m=1. 1 (2)当 0<m≤ 时,由图形可知,目标函数在点 D(0,-1)处取得最小值, 2 因此-2=-1-m×0,m 无解. 1 (3)当 m<- 时,由图形可知,目标函数在点 C(-2,0)处取得最小值, 2 因此-2=0+2m,解得 m=-1. 1 (4)当- ≤m<0 时,由图形可知,目标函数在点 D(0,-1)处取得最小值, 2 因此-2=-1-m×0,m 无解.综上,实数 m 的值等于 1 或-1.

题型分类·深度剖析
易错警示系列8 线性规划问题中忽视参数范围致误
典例:(5 分)已知 x,y 满足约束条件|x|+2|y|≤2,且 z=y-mx(m≠0)的最小 1 或-1 . 值等于-2,则实数 m 的值等于________

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)含绝对值不等式表示区域的画法 含有绝对值的不等式所表示的平面区域,应该根据变量的取值情况, 将不等式中的绝对值符号去掉,化为几个不等式组,把每一个不等式 表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含绝对值不等式所表示 的平面区域.

题型分类·深度剖析
易错警示系列8 线性规划问题中忽视参数范围致误
典例:(4 分)已知 x,y 满足约束条件|x|+2|y|≤2,且 z=y-mx(m≠0)的最小 1 或-1 . 值等于-2,则实数 m 的值等于________

易 错 分 析
(2)正确运用分类讨论的方法

规 范 解 答

温 馨 提 醒

本题是线性规划的逆问题, 这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有 参数,当在目标函数中含有参数时,参数的不同取值将要影响到最优解的位 置,因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关 系,对参数的取值情况进行分类讨论,在运动变化中寻找问题成立的条件, 从而得到参数的取值.如果在约束条件中含有参数,那么随着参数的变化, 可行域的形状可能就要发生变化, 因此在求解时也要根据参数的取值对可行 域的各种情况进行分类讨论,以免出现漏解.

思想方法·感悟提高
1. 平面区域的画法: 线定界、 点定域(注意实虚线).

方 法 与 技 巧

2.求最值:求二元一次函数 z=ax+by (ab≠0)的 最值, 将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式: a z z y=- x+ , 通过求直线的截距 的最值间接求 b b b 出 z 的最值.最优解在顶点或边界取得.
3.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关 系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列 出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成 线性规划问题.

思想方法·感悟提高
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二 元一次不等式标准化.

失 误 与 防 范

z 2.在通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值时, z 要注意:当 b>0 时,截距b取最大值时,z 也取最大 z 值;截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时, b z z 截距b取最大值时,z 取最小值;截距b取最小值时, z 取最大值.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

?y≤x+1, ? 1.在直角坐标平面内,不等式组?y≥0, ?0≤x≤t ? 3 域的面积为 ,则 t 的值为 2 A.- 3或 3
解析

所表示的平面区 ( D. 3 )

B.-3 或 1

C.1

?y≤x+1, ? 不等式组?y≥0, ?0≤x≤t ?

所表示的平面

区域如图中阴影部分所示. ? ?y=x+1 由? 解得交点 B(t,t+1),在 y=x+1 中, ? x = t ?

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

?y≤x+1, ? 1.在直角坐标平面内,不等式组?y≥0, ?0≤x≤t ? 3 域的面积为 ,则 t 的值为 2 A.- 3或 3 B.-3 或 1 C.1

所表示的平面区 ( C ) D. 3

令 x=0 得 y=1,即直线 y=x+1 与 y 轴的交点为 C(0,1), ?1+t+1?×t 3 由平面区域的面积 S= = ,得 t2+2t-3=0, 2 2

解得 t=1 或 t=-3(不合题意,舍去),故选 C.

练出高分
1 2 3

A组
4

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? ?x≥0, ?y≥0, 2.直线 2x+y-10=0 与不等式组? ?x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20 区域的公共点有 A.0 个 B. 1 个 C.2 个

表示的平面

( B ) D.无数个

解析

在坐标平面内画出直线 2x+y-10=0 与不等式组表

示的平面区域,

易知直线与此区域的公共点有 1 个.

练出高分
1 2 3

A组
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?3x+y-6≥0, ? 3.(2013· 天津)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ?y-3≤0, ? 标函数 z=y-2x 的最小值为 A.-7 B.-4 C.1 D.2

则目 ( A )

解析 可行域如图阴影部分(含边界) 令 z=0,得直线 l0:y-2x=0,平移直线 l0 知,
当直线 l 过 A 点时,z 取得最小值.
? ?y=3, 由? ? ?x-y-2=0

得 A(5,3).

∴zmin=3-2×5=-7,选 A.

练出高分
1 2 3

A组
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4.O 为坐标原点,点 M 的坐标为(1,1),若点 N(x,y)的坐标满 ?x2+y2≤4, ? 足?2x-y≥0, ?y≥0, ? A. 2 →· → 的最大值为 则OM ON C. 3 D.2 3 ( B )

B. 2 2

解析 如图,点 N 在图中阴影区域内, → → 当 O、M、N 共线时,OM· ON最大,
→· → =(1,1)· 此时 N( 2, 2),OM ON ( 2, 2) =2 2,故选 B.

练出高分
1 2 3

A组
4

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5 . (2013· 山 东 ) 在 平 面 直 角坐 标系 xOy 中 , M 为不 等式 组 ?2x-y-2≥0, ? ?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0 ? 的最小值为 A.2 B. 1 1 C.- 3 1 D.- 2 所表示的区域上一动点,则直线 OM 斜率 ( )

解析 画出图形,数形结合得出答案.

?2x-y-2≥0, ? 如图所示,?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0 ?

练出高分
1 2 3

A组
4

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5 . (2013· 山 东 ) 在 平 面 直 角坐 标系 xOy 中 , M 为不 等式 组 ?2x-y-2≥0, ? ?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0 ? 的最小值为 A.2 B. 1 1 C.- 3 1 D.- 2 所表示的区域上一动点,则直线 OM 斜率 ( C )

所表示的平面区域为图中的阴影部分.
? ?x+2y-1=0, 由? ? ?3x+y-8=0,

得 A(3,-1).

1 当 M 点与 A 重合时,OM 的斜率最小,kOM=-3.

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A组
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?y≤x, ? 6.已知 z=2x-y,式中变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ?x≤2, ?



5 z 的最大值为________ .

解析

在坐标平面内画出题中的不等式表示

的平面区域及直线 2x-y=0,平移该直线, 当平移到经过该平面区域内的点(2,-1)时, 相应直线在 x 轴上的截距最大,
此时 z=2x-y 取得最大值,最大值是 z=2×2-(-1)=5.

练出高分
1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9 10

?x+y≥0 ? 7.设 z=2x+y,其中 x,y 满足?x-y≤0 ?0≤y≤k ?

,若 z 的最大值为 6,

则 k 的值为________,z 的最小值为________.
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表

示的平面区域及直线 2x+y=6,结合图形分 析可知,

要使 z=2x+y 的最大值是 6,直线 y=k 必过 直线 2x+y=6 与 x-y=0 的交点,即必过点(2,2),于是有 k =2;

练出高分
1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

?x+y≥0 ? 7.设 z=2x+y,其中 x,y 满足?x-y≤0 ?0≤y≤k ?

,若 z 的最大值为 6,

2 -2 . 则 k 的值为________ ,z 的最小值为________
平移直线 2x+y=6,当平移到经过该平面区域内的点(-2,2) 时,相应直线在 y 轴上的截距达到最小,
此时 z=2x+y 取得最小值, 最小值是 z=2×(-2)+2=-2.

练出高分
1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如表: a A B 50% 70% b(万吨) c(百万元) 1 0.5 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9 万吨铁,若要求 CO2 的排放量 不超过 2 万吨,则购买铁矿石的最少费用为________百 万元.

练出高分
1 2 3

A组
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专项基础训练
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解析 设购买铁矿石 A、B 分别为 x 万吨,y 万吨,购买 ? ?0.5x+0.7y≥1.9 ?x+0.5y≤2 铁矿石的费用为 z(百万元),则? ? x≥ 0 ? ?y≥0 目标函数 z=3x+6y,
? ?0.5x+0.7y=1.9, 由? ? ?x+0.5y=2, ? ?x=1, 得? ? ?y=2.



记 P(1,2),

画出可行域可知,当目标函数 z=3x+6y 过点 P(1,2)时,z 取到最小值 15.
答案 15

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.若直线 x+my+m=0 与以 P(-1,-1)、Q(2,3)为端点的线段 不相交,求 m 的取值范围.
解 直线 x+my+m=0 将坐标平面划分成两块区域,线段 PQ 与直线 x+my+m=0 不相交, 则点 P、 Q 在同一区域内,
? ?-1-m+m>0 于是,? ? ?2+3m+m>0 ? ?-1-m+m<0, ,或? ? ?2+3m+m<0,

1 所以,m 的取值范围是 m<- . 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

?7x-5y-23≤0 ? 10.已知 x,y 满足条件?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ? 和最小值.

,求 4x-3y 的最大值

?7x-5y-23≤0 ? 解 不等式组?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ? 表示的区域如图所示.
可观察出 4x-3y 在 A 点取到最大值, 在 B 点取到最小值. ? ? ?7x-5y-23=0 ?x=-1 解方程组? ,得? , ? ? ?4x+y+10=0 ?y=-6

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

?7x-5y-23≤0 ? 10.已知 x,y 满足条件?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ? 和最小值.

,求 4x-3y 的最大值

则 A(-1,-6).
? ?x+7y-11=0 解方程组? ? ?4x+y+10=0 ? ?x=-3 ,得? ? ?y=2

.

则 B(-3,2),因此 4x-3y 的最大值和最小值分别为 14, -18.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.(2012· 课标全国)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3), 顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是 A.(1- 3,2) C.( 3-1,2) B.(0,2) D.(0,1+ 3) ( A )

解析 如图,根据题意得 C(1+ 3,2). 作直线-x+y=0,并向左上或右下平移,

过点 B(1,3)和 C(1+ 3,2)时,z=-x+y 取范围的边界值, 即-(1+ 3)+2<z<-1+3,

∴z=-x+y 的取值范围是(1- 3,2).

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

?x+4y≥4 ? ?x+y≤4 2. (2013· 广东)给定区域 D: ?x≥0 ?

.令点集 T={(x0, y0)∈D|x0,

y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点},
6 条不同的直线. 则 T 中的点共确定______
解析 线性区域为图中阴影部分,

取得最小值时点为(0,1),

最大值时点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0), 故共可确定 6 条.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

?x+2y-3≤0, ? 3.已知变量 x,y 满足条件?x+3y-3≥0, ?y-1≤0, ?
?1 ? ? ,+∞? __________ ?2 ? .

若目标函数 z=ax

+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围是

解析 画出 x、y 满足条件的可行域 如图所示, 要使目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)
处取得最大值, 则直线 y=-ax+z 的斜率应小于直线 x+2y-3=0 的斜率, 1 1 即-a<-2,∴a>2.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

?x≥0, ? 4.当 x,y 满足约束条件?y≤x, ?2x+y+k≤0, ?

(k 为负常数)时,能

使 z=x+3y 的最大值为 12,试求 k 的值.

解 在平面直角坐标系中画出不等式组所 表示的平面区域(如图所示). 1 1 当直线 y=-3x+3z 经过区域中的点 A 时,
截距最大.
? ?y=x 由? ? ?2x+y+k=0,

k 得 x=y=-3.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

?x≥0, ? 4.当 x,y 满足约束条件?y≤x, ?2x+y+k≤0, ?

(k 为负常数)时,能

使 z=x+3y 的最大值为 12,试求 k 的值.

k k ∴点 A 的坐标为(- ,- ). 3 3 k k 4 则 z 的最大值为- +3(- )=- k, 3 3 3 4k 令- 3 =12,得 k=-9.
∴所求实数 k 的值为-9.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.(2013· 湖北)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、 乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次. A、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地 的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,公司拟组 建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多 于 A 型车 7 辆.若每天运送人数不少于 900,且使公司 从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆?

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5



设 A 型、B 型车辆的数量分别为 x,y 辆,相应营运成

本为 z 元,则 z=1 600x+2 400y. ? ?x+y≤21, ?y≤x+7, 由题意,得 x,y 满足约束条件? ?36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),
Q(7,14),R(15,6).

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

由图可知,当直线 z=1 600x+2 400y 经过可行域的点 P 时, z 直线 z=1 600x+2 400y 在 y 轴上的截距 最小,即 z 取 2 400 得最小值.

故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆.


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