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江苏省常州高级中学2007~2008学年高三第三次阶段教学质量调研理科数学试卷



2007~ 江苏省常州高级中学 2007~2008 学年高三第三次阶段教学质量调研理科数学试卷
2007.11.16 说明: 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 说明:1. 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 分钟. 2. 本卷总分 200 分,考试时间 150 分钟. 填空题( 一.填空题(本大题满分 70 分)
2 2 1.命题" x ∈ R

, x 2 x + 4 > 0 "的否定为__ x ∈ R, x 2x + 4 ≤ 0 ___.

2.a,b 都是单位向量,且 a 与 b 的夹角为 60°,则|a+b|=____ 3 ________. 3.已知集合 M = { 1,1}, N = x ∈ Z

1 < 2 x +1 < 4 ,则 M ∩ N = 2 4.若等比数列{ a n }的前三项和 S3 = 1 且 a3 = 1 ,则 a 2 等于 -1
6.将函数 y = sin(2 x



{-1} . 2

.

2 5.已知圆 x 2 + y 2 6 x 7 = 0 与抛物线 y = 2 px ( p > 0) 的准线相切,则 p 为

.

π
3

) 的图象先向左平移

π
6

,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 y=sinx . .

2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为
7.函数 f ( x ) = log 1 (2 x 2 3 x + 1) 的单调递减区间是
2

(1, +∞ )

2 x 1, x ≥ 0, 8.设函数 f ( x) = 3 若f (a ) > a ,则实数 a 的取值范围是 1 , x < 0. x

( ∞, 1)

.

9.已知向量 m = (sin θ , 2 cos θ ), n = ( 3, ) ,当 θ ∈ [0, π ] 时,函数 f (θ ) = m n 的值域是

[ 1, 2]

1 2

.

x y + 5 ≥ 0 10.已知 x, y , z 满足 x ≤ 3 , 且z = 2 x + 4 y 的最小值为-6,则常数 k= x + y + k ≥ 0
11.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的图象关于点 (

0

___.

3 3 , 0) 对称,且满足 f ( x ) = f ( x + ) ,又 4 2
1 .

f ( 1) = 1 , f (0) = 2 ,则 f (1) + f (2) + f (3) + + f (2008) =
12.若不等式

t t+2 ≤ a ≤ 2 ,在 t ∈ (0,2] 上恒成立,则 a 的取值范围是 t +9 t
2

2 13 ,1

.

13.一水池有 2 个相同速度的进水口,1 个出水口,一个水口的进水速度,出水速度分别如图甲, 乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口),给出以下 3 个 论断: 进水量 出水量 蓄水量

1

2

6 5

0

1

时间

0

1

时间

0

3 4

6 时间

甲 乙 丙 ①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水. 则错误 错误的论断是__②③_________(把你认为是符合题意的论断序号都填上). 错误 14.如下图,第(1)个多边形是由正三角形"扩展"而来,第(2)个多边形是由正四边形"扩 展"而来,……如此类推.设由正 n 边形"扩展"而来的多边形的边数为 an , 则 a6 = __42__ ;

1 1 1 1 = + + + + a3 a4 a5 a99

_____

97 . 300

二.解答题(本大题满分 90 分) 解答题(本大题满分 15. (本题满分 14 分)

解: (1) α = 0 时,表示两条平行的直线,方程为 y = ±1 ; (2) α ∈ 0,

已知 α ∈ [ 0, π ] ,试讨论方程 x 2 sin α + y 2 cos α = 1 所表示的曲线的类型. 2分

π 时,0< sin α < cos α ,表示焦点在 x 轴上的椭圆;2 分 4 π 2 (3) α = 时, sin α = cos α = ,表示圆;2 分 4 2 π π (4) α ∈ , 时, sin α > cos α > 0 ,表示焦点在 y 轴上的椭圆;2 分 4 2
时,表示两条平行的直线,方程为 x = ±1 ;2 分 2 π (6) α ∈ , π 时, sin α > 0, cos α < 0 ,表示焦点在 x 轴上的双曲线;2 分 2 (7) α = π 时, sin α = 0, cos α = 1 ,不表示任何曲线.2 分 16. (本题满分 14 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 tan A + tan C = 3 (tan A tan C 1) , 且b = (5) α =

π

7 3 3 , S ABC = . 2 2

求: (1)角 B;

(2)a + c 的值.

解: (1)∵ tan A + tan C = tan( A + C ) (1 tan A tan C ) ,

∴ tan A + tan C = tan B(1 tan A tan C ).
∵ tan A + tan C = 3(tan A tan C 1),∴ tan B = 3.
∵ B ∈ (0, π )
(2)∵ S ABC =

∴B =

π
3

……………………………………………7 分

1 π 3 3 ac sin B, 且B = , S ABC = ,∴ ac = 6 . 2 3 2 7 7 ∵ b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B, b = , ∴ ( )2 = (a + c) 2 2ac(1 + cos B ), 2 2 11 ∵a + c > 0 ∴a + c = …………………7 分 2

∴ (a + c)2 =

121 4

17. (本题满分 12 分) 如图所示,校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器.已知喷水器的 喷水区域是半径为 5m 的圆.问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置,才能使花坛的面 积最大且能全部喷到水?

喷水器

喷水器





解:设花坛的长,宽分别为 xm,ym, 根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰好位于喷水区域的边界.3 分 依题意得: ( ) + ( ) = 25 , x > 0, y > 0 ) (
2 2

x 4

y 2

3分

x2 + y 2 = 100 的条件下,求 S = xy 的最大值. 4 x x 2 x x2 2 法一:∵ S = xy = 2 y ≤ ( ) + y = 100 ,由 = y 和 + y 2 = 100 及 x > 0, y > 0 得: 2 2 2 4 x = 10 2 , y = 5 2 ∴S max = 100 4分
问题转化为在 x > 0, y > 0 , 法二:∵ x > 0, y > 0 ,

x2 + y 2 = 100 , 4

∴ S = xy = x 100

x2 x2 1 2 2 2 = x (100 ) = ( x 200) + 10000 4 4 4 2 x 2 ∴当 x = 200 ,即 x = 10 2 , S max = 100 由 + y 2 = 100 可解得: y = 5 2 . 4 答:花坛的长为 10 2m ,宽为 5 2m ,两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心,则符合要
2分

求.

18. (本小题满分 14 分) 如图 F1 ( c,0), F2 (c,0) 为双曲线 E 的两焦点,以 F1F2 为直径的圆 O 与双曲线 E 交于 M,N,M1,N1, B 是圆 O 与 y 轴的交点,连接 MM1 与 OB 交于 H,且 H 是 OB 的中点, (1)当 c=1 时,求双曲线 E 的方程; (2)试证:对任意的正实数 c,双曲线 E 的离心率为常数. 解: (1)由 c=1 有 B(0,1) , H (0, ), M ( 设 E:

1 2

3 1 , ), 2 2

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0), M 在E上, a2 b2 2 1 a 2 + b2 = 1 a = 2 E : 2x 2 2 y 2 = 1 则 3 解得 1 2 2 =1 b 2 = 1 4a 4b 2
(2) F1 ( c,0), B (0, c), H (0, ), M (

7分

c 2

3c c , ) 2 2

2 a + b 2 = c 2 2 x2 y2 c2 3c 设 E: 2 2 = 1( a > 0, b > 0), 2 = 1, 即3e 4 8e 2 + 4 = 1 2 a b 4b 4a c e = a 2 e 2 = 2或e 2 = (舍),∴ e = 2 为常数. 7分 3
19. (本题满分 18 分) ,若数 已知数列 {a n } , {bn } , {c n } 的通项满足 bn = a n +1 a n , c n = bn +1 bn ( n ∈ N )

则称数列 {a n } 是二阶等差数列.

列 {bn } 是一个非零常数列,则称数列 {a n } 是一阶等差数列;若数列 {c n } 是一个非零常数列, (Ⅰ) 试写出满足条件 a1 = 1 , b1 = 1 , c n = 1 的二阶等差数列 {a n } 的前五项;

(Ⅲ)若数列 {a n } 首项 a1 = 2 ,且满足 c n bn +1 + 3a n = 2 n +1 ( n ∈ N ) , 求数列 {a n } 的 通项公式 a n . 解:(Ⅰ)

(Ⅱ)求满足条件(1)的二阶等差数列 {a n } 的通项公式 a n ;

a1 = 1 , a 2 = 2 , a3 = 4 , a 4 = 7 , a 5 = 11 ………………4 分
bn +1 bn = c n = 1, n = 1,2,3,

(Ⅱ) 依题意

所以 bn = (bn bn 1 ) + (bn 1 bn 2 ) + (bn 2 bn 3 ) + + (b2 b1 ) + b1

= 1 + 1 + 1 + + 1 = n.

……………………2 分



a n+1 a n = bn = n, n = 1,2,3,

所以 a n = (a n a n 1 ) + ( a n 1 a n 2 ) + ( a n 2 a n 3 ) + + ( a 2 a1 ) + a1

= ( n 1) + ( n 2) + + 2 + 1 + 1

=

n(n 1) n2 n + 2 +1 = 2 2

………………4 分

(Ⅲ)由已知 c n bn +1 + 3a n = 2 n +1 ,可得

bn +1 bn bn +1 + 3a n = 2 n +1 ,


bn 3a n = 2 n +1 ,
……………2 分 ……………2 分

∴ a n +1 = 4a n + 2 n +1 解法一:整理得: a n +1 + 2 n +1 = 4( a n + 2 n ) ,

因而数列 a n + 2 n 是首项为 a1 + 2 = 4 ,公比为 4 的等比数列, ∴ a n + 2 n = 4 4 n 1 = 4 n , 即

{

}

an = 4 n 2 n

……………4 分

解法二: 在等式 a n +1 = 4 a n + 2 n +1 两边同时除以 2 n +1 得:

a n +1 a = 2 n +1 n +1 2 2n
令 kn =

……………2 分

an ,则 k n +1 = 2k n + 1 ,即 k n +1 + 1 = 2( k n + 1) . 2n

故数列 {k n + 1} 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列. 所以 k n + 1 = 2 2 n 1 = 2 n ,即 k n = 2 n 1 ,∴ a n = 2 n k n = 2 n ( 2 n 1) = 4 n 2 n …4 分 解法三: ∵ a1 = 2 , 法三: 法三 ∴ a 2 = 12 = 2 2 × ( 2 2 1) , a 3 = 56 = 2 3 × (2 3 1) , a 4 = 32 = 2 4 × ( 2 4 1) … 猜想: a n = 2 n ( 2 n 1) = 4 n 2 n ……………2 分

下面用数学归纳法证明如下: (ⅰ)当 n = 1 时, a1 = 2 = 4 2 ,猜想成立; (ⅱ)假设 n = k 时,猜想成立,即 a k = 4 k 2 k 那么当 n = k + 1 时,

a k +1 = 4a k + 2 k +1 = 4( 4 k 2 k ) + 2 k +1 = 4 (k +1) 2 k +1 ,结论也成立
∴ 由(ⅰ),(ⅱ)可知, a n = 4 n 2 n 20. (本题满分 18 分) 已 知 函 数 f ( x ) = ax + 4 x 2 满 足 对 任 意 x1 , x2 ∈ R 且 x1 ≠ x2 , 都 有
2

……………4 分

x + x f ( x1 ) + f ( x2 ) f 1 2 < . 2 2
(1)求实数 a 的取值范围; (2)试讨论函数 y = f ( x ) 在区间 [ 1,1] 上的零点的个数; 有一个最小的负数 M ( a ) , 使得 x ∈ M ( a ) , 0 时,4 ≤ f ( x ) ≤ 4 (3) 对于给定的实数 a , 都成立,则当 a 为何值时, M ( a ) 最小,并求出 M ( a ) 的最小值. 解: (1)∵ f

x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 2
2

ax 2 + bx1 + c + ax2 2 + bx2 + c x +x x +x = a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 2 2

=

a 2 ( x1 x2 ) < 0 , 4

4分

又∵ x1 ≠ x2 ,∴必有 a > 0 ,∴实数 a 的取值范围是 (0,+∞ ) . 2 分 (2) = 16 + 8a ,由(1)知: a > 0 ,所以 > 0 . 由 a > 0 , f (1) = a + 2 > 0

① 当 0 < a < 6 时,总有 f ( 1) < 0 , f (0) = 2 <0 , f (1) > 0 , 故 0 < a < 6 时, f (x ) 在 [ 1,1] 上有一个零点; 2分

a > 0 1 < 4 < 1 ②当 a > 6 时, ,即 a > 6 时, f (x ) 在 [ 1,1] 上有两个零点;2 分 2a f (1) = a + 4 2 > 0 f (1) = a 4 2 > 0
③当 a = 6 时,有 f ( 1) = 0 , f (0) = 2 <0, f (1) > 0 , 故 a = 6 时, f (x ) 在 [ 1,1] 上有 两个零点. 综上:0 < a < 6 时, f (x ) 在 [ 1,1] 上有一个零点; a ≥ 6 时, f (x ) 在 [ 1,1] 上有两个零点. 2分
2

(3)∵ f ( x ) = ax 2 + 4 x 2 = a x + 显然 f ( 0 ) = 2 ,对称轴 x = ①当 2



2 4 2 , a a

2 < 0. a

4 2 < 4 ,即 0 < a < 2 时, M ( a ) ∈ , 0 ,且 f M ( a ) = 4 . a a

令 ax 2 + 4 x 2 = 4 ,解得 x =

2 ± 4 2a , a

此时 M ( a ) 取较大的根,即 M ( a ) = ∵ 0 < a < 2 ,∴ M ( a ) = ②当 2

2 + 4 2a 2 = , a 4 2a + 2
2分

2 > 1 . 4 2a + 2

4 2 ≥ 4 ,即 a ≥ 2 时, M ( a ) < ,且 f M ( a ) = 4 . a a 2 ± 4 + 6a , a 2 4 + 6a 6 = , a 4 + 6a + 2
3分

令 ax 2 + 4 x 2 = 4 ,解得 x =

此时 M ( a ) 取较小的根,即 M ( a ) = ∵ a ≥ 2 ,∴ M ( a ) =

6 ≥ 3 . 当且仅当 a = 2 时,取等号. 4 + 6a 2
1分

∵ 3 < 1 ,∴当 a = 2 时, M ( a ) 取得最小值-3.

( 三,附加题: 本大题满分 40 分,从 1,2,3 中选两题作答,三题都做只按 1,2 两题评分;4, 附加题: , , 中选两题作答, , 两题评分; , 5 两题必答) 两题必答) 1.(坐标系与参数方程选做题) (坐标系与参数方程选做题) (1)在极坐标系中,设圆 ρ = 4 上的点到直线 ρ cos θ + 3 sin θ = 6 的距离为 d,求 d 的最大 值; 简答:d 的最大值为 7. (2)θ取一切实数时,连接 A(4sinθ,6cosθ)和 B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点为 M, 求点 M 的轨迹. 简答:轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆 2.(不等式选讲选做题) (不等式选讲选做题) 选讲选做题 (1)已知实数 a,b,x,y 满足 a 2 + b 2 = 1, x 2 + y 2 = 3 ,求 ax + by 的最大值;
2 2 2 2 2 解析: 解析:由柯西不等式 ( a + b )( x + y ) ≥ ( ax + by ) ,得 ax + by 的最大值为 3 .

(

)

x 2 y2 + = 1. 8 18

(2)若 x<1,求 2-x+

4 的最小值,并求此时 x 的值. ( x 1)2

简答:最小值为 4,此时 x 的值为-1. 3.(几何证明选讲选做题) 选讲选做题) (几何证明选讲选做题 (1)如图,平行四边形 ABCD 中, AE = EB , 若 AEF 的面积等于 1cm 2 ,求 CDF 的面积;

D
F

C

A

E

B

2 解析: 解析:显然 AEF 与 CDF 为相似三角形,又 AE : CD = 1: 2 ,所以 CDF 的面积等于 4cm .

(2)如右图所示, AB 是圆 O 的直径, AD = DE ,

AB = 10 , BD = 8 ,求 cos ∠BCE 的值.
解析: 解析:连结 AD,BE , 则在 ABD 和 BCE 中: ∠ADB = ∠BEC = 90 ,
0

且 ∠ABD = ∠CBE ,所以 ∠DAB = ∠ECB , 故 cos ∠BCE = cos ∠DAB =

3 . 5

4.已知平面上一个定点 C(-1,0)和一条定直线 L:x=-4,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥L,垂足为 Q ,( PQ + 2 PC ) ( PQ 2 PC ) = 0.(1)求点 P 的轨迹方程; (2)求 PQ PC 的 取值范围.

解: (Ⅰ)由 ( PQ + 2 PC ) ( PQ 2 PC ) = 0 , | PQ |2 = 4 | PC |2

2分

设 P(x,y) ,得 | x + 4 |2 = 4[( x + 1) 2 + y 2 ] , 3x 2 + 4 y 2 = 12 , ∴ 点 P 的轨迹方程为

x2 y 2 + = 1. 4 3

3分

(Ⅱ)设 P(x,y) PQ = (4 x,0) , PC = (1 x, y ) ,

5 9 PQ PC = (4 x,0) (1 x, y ) = x 2 + 5 x + 4 = ( x + ) 2 2 4
由 x ∈ [2, 2] ,故有 PQ PC ∈ [2,18] 5.已知数列 {a n }的各项都是正数, 且满足 : a0 = 1, an +1 = (1)求 a1 , a2 ; (2)证明 an < an +1 < 2, n ∈ N . 解: (1) a0 = 1, a1 =

2分 3分

1 an (4 an ), n ∈ N . 2

1 3 1 15 a0 (4 a0 ) = , a2 = a1 (4 a1 ) = , 2 2 2 8 3 , 2
∴ a 0 < a1 < 2 ,命题正确.

4分

方法一 用数学归纳法证明: 1°当 n=0 时, a0 = 1, a1 =

2°假设 n=k 时有 a k 1 < a k < 2. 则 n = k + 1时, a k a k +1 =

1 1 a k 1 (4 a k 1 ) a k (4 a k ) 2 2 1 1 = 2(ak 1 ak ) (ak 1 ak )(ak 1 + ak ) = (ak 1 ak )(4 ak 1 ak ). 2 2 4 a k 1 a k > 0,

而 a k 1 a k < 0. 又 a k +1 =

∴ a k a k 1 < 0.

1 1 a k (4 a k ) = [4 (a k 2) 2 ] < 2. ∴ n = k + 1 时命题正确. 2 2
6分

由 1°,2°知,对一切 n∈N 时有 a n < a n +1 < 2. 方法二:用数学归纳法证明: 1°当 n=0 时, a0 = 1, a1 =

3 , ∴ 0 < a 0 < a1 < 2 ; 2

2°假设 n=k 时有 a k 1 < a k < 2 成立,

1 x(4 x) , f (x) 在[0,2]上单调递增,所以由假设 2 1 1 1 有: f ( a k 1 ) < f ( a k ) < f ( 2), 即 a k 1 ( 4 a k 1 ) < a k ( 4 a k ) < × 2 × ( 4 2), 2 2 2
令 f ( x) = 也即当 n=k+1 时

a k < a k +1 < 2 成立,所以对一切 n ∈ N , 有a k < a k +1 < 2 . 6 分


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