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高一函数综合题训练



高一数学函数综合题
f(x) ? x 2 ? x ? b, 且 f ?log2 a ? ? b, log2 f(a) ? 2 (a ? 1 ), ( I )求 f ?log2 x ?的最小值; ( II ).当x 取何值时,f ?log2 x ? ? f( 1 )且 log2 ? f(x)? ? f( 1 ) ?

2、已知函数 f ( x) ? x

?
2

2 ? 4, ( x ? 0) , g ( x) 和 f ( x) 的图像关于原点对称。 x

(I)求函数 g ( x) 的解析式;

, 0) 上的单调性,并给予证明; (II)试判断 g ( x) 在 (?1
(III)将函数 g ( x) 的图象向右平移 a(a ? 0) 个单位,再向下平移 b(b ? 0) 个单位,若对于 任意的 a ,平移后 g ( x) 和 f ( x ) 的图象最多只有一个交点,求 b 的最小值。

1

? 2| x ?2| x ? a 3、已知函数 f ( x) ? ? | x ?10| , x?a ?2
(I)当 a =1 时,求 f ( x) 最小值; (II)求 f ( x) 的最小值 g (a ) ; (III)若关于 a 的函数 g (a ) 在定义域 ? 2,10? 上满足 g (?2a ? 9) ? g (a ? 1) ,求实数 a 的取 值范围.

4、若 A={x|x2-2x-3<0},B={x|(

1 x-a ) ? 1} 2

(1)当 A ? B= ? 时,求实数 a 的取值范围; (2) 当 A ? B 时,求实数 a 的取值范围;

2

5、已知二次函数 f(x)=ax2+bx,且 f(x+1)为偶函数,定义:满足 f(x)=x 的实数 x 称为函数 f(x) 的“不动点” ,若函数 f(x)有且仅有一个不动点, (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)= f(x)+
6 k 1 2 + x 在 (0, ]上是单调减函数,求实数 k 的取值范围; 3 x 2

(3)在(2)的条件下,是否存在区间[m,n](m<n),使得 f(x)在区间[m,n]上的值域为[km,kn]? 若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由。

6、函数 f ( x) ? x ?

a ( a 为常数)的图象过点 (2,0) , x

(Ⅰ )求 a 的值并判断 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ )函数 g ( x) ? lg[ f ( x) ? 2 x ? m] 在区间 [2,3] 上 有意义,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ )讨论关于 x 的方程 f ( x) ? t ? 4 x ? x 2 ( t 为常数)的正根的个数.

3

7、已知定义在[-1,1]上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? (1)求函数 f ( x ) 在[-1,1]上的解析式; (2)试用函数单调性定义证明: f ( x ) 在 (0,1] 上是减函数;

2x . 4x ? 1

(3)要使方程 f ( x) ? x ? b ,在[-1,1]上恒有实数解,求实数 b 的取值范围.

8、设 f(x)为定义在实数集 R 上的单调函数,试解方程:f(x+y)=f(x)· f(y)

4

9、已知 c ? 0. 设 P:函数 y ? c x 在 R 上单调递减. Q:不等式 x ? | x ? 2c |? 1的解集为 R,如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围。

10、 定义在 D 上的函数 f ( x) , 如果满足: 对任意 x ? D , 存在常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) |? M 成 立 , 则 称 f ? x? 是 D 上 的 有 界 函 数 , 其 中 M 称 为 函 数 f ? x? 的 上 界 . 已 知 函 数

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上是否为有 界函数,请说明理由; (2)若函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m ? 0 ,函数 g ? x ? 在 ?0,1? 上的上界是 T ( m) ,求 T ( m) 的取值范围.

1? m ? 2x ?1? ?1? . f ? x ? ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? ; g ( x) ? 1? m ? 2x ? 2? ? 4?

x

x

5

6

? a2 ? a ? b ? 4 ?a ? 2 ? 1(I) ? ,所以 f(x) ? x 2 ? x ? 2 , ?? 2 ? ?? log 2 a ? ? log 2 a ? b ? 2 ?b ? 2 7 因为 log2 x ? R ,所以最小值为 4
(II) ?

……4 分

2 ? x ? ? 0,1? ? 2, ?? ? ? f ?log2 x ? ? f( 1 ) ? ?? log x ? ? log 2 x ? 0 ? ?? ? x ? ? 0,1? ……4 分 ?? 2 2 x ? ? 1, 2 ? ? x ? x ? 2 ? ?log2 ? f(x)? ? f( 1 ) ? ? ?

( x ? 0) 2I) g ( x) ? ? x 2 ? ? 4,
(II) 递减。任意取 x1 , x2 ? (?1 , 0) 且 x1 ? x 2 ,则

2 x

……2 分

2 ? 2, x1 ? x2 ? ?2 x1 x2

? 2 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? ? x 2 ? x1 ?? ? x1 ? x 2 ? x x 1 2 ?

? ? 0) 上递减; ……6 分 ? ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?1, ?

? 1) 上递增,且 g ( x) 和 f ( x) 关于原点对称。故要使得平移后 (III)同理可知 g ( x) 在 (??,
2 个函数的图象最多只有一个交点,则只需要将 g ( x) 向下平移 2 g ( x) max 个单位,因此 b 的最小值为 2 ……10 分

3、 (I)当 a=1 时, f ( x) 最小值 f (2) ? 1 ;
? 1, a ? 2, a ? 10 ? a?2 , 2?a?6 (II) g ( a ) ? ? 2 a ? 10 ?2 , 6 ? a ? 10 ?

……3 分

……8 分

1 ? 7 ?a?? ?10 ? ?2a ? 9 ? 2 ? 2 2 ? 8 ? 9 ? a ?1 ? ? a ?1 (III) g (?2a ? 9) ? g (a ? 1) ? ? 10 ? a ? 1 ? 2 ? ? ? ?2a ? 3 ? a ? 5 ?(3a ? 8)(a ? 2) ? 0 3 ? ? ?
……12 分

4、若 A={x|x2-2x-3<0},B={x|( 1 )x-a ? 1}
2
(1)当 A ? B= ? 时,求实数 a 的取值范围; (2) 当 A ? B 时,求实数 a 的取值范围;
7

解:(1) A=(-1,3),B=[a,+ ? ) ??????????????????2′ ∵A ? B= ? ,∴a ? 3;??????????????????4′ (2)∵A ? B,∴a ? -1。??????????????????6

5

已知二次函数 f(x)=ax2+bx,且 f(x+1)为偶函数,定义:满足 f(x)=x 的实数 x 称为函数 f(x)

的不动点,若函数 f(x)有且仅有一个不动点, (1)求 f(x)的解析式; (2) 若函数 g(x)= f(x)+
6 k 1 2 + x 在 (0, ]上是单调减函数,求实数 k 的取值范围; 3 x 2

(3)在(2)的条件下,是否存在区间[m,n](m<n),使得 f(x)在区间[m,n]上的值域为[km,kn]? 若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由。 解:(1)f(x+1) =a(x+1) 2+b(x+1) = ax 2+(2a+b)x+a+b 为偶函数, ∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax,??????????????????????2′ ∵函数 f(x)有且仅有一个不动点,∴方程 f(x)=x 有且仅有一个解,∴ax2-(2a+1)x=0 有且仅有 一个解,∴2a+1=0,a=(2) g(x)= f(x)+

1 1 ,∴f(x)= - x2+x???????????????????5′ 2 2

6 k 1 2 k + x =x+ 在 (0, ]上是单调增函数, 3 x 2 x k 当 k ? 0 时,g(x)= x+ 在(0,+ ? )上是单调增函数,∴不成立;???????????7′ x 6 k 2 在(0, k ]上是单调减函数, ∴ ∴k ? ???????10′ ? k, 3 x 3 1 2 1 1 1 1 1 3 (1) ∵f(x)= - x +x= - (x-1)2+ ? ,∴kn ? ,∴n ? ? <1, 2 2 2 2 2 4 2k

当 k>0 时, g(x)= x+

∴f(x)在区间[m,n]上是单调增函数??????????????????????11′
? ? ? ? f (m) ? km ? ∴? , 即? ? f (n) ? kn ?? ? ? 1 2 m ? m ? km 1 2 , 方程 ? x 2 ? x ? kx 的两根为 0, 2-2k??????12′ 1 2 2 n ? n ? kn 2

当 2-2k>0,即

2 ? k<1 时,[m,n]= [0,2-2k]??????????????????13′ 3

当 2-2k<0,即 k>1 时,[m,n]= [2-2k,0]????????????????????14′ 当 2-2k=0,即 k=1 时,[m,n] 不存在??????????????????????
8

因为 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,则 h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ,故 h( x ) 在 x ? [2,3] 递增,

6

? 2x ? 4 x ? 1????(0 ? x ? 1) ? ? 7 解: (1) f ( x) ? ?0????????????( x ? 0)? ? 2x ?? x ??(?1 ? x ? 0) ? ? 4 ?1
(2)证:设 0 ? x1 ? x2 ? 1 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

3分

(2 x1 ? x2 ? 1)(2 x2 ? 2 x1 ) >0 (4x1 ? 1)(4 x2 ? 1)
8分

∴ f ( x ) 在 (0,1] 上是减函数. (3)方程 b ? f ( x) ? x 在[-1,1]上恒有实数解,

记 g ( x) ? f ( x) ? x ,则 g ( x) 为 (0,1] 上的单调递减函数.∴ g ( x) ? [ ? , ) 由于 g ( x) 为[-1,1]上奇函数,故当 x ? [?1, 0) 时 g ( x) ? ( ? , ]

3 1 5 2

1 3 2 5

9

而 g ( x) ? 0 ∴ g ( x) ? [ ? , ] ,即 b ? [? , ]

3 3 5 5

3 3 5 5

12 分

8
由已知可得:f(x1)f(x2)…f(xn)=f(x1+x2+?+xn),令 x1=x2=?噢=xn=x 时, [f(x)]n=f(nx) ,取 a=f(1),则 f(n)=an ,再令 x=1/n,所以:[f(1/n)]n=f(1) 因为 f(x)定义在 R 上,n 为偶数时,必有 f(1)?0,这样 a?0,这时:f(1/n)= a n
1

) ? f (1 ??? 1 ) ? [ f (1 )] m ? (a n ) m ? a n 若 m 为正整数,利用上式:i f ( m n n n n
原方程中:令 y=0,因为 f(x)单调,f(0)=1=a0 令 y=-x=- m ,则有 f( m )f(- m )=1,故 f(- m )= a n n n n
?m n

1

m

且可知 a>0

于是在有理数范围内得到函数方程的解是:f(x)=ax(a>0) 当 x= ? 为无理数时,设 ai , bi 分别是 ? 的精确到小数点后 i 位,不足近似值和过剩近似 值 , 当 f(x) 为 增 函 数 时 , 有 f (ai ) ? f (? ) ? f (bi ) , f(x) 为 减 函 数 时 , 有

f (ai ) ? f (? ) ? f (bi ) ,而: f (ai ) ? aai , f (bi ) ? abi ,于是可以得到: f (? ) ? a?
故原方程的解为:f(x)=ax(a>0 且 a?1)

9

?1? ?1? 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ? ? ? ? ? ?2? ? 4?

x

x

因为 f ( x) 在 ? ??,0 ? 上递减,所以 f ( x) ? f (0) ? 3 ,即 f ( x) 在 ? ??,1? 的值域为 ? 3, ?? ? 故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M 成立,所以函数 f ? x ? 在 ? ??,1? 上不是有界函数。 (2)由题意知, f ( x) ? 3 在 ?1, ?? ? 上恒成立。

? 3 ? f ( x) ? 3 ,

x

?1? ?1? ?1? ? 4 ?? ? ? a ?? ? ? 2 ?? ? ? 4? ? 2? ? 4?
x x

x

x

x

?1? ?1? ? 4 ? 2 ? ? ? ? a ? 2 ? 2x ? ? ? ? 2? ?2?



?0, ?? ?

上 恒 成 立 ∴

x x ? ? 1 1 ?1? ? ?1? ? x x ? a ? ?2 ? 2 ? ? ? ? 设 2 x ? t , h(t ) ? ?4t ? , p (t ) ? 2t ? , ?? 4 ? 2 ? ? ? ? t t ?2? ? ?2? ? ? ? ? ?m a x ? ?m i n

由 x ? ?0, ?? ? 得 t≥1,设 1 ? t1 ? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ?

? t2 ? t1 ?? 4t1t2 ? 1? ? 0
t1t2

10

p(t1 ) ? p(t 2 ) ?

?t1 ? t 2 ??2t1t 2 ? 1? ? 0
t1t 2

所以 h(t ) 在 ?1, ?? ? 上递减, p(t ) 在 ?1, ?? ? 上递增, h(t ) 在 ?1, ?? ? 上的最大值为

h(1) ? ? 5,

p(t ) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 p (1) ? 1
2 , m ? 2x ?1


所以实数 a 的取值范围为 ? ?5,1? (3) g ( x ) ? ?1 ? ∵ 即 m>0

, x ? ?0,1?

g ? x ? 在 ?0,1? 上递减,∴

g (1) ? g ( x) ? g (0)

1 ? 2m 1? m ? g ( x) ? 1 ? 2m 1? m
①当

? 2? 1 ? m 1 ? 2m 1? m 1? m , 即 m ? ? 0, , 此时 T (m) ? , ? ? 时, g ( x) ? ? 1? m 1 ? m 1 ? 2m 1? m ? 2 ? ? 2 ? 1 ? m 1 ? 2m 1 ? 2m ,?? ? , 即 m?? 时 , g ( x) ? , ? ? 1 ? m 1 ? 2m 1 ? 2m ? 2 ?
此 时

② 当

T ( m) ?

? 2? 1 ? 2m ? 1? m ? 综上所述,当 m ? ? 0, , ?? ? ; ? 时, T (m) 的取值范围是 ? ? 1 ? 2m ? 1? m ? ? 2 ?
? 2 ? ? 1 ? 2m ? ,?? ? 时, T ( m) 的取值范围是 ? , ?? ? ? ? 1 ? 2m ? ? 2 ?

当m??

10.解析:函数 y ? c x 在 R 上单调递减 ? 0 ? c ? 1.
不等式 x? | x ? 2c |? 1 的解集为R ? 函数y ? x? | x ? 2c | 在R上恒大于 1.

?2 x ? 2c, x ? 2c, ∵ x? | x ? 2c |? ? x ? 2c, ?2c,
? 函数y ? x? | x ? 2c | 在R上的最小值为 ? 不等式 | x ? x ? 2c |? 1的解集为 如果P正确, 且Q不正确, 则 所以c的取值范围为 2c.

1 R ? 2c ? 1 ? c ? . 2 1 0 ? c ? .如果P不正确, 且Q正确, 则 2

c ? 1.

1 (0, ] ? [1,??). 2

11



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