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第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和



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预习思考:
1,如何得到数列的前n项求和公式?
2,数列{an}的前n项和Sn与通项an之间有什么关系? 3,在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35, 求 a 1和 n .

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1,等差数列的前n项 和 sn = a1+a2 +a3 +…+an-1+an sn = an+an-1+an-2+…+a2 + a1
n?a1+an? S n= 2

倒序法

an=a1+(n-1)d
n?n-1? Sn= na1+ 2 d

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2,数列{an}的前n项和Sn与通项an之间有什么关系:

S1 :an = S n -S n-1

n =1 , n ≥2 .

sn =a1+a2+a3+…+an-1+an sn-1=a1+a2+a3+…+an-1

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3,在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,

Sn=35,求a1和n.

基 本 量 思 想

an= a1+ n -1 d, 解:由 S n=na 1+n n -1 d, 2 a1+2 n -1 = 11, 得 na1+n n -1 ×2=35, 2 n =5, 解方程组得 a1=3, n = 7, 或 a1=-1.
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解题小结:
1, a1、n、d称为等差数列的三个基本量,

an和Sn都可以用三个基本量来表示,
五个量a1、d、n、an、Sn可知三求二.(基本量 法)

2,在具体求解过程中结合等差数列的性质,利用
返回 整体代换思想解题,可简化运算.(性质法)

跟踪演练:
1.(1)数列{an}是等差数列,a1=1,an=-512,
Sn=-1 022,求公差d;
解:(1)因为:a1=1, an=-512,S n =-1 022, 1+ n -1 d=-512, ① 所以 n +1n n -1 d=-1 022. ② 2
1 把(n -1)d=-513 代入②,得 n + n ·(- 513)=- 1 022, 2 解得 n =4,d=- 171.

基本量思想
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跟踪演练:
(2)在等差数列 {an}中, 已知 a4+a8=16, 则该数列 前 11 项和 S 11=?
解:(2) 因为{an}是等差数列,所以 a4+a8=2a6=16,

11 a1+a11 a6=8,则该数列的前 11 项和为 S 11= =11a6=88. 2

性质法!
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合作探究:
[例1] 一等差数列共有偶数项,且奇数项之和与偶数

项之和分别为24和30,最后一项与第一项之差为10.5,求
此数列的首项、公差、项数.

解法一:设数列的首项为 a1,公差为 d,项数为 2k (k ∈N*). S 奇=24, S 偶=30, 根据题意得 21 a2k-a1= , 2

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? ?1k?a1+a2k-1?=24, ?2 ?1 即?2k?a2+a2k?=30, ? ? 21 ?2k-1?d= 2 , ? ? 3 3 解得 a1=2,d=2,k=4,

? ?k[a1+?k-1?d]=24, ?k?a1+kd?=30, 即? 21 ? ?2k-1?d= 2 , ? ?

基本量思想

3 3 所以首项为2,公差为2,项数为 8.

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法二:设此数列的首项为 a1,公差为 d,项数为 2k (k ∈N*). S 奇=24, S 偶=30, 由题意知 21 a2k -a1= , 2 kd=6, 21 2k -1 d= 2 , S 偶-S 奇=6, 所 以 a2k-a1= 21, 2

所以

k =4, k 解得: d=3, 代入 S 奇= (a1+a2k-1)=24, 2 2 3 3 3 可得 a1= .所以首项为 ,公差为 ,项数为 8. 2 2 2

性质法!

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与前 n 项和有关的等差数列的常见性质有: (1)数列的依次每 k 项之和 S k ,S 2k-S k ,S 3k-S 2k ,… 组成公差为 k 2d 的等差数列. (2)数列的项数为 2n (n ∈N*),则 S 2n= n (an +an+1),(an , an+ 1 为中间两项)且 S 偶- S 奇=nd , S 偶 an +1 = . S 奇 an
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若项数为 2n -1(n ∈N*), 则 S 2n -1=(2n -1)an(an 为中间项) S 偶 n-1 且 S 奇-S 偶=an , = . n S奇 (3)若 S n 为数列 {an}的前 n 项和,则 {an}为等差数列等价 Sn 于{ }是等差数列.或说: S n 是关于 n 无常数项的二次函数 n (4)若 {an },{bn }都为等差数列, S n ,S n′为它们的前 n 项 S 2m-1 am 和,则 = . bm S 2m-1′
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思考练习:
项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,

求这个数列的中间项及项数.
解:设等差数列{an}共有(2n+1)项, 则奇数项有(n+1)个,偶数项有 n 个,中间项是第(n+1) 项,即 an+1. 1 S奇 2?a1+a2n+1?×?n+1? ?n+1?an+1 ∴ = = 1 S偶 nan+1 ? a + a ? × n 2n 2 2

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n+1 44 4 = n =33=3,得 n=3. 又∵S 奇=(n+1)· an+1=44,∴an+1=11. 故这个数列中间项为 11,项数共有 2n+1=7 项.

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Sn [例 3] 设数列{an }的前 n 项和为 S n, 点(n , )(n ∈N*) n 均在函数 y=3x -2 的图象上. (1)求数列{an }的通项公式;

1 (2)设 bn = n(n ? 1) ,求 T n 是数列{bn }的前 n 项和。

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[自主解答]

Sn (1)依题意得, =3n -2, n

即 S n= 3n 2-2n . 当 n ≥2 时, an =S n- S n-1=(3n 2- 2n )-[3(n -1)2- 2(n -1)]= 6n -5; 当 n =1 时,a1=S 1=3×12-2×1=6×1-5 适合, 所以 an =6n -5(n ∈N*).
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已知数列前n项和Sn求通项an, 先由n=1时,a1=S1 求得a1,

再由n≥2时,an=Sn-Sn-1 求an,
最后验证a1是否符合an,若符合则统一用一个解 析式表示.
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思考练习:
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且lg(Sn+1)=n+1,求

通项公式.

解lg(Sn+1)=n+1,所以Sn+1=10n+1.即Sn=10n+1-
2-1=99, 当 n = 1 时, a = S = 10 1. 1 1

当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=9×10n,
从而,数列{an}的通项公式为:
? ?99 an=? n ? 9 × 10 ?

?n=1? ?n≥2?.

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在等差数列{an}中,S10=100,S100=10.求S110.
[解 ] 法一:(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1,

10?10-1? ? d=100, ?10a1+ 2 公差为 d,则? ?100a +100?100-1?d=10. 1 2 ?

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1 099 ? ?a1= 100 , 解得? ?d=- 11. 50 ? 110?110-1? ∴S110=110a1+ d 2 1 099 110×109 11 =110× 100 + ×(-50)=-110. 2

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法二:(设而不求整体代换法) ∵S10=100,S100=10, ∴S100-S10=a11+a12+…+a100 90?a11+a100? = =-90. 2

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∴a11+a100=-2. 又∵a1+a110=a11+a100=-2, 110?a1+a110? ∴S110= =-110. 2

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法三:(新数列法)∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100 -S90,S110-S100,…成等差数列, 10×9 ∴设该数列公差为 d, 则其前 10 项和为 10×100+ 2 d=10,解得 d=-22. 10×11 10×11 ∴前 11 项和为 11×100+ 2 d=11×100+ 2 ×(-22)=-110.

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法四:(运用函数观点解决问题) Sn 100 由于 f(n)= n 是关于 n 的一次函数, 而点(10,10 ), (100, 10 S110 100),(110,110)在其图象上,由斜率相等, S110 100 10 100 110- 10 100- 10 得 = ?S110=-110. 110-10 100-10

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法五:(待定系数法)设{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为 常数)时,
2 ? ?S10=A×10 +B×10=100, ? 2 ? ?S100=A×100 +B×100=10,

① ②

11 111 解得A=-100,B= 10 . 11 111 2 ∴S110=A×110 +B×110=-100×110 + 10 ×110=-110.
2

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课时小结:
? 等差数列的求和公式 ? 等差数列项与和的关系

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当堂检测
? 课堂强化

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[读教材·填要点] 1.数列的前n项和 我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn 表示,即Sn= .

a1+a2+a3+…+an

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2.“等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数”,这种 说法正确吗? 提示:不一定正确.当d≠0时,Sn=An2+Bn(A≠0)是关 于n的二次函数;当d=0时,Sn=na1=a1n是关于n的一 次函数.

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将“d=2”改为“a1=3”,其它条件不变,求n和公差d.
?an=a1+?n-1?d, ?11=3+?n-1?d, ? ? 解: 法一: 由? 得? n?n-1? n?n-1? S =na1+ 2 d, 35=3n+ 2 d, ? ? ? n ?
? ?n=5, 解之得? ? ?d=2.

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n?3+11? 法二:∵a1=3,an=11,Sn=35,∴35= =7n, 2 即 n=5. 又∵11=3+(5-1)d,∴d=2.

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