第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和

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预习思考：
1，如何得到数列的前n项求和公式？
2，数列{an}的前n项和Sn与通项an之间有什么关系？ 3，在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35， 求 a 1和 n .

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1,等差数列的前n项 和 sn = a1＋a2 ＋a3 ＋…＋an-1＋an sn = an＋an-1＋an-2＋…＋a2 ＋ a1
n?a1＋an? S n= 2

倒序法

an=a1+(n-1)d
n?n－1? Sn= na1＋ 2 d

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2,数列{an}的前n项和Sn与通项an之间有什么关系：

S1 ：an ＝ S n －S n－1

n ＝1 ， n ≥2 .

sn =a1＋a2＋a3＋…＋an-1＋an sn-1=a1＋a2＋a3＋…＋an-1

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3，在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，

Sn＝35，求a1和n.

基 本 量 思 想

an＝ a1＋ n －1 d， 解：由 S n＝na 1＋n n －1 d， 2 a1＋2 n －1 ＝ 11， 得 na1＋n n －1 ×2＝35， 2 n ＝5， 解方程组得 a1＝3， n ＝ 7， 或 a1＝－1.
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解题小结：
1， a1、n、d称为等差数列的三个基本量，

an和Sn都可以用三个基本量来表示，
五个量a1、d、n、an、Sn可知三求二．（基本量 法）

2，在具体求解过程中结合等差数列的性质，利用
返回 整体代换思想解题，可简化运算．（性质法）

跟踪演练：
1．(1)数列{an}是等差数列，a1＝1，an＝－512，
Sn＝－1 022，求公差d；
解：(1)因为：a1＝1， an＝－512，S n ＝－1 022， 1＋ n －1 d＝－512， ① 所以 n ＋1n n －1 d＝－1 022. ② 2
1 把(n －1)d＝－513 代入②，得 n ＋ n ·(－ 513)＝－ 1 022， 2 解得 n ＝4，d＝－ 171.

基本量思想
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跟踪演练：
(2)在等差数列 {an}中， 已知 a4＋a8＝16， 则该数列 前 11 项和 S 11＝？
解：(2) 因为{an}是等差数列，所以 a4＋a8＝2a6＝16，

11 a1＋a11 a6＝8，则该数列的前 11 项和为 S 11＝ ＝11a6＝88. 2

性质法！
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合作探究：
[例1] 一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数

项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求
此数列的首项、公差、项数．

解法一：设数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k (k ∈N*)． S 奇＝24， S 偶＝30， 根据题意得 21 a2k－a1＝ ， 2

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? ?1k?a1＋a2k－1?＝24， ?2 ?1 即?2k?a2＋a2k?＝30， ? ? 21 ?2k－1?d＝ 2 ， ? ? 3 3 解得 a1＝2，d＝2，k＝4，

? ?k[a1＋?k－1?d]＝24， ?k?a1＋kd?＝30， 即? 21 ? ?2k－1?d＝ 2 ， ? ?

基本量思想

3 3 所以首项为2，公差为2，项数为 8.

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法二：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k (k ∈N*)． S 奇＝24， S 偶＝30， 由题意知 21 a2k －a1＝ ， 2 kd＝6， 21 2k －1 d＝ 2 ， S 偶－S 奇＝6， 所 以 a2k－a1＝ 21， 2

所以

k ＝4， k 解得： d＝3， 代入 S 奇＝ (a1＋a2k－1)＝24， 2 2 3 3 3 可得 a1＝ .所以首项为 ，公差为 ，项数为 8. 2 2 2

性质法！

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与前 n 项和有关的等差数列的常见性质有： (1)数列的依次每 k 项之和 S k ，S 2k－S k ，S 3k－S 2k ，… 组成公差为 k 2d 的等差数列． (2)数列的项数为 2n (n ∈N*)，则 S 2n＝ n (an ＋an＋1)，(an ， an＋ 1 为中间两项)且 S 偶－ S 奇＝nd ， S 偶 an ＋1 ＝ . S 奇 an
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若项数为 2n －1(n ∈N*)， 则 S 2n －1＝(2n －1)an(an 为中间项) S 偶 n－1 且 S 奇－S 偶＝an ， ＝ . n S奇 (3)若 S n 为数列 {an}的前 n 项和，则 {an}为等差数列等价 Sn 于{ }是等差数列．或说： S n 是关于 n 无常数项的二次函数 n (4)若 {an }，{bn }都为等差数列， S n ，S n′为它们的前 n 项 S 2m－1 am 和，则 ＝ . bm S 2m－1′
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思考练习：
项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，

求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项， 则奇数项有(n＋1)个，偶数项有 n 个，中间项是第(n＋1) 项，即 an＋1. 1 S奇 2?a1＋a2n＋1?×?n＋1? ?n＋1?an＋1 ∴ ＝ ＝ 1 S偶 nan＋1 ? a ＋ a ? × n 2n 2 2

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n＋1 44 4 ＝ n ＝33＝3，得 n＝3. 又∵S 奇＝(n＋1)· an＋1＝44，∴an＋1＝11. 故这个数列中间项为 11，项数共有 2n＋1＝7 项.

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Sn [例 3] 设数列{an }的前 n 项和为 S n， 点(n ， )(n ∈N*) n 均在函数 y＝3x －2 的图象上． (1)求数列{an }的通项公式；

1 (2)设 bn ＝ n(n ? 1) ，求 T n 是数列{bn }的前 n 项和。

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[自主解答]

Sn (1)依题意得， ＝3n －2， n

即 S n＝ 3n 2－2n . 当 n ≥2 时， an ＝S n－ S n－1＝(3n 2－ 2n )－[3(n －1)2－ 2(n －1)]＝ 6n －5； 当 n ＝1 时，a1＝S 1＝3×12－2×1＝6×1－5 适合， 所以 an ＝6n －5(n ∈N*)．
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已知数列前n项和Sn求通项an， 先由n＝1时，a1＝S1 求得a1，

再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1 求an，
最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解 析式表示．
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思考练习：
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且lg(Sn＋1)＝n＋1，求

通项公式．

解lg(Sn＋1)＝n＋1，所以Sn＋1＝10n＋1.即Sn＝10n＋1－
2－1＝99， 当 n ＝ 1 时， a ＝ S ＝ 10 1. 1 1

当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n，
从而，数列{an}的通项公式为：
? ?99 an＝? n ? 9 × 10 ?

?n＝1? ?n≥2?.

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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解 ] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，

10?10－1? ? d＝100， ?10a1＋ 2 公差为 d，则? ?100a ＋100?100－1?d＝10. 1 2 ?

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1 099 ? ?a1＝ 100 ， 解得? ?d＝－ 11. 50 ? 110?110－1? ∴S110＝110a1＋ d 2 1 099 110×109 11 ＝110× 100 ＋ ×(－50)＝－110. 2

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法二：(设而不求整体代换法) ∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 90?a11＋a100? ＝ ＝－90. 2

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∴a11＋a100＝－2. 又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2， 110?a1＋a110? ∴S110＝ ＝－110. 2

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法三：(新数列法)∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100 －S90，S110－S100，…成等差数列， 10×9 ∴设该数列公差为 d， 则其前 10 项和为 10×100＋ 2 d＝10，解得 d＝－22. 10×11 10×11 ∴前 11 项和为 11×100＋ 2 d＝11×100＋ 2 ×(－22)＝－110.

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法四：(运用函数观点解决问题) Sn 100 由于 f(n)＝ n 是关于 n 的一次函数， 而点(10，10 )， (100， 10 S110 100)，(110，110)在其图象上，由斜率相等， S110 100 10 100 110－ 10 100－ 10 得 ＝ ?S110＝－110. 110－10 100－10

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法五：(待定系数法)设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为 常数)时，
2 ? ?S10＝A×10 ＋B×10＝100， ? 2 ? ?S100＝A×100 ＋B×100＝10，

① ②

11 111 解得A＝－100，B＝ 10 . 11 111 2 ∴S110＝A×110 ＋B×110＝－100×110 ＋ 10 ×110＝－110.
2

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课时小结：
? 等差数列的求和公式 ? 等差数列项与和的关系

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当堂检测
? 课堂强化

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[读教材·填要点] 1．数列的前n项和 我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn 表示，即Sn＝ .

a1＋a2＋a3＋…＋an

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2．“等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数”，这种 说法正确吗？ 提示：不一定正确．当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关 于n的二次函数；当d＝0时，Sn＝na1＝a1n是关于n的一 次函数．

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将“d＝2”改为“a1＝3”，其它条件不变，求n和公差d.
?an＝a1＋?n－1?d， ?11＝3＋?n－1?d， ? ? 解： 法一： 由? 得? n?n－1? n?n－1? S ＝na1＋ 2 d， 35＝3n＋ 2 d， ? ? ? n ?
? ?n＝5， 解之得? ? ?d＝2.

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n?3＋11? 法二：∵a1＝3，an＝11，Sn＝35，∴35＝ ＝7n， 2 即 n＝5. 又∵11＝3＋(5－1)d，∴d＝2.

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