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2015届高三艺术班数学一轮复习资料 第二章 第10讲 变化率与导数、导数的计算 学生版]



第二章 第 10 讲
一、必记 3 个知识点 1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数:

函数、导数及其应用 变化率与导数、导数的计算

称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
Δx→0

lim

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim

为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作 f′(x0)或 y′|x=x , 即 Δx Δx→0Δx 0
Δx 0

f′(x0)= lim →

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx Δx→0 Δx

(2)导数的几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0, y0)处的切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数: 称函数 f′(x)= lim →
Δx

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx 0

2.基本初等函数的导数公式 (sin x)′=cos_x,(cos x)′=-sin_x,(ax)′=axln_a,(ex)′=ex,(logax)= 1 = . x 3.导数的运算法则 (1)′=f′(x)± g′(x); (2)′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). g ? x ? ? ? [g?x?]2 1 ,(ln x)′ xln a

二、必明 3 个易误区 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后 者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差 别. 考点一 利用导数的定义求函数的导数: (1)y=x2; 1 (2)f(x)= . x+2 利用导数的定义求函数的导数

考点二 求下列函数的导数. (1)y=x sin x;
2

导数的运算

ex+1 (2)y= x . e -1

π? ?π? 已知 f(x) = sin 2x ,记 fn + 1(x) = fn′(x)(n ∈ N*) ,则 f1 ? ?6? + f2?6? +…+ f2 ________. 考点三 角度一 求切线方程 1.曲线 y=xex+2x-1 在点(0,-1)处的切线方程为( A.y=3x-1 =-2x-1 角度二 求切点坐标 B.y=-3x-1 ) 导数的几何意义

013

?π? + f2 ?6?

014

?π? = ?6?

C.y=3x+1

D.y

2. (2013· 辽宁五校第二次联考)曲线 y=3ln x+x+2 在点 P0 处的切线方程为 4x-y-1=0, 则点 P0 的坐标是( A.(0,1) ) B.(1,-1) C.(1,3) D.(1,0)

角度三 求参数的值 3. (2014· 郑州第一次质量预测)直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3), 则 2a +b 的值为( A.2 ) B.-1 C.1 D.-2

课后作业
1 . (2013· 江西高考 ) 若曲线 y = xα + 1(α ∈ R) 在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点,则 α = ________. 2.函数 y=xcos x-sin x 的导数为________. 做一做 1.(2013· 全国大纲卷)已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,则 a= ( ) A.9 B.6 C.-9 D.-6

2.(2014· 济宁模拟)已知 f(x)=x(2 012+ln x),f′(x0)=2 013,则 x0=( A. e2 B. 1 C. ln 2

) D. e

3.若曲线 y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为 k,若 k 的最小值为 4,则此时该 切点的坐标为( A . (1,1) D.(1,4) 4.已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=________. 5.(2014· 黄冈一模)已知函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)· (x-4)(x-5),则 f′(0)=________. 1 6.已知点 M 是曲线 y= x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程;(2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 7.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x -a ) C.3(x2-a2)
2 2

) B . (2,3) C . (3,1)

) B.2(x2+a2) D.3(x2+a2)

3 8.已知物体的运动方程为 s=t2+ (t 是时间,s 是位移),则物体在时刻 t=2 时的速度为 t ( 19 A. 4 17 B. 4 15 C. 4 13 D. 4 )

1 9. (2014· 济南模拟)已知曲线 y1=2- 与 y2=x3-x2+2x 在 x=x0 处切线的斜率的乘积为 3, x 则 x0 的值为( A.-2 ) B.2 1 C. 2 D.1

10.已知 f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足( A.f(x)=g(x) C.f(x)-g(x)为常数函数 ) B.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数

2 11.已知函数 f(x)= x3-2ax2-3x(a∈R),若函数 f(x)的图像上点 P(1,m)处的切线方程为 3 3x-y+b=0,则 m 的值为( 1 A.- 3 1 B.- 2 ) 1 C. 3 1 D. 2

12. (2013· 广东高考)若曲线 y=ax2-ln x 在点(1, a)处的切线平行于 x 轴, 则 a=________. 13.已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________. 14.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*,

π? ?π? ?π? n≥2),则 f1? ?2?+f2?2?+…+f2 014?2?=________. 15.求下列函数的导数. (1)y=x· tan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3).

2 16.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 处 x 的切线斜率相同,求 a 的值,并判断两条切线是否为同一条直线.

17. (2014· 东营一模)设曲线 y=sin x 上任一点(x, y)处切线的斜率为 g(x), 则函数 y=x2g(x) 的部分图像可以为( )

?x+1?2+sin x 18. (2013· 山西模拟)已知函数 f(x)= , 其导函数记为 f′(x), 则 f(2 012)+f′(2 x2+1 012)+f(-2 012)-f′(-2 012)=________.



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