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北京市西城区2015—2016学年度第一学期高一数学期末考试试卷带答案



北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末试卷

高一数学
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 本卷满分:100 分

2016.1

A 卷 [必修 模块 4]
三 题号 分数 一 二 17 18

本卷总分 19

一、选择题:本大题

共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1. 如果 cos ? ? 0 ,且 tan ? ? 0 ,则 ? 是( (A)第一象限的角 (B)第二象限的角 ) (C) AD ) (D) ± (D) CB ) (C)第三象限的角 (D)第四象限的角

2. 化简 AB ? BC ? AD 等于(

??? ? (A) CD

(B) DC

3. 若向量 a = ( 2,1) , b = (2, x) 共线,则实数 x 的值是( (A) -

2

(B) 2

(C) 0 )

2

4. 函数 f ( x) ? cos x 的一个单调递增区间是( (A) (0? ) 5. y ? sin x cos x 是(

? 2

(B) ( ? )

? ? , ) 2 2

0) (C) (??,

(D) (0, ?)

(A)最小正周期为 2 π 的偶函数 (C)最小正周期为 π 的偶函数

(B)最小正周期为 2 π 的奇函数 (D)最小正周期为 π 的奇函数 )

6. 为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? sin 2 x 的图象(

? 4

? 个单位长度 4 ? (C)向左平移 个单位长度 8
(A)向左平移 7. 若直线 x ? a 是函数 y ? sin( x ?

? 个单位长度 4 ? (D)向右平移 个单位长度 8
(B)向右平移

? ) 图象的一条对称轴,则 a 的值可以是( 6
(C) ?



(A)

? 3

(B)

? 2
?

? 6

(D) ? )

? 3

8. 已知非零向量 a , b 夹角为 45 ,且 a ? 2 , a ? b ? 2 . 则 b 等于( (A) 2 2 (B) 2 (C) 3

(D) 2

9. 函数 y ? 2sin(2?x) 的图象与直线 y ? x 的交点个数为( (A)3 (B)4 (C)7

) (D)8

10. 关于函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,给出下列三个结论: ①函数 f ( x ) 的最小值是 1 ; ②函数 f ( x ) 的最大值是 2 ; ③函数 f ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递增. 其中全部正确结论的序号是( (A)② (B)②③ ) (C)①③ (D)①②③

? 4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上. 11. sin

?? ? _____. 4

12. 如图所示, D 为 △ ABC 中 BC 边的中点,设 AB ? a , AC ? b , 则 BD ? _____.(用 a , b 表示) 13. 角 ? 终边上一点的坐标为 (1, 2) ,则 tan 2? ? _____. 14. 设向量 a = (0,2), b = ( 3,1) ,则 a , b 的夹角等于_____. 15. 已知 ? ? (0, ?) ,且 cos ? ? ? sin

??? ?

??? ?

A

??? ?

B

D

C

? ,则 ? ? _____. 8
? 3

16. 已知函数 f ( x) ? sin ? x (其中 ? ? 0 )图象过 (?, ?1) 点,且在区间 (0, ) 上单调递增, 则 ? 的值为_______.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

? 3 ,?),且 sin ? ? . 2 5 ? (Ⅰ)求 tan(? ? ) 的值; 4 sin2? ? cos? (Ⅱ)求 的值. 1 ? cos 2?
已知 ? ?(

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,B,C 两点是函数 f ( x) ? A sin(2 x ? 图象与 x 轴的一个交点. (Ⅰ)若 A ? 2 ,求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域; (Ⅱ)若 BD ? CD ,求 A 的值. O

? )( A ? 0 )图象上相邻的两个最高点,D 点为函数 f ( x) 3
y B C

? 2

D

x

19. (本小题满分 12 分)
? 如图,在 △ ABC 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 120 .

(Ⅰ)求 AB ? BC 的值; (Ⅱ)设点 P 在以 A 为圆心, AB 为半径的圆弧 BC 上运动,且

??? ? ??? ?

C

P

??? ? ??? ? ??? ? AP ? xAB ? yAC ,其中 x, y ? R . 求 xy 的最大值.

A

B

B卷
题号 分数 一

[学期综合]
二 6 7

本卷满分:50 分

8

本卷总分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上. 1.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? ? U B ? _____. 2. log2

2 ? _____, 31?log3 2 ? _____.

? 1 ?? , x ≥ 1, 3.已知函数 f ( x) ? ? x 且 f (a) ? f (2) ? 0 ,则实数 a ? _____. x ? x ? 1. ?2 ,
4.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的减函数,如果 f (a) ? f ( x ? 1) 在 x ? [1, 2] 上恒成立,那么实数 a 的取值范围 是_____.

5. 通过实验数据可知,某液体的蒸发速度 y (单位:升/小时)与液体所处环境的温度 x (单位:℃)近似地满足函 数关系 y ? e
kx ?b

( e 为自然对数的底数, k , b 为常数). 若该液体在 0 ℃的蒸发速度是 0.1 升/小时,在 30 ℃的

蒸发速度为 0.8 升/小时,则该液体在 20 ℃的蒸发速度为_____升/小时.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

6x . x ?1
2

(Ⅰ)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论; (Ⅱ)求满足不等式 f (2 ) ? 2 的实数 x 的取值范围.
x x

7. (本小题满分 10 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? 2ax .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在区间 [0, 2] 上的值域; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) , t (a) 为 g ( x) 在区间 [0, 2] 上的最大值,求 t (a) 的最小值.

8. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x ) 定义域为 [0,1] ,若 f ( x ) 在 [0, x ] 上单调递增,在 [ x ,1] 上单调递减,则称 x 为函数 f ( x ) 的峰 点, f ( x ) 为含峰函数. (特别地,若 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增或递减,则峰点为 1 或 0 ) 对于不易直接求出峰点 x 的含峰函数,可通过做试验的方法给出 x 的近似值. 试验原理为: “对任意的 x1 , 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则 (0, x2 ) 为含峰区间, 此时称 x1 为近似峰点; 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则 ( x1 ,1) x2 ? (0,1) , x1 ? x2 , 为含峰区间,此时称 x2 为近似峰点” . 我 们 把 近 似 峰 点 与 x* 之 间 可 ,记为 d ,其值为 .能 .出 .现 .的 最 大 距 离 称 为 试 验 的 “ 预 计 误 差 ”
* *

*

*

*

d ? max{max{ . x1 , x2 ? x1}, max{ x2 ? x1 ,1 ? x2 }} (其中 max{x, y} 表示 x , y 中较大的数) 1 1 (Ⅰ)若 x1 ? , x 2 ? .求此试验的预计误差 d . 4 2
(Ⅱ)如何选取 x1 、 x2 ,才能使这个试验方案的预计误差达到最小?并证明你的结论(只证明 x1 的取值即可) . (Ⅲ)选取 x1 , x2 ? (0,1) , x1 ? x2 ,可以确定含峰区间为 (0, x2 ) 或 ( x1 ,1) . 在所得的含峰区间内选取 x3 ,由 x3 与 x1 或 x3 与 x2 类似地可以进一步得到一个新的预计误差 d ? . 分别求出当 x1 ? 值. (本问只写结果,不必证明)

1 2 和 x1 ? 时预计误差 d ? 的最小 4 5

北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准
A 卷 [必修 模块 4] 满分 100 分
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.C; 2.B; 3.B; 4.C; 5.D; 6.D; 7.A; 8.A; 9.C; 10.D.

2016.1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. ? 14.

2 ; 2

12. 15.

1 (b ? a ) ; 2

13. ? 16.

4 ; 3

? ; 3

?? ; 8

3 . 2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 ? ?(

? 3 ,?),且 sin ? ? , 2 5 4 2 所以 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? . 5 sin ? 3 ?? . 所以 tan ? ? cos ? 4 ? tan ? ? 1 ? ?7. 所以 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? 24 , 25

??????3 分 ??????5 分 ??????7 分 ??????9 分 ??????11 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ?

32 . 25

所以

sin2? ? cos? ? 1 ? cos 2?

?

24 4 ? 25 5 ? ? 1 . 32 8 25
? 3

??????12 分

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)由题意 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , 因为 0 ? x ? 所以 ?

? ? ? 4? ,所以 0 ? 2 x ? ? .所以 ? 2 x ? ? . 2 3 3 3

??????3 分

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 3

??????6 分

所以 ? 3 ? f ( x) ? 2 , 函数 f ( x) 的值域为 [? 3,2] . ??????8 分

(Ⅱ)由已知 B (

? ? 13? , A) , C ( , A) , D ( , 0) , 3 12 12 ??? ? ???? ? 3? 所以 DB ? ( ? , A) , DC ? ( , A) . 4 4
因为 BD ? CD ,所以 DB ? DC , DB ? DC ?

??????11 分

??? ? ????

?3?2 3? ? A2 ? 0 ,解得 A ? ? . 16 4
??????12 分

又 A ? 0 ,所以 A ? 19.(本小题满分 12 分)

3? . 4

解: (Ⅰ) AB ? BC ? AB ? ( AC ? AB)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??????2 分 ??????4 分

??? ? ???? ??? ?2 1 3 ? AB ? AC ? AB ? ? ? 1 ? ? . 2 2
(Ⅱ)建立如图所示的平面直角坐标系,则 B (1, 0) , C (? , 设 P(cos ? ,sin ? ) , ? ? [0, 由 AP ? xAB ? yAC , 得 (cos ? ,sin ? ) ? x(1,0) ? y(? ,

1 3 ). 2 2

??????5 分

?? ], 3

??????6 分

??? ?

??? ?

??? ?

y

1 3 ). 2 2

C

P

所以 cos ? ? x ?

y 3 ,sin ? ? y. 2 2 3 2 3 sin ? , y ? sin ? , 3 3

?
A B ??????8 分

x

所以 x ? cos ? ?

xy ?

2 3 2 3 1 1 sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin 2? ? ? cos 2? 3 3 3 3 3
??????10 分

2 3 1 1 ? ( sin 2? ? cos 2? ) ? 3 2 2 3
2 ? 1 ? sin(2? ? ) ? . 3 6 3 2? ? ? ?? ] , 2? ? ? [? , ] . 因为 ? ? [0 , 3 6 6 6 ? ? ? 所以,当 2? ? ? ,即 ? ? 时, xy 的最大值为 1 . 3 6 2

??????11 分

??????12 分

B卷

[学期综合] 满分 50 分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 1. {x | 0 ? x ? 1} ; 注:2 题每空 2 分. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 6.(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? 2.

1 , 6; 2

3. ?1 ;

4. {a a ? 2};

5. 0.4 .

6x ?6 x ,所以 f (? x) ? 2 ? ? f ( x) . x ?1 x ?1
2

??????4 分 ??????6 分

所以 f ( x ) 为奇函数. (Ⅱ)由不等式 f (2 x ) ? 2 x ,得 整理得 22 x ? 5 , 所以 2 x ? log 2 5 ,即 x ? 7.(本小题满分 10 分)

6 ? 2x ? 2x . 22 x ? 1

??????8 分

??????9 分

1 log 2 5 . 2

??????10 分

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? 2x . 二次函数图象的对称轴为 x ? 1 ,开口向上. 所以在区间 [0, 2] 上,当 x ? 1 时, f ( x ) 的最小值为 ?1 . 当 x ? 0 或 x ? 2 时, f ( x ) 的最大值为 0 . 所以 f ( x ) 在区间 [0, 2] 上的值域为 [?1, 0] . (Ⅱ)注意到 f ( x) ? x ? 2ax 的零点是 0 和 2 a ,且抛物线开口向上.
2

??????1 分 ??????2 分 ??????3 分

当 a ? 0 时,在区间 [0, 2] 上 g ( x) ? f ( x) ? x ? 2ax ,
2

g ( x) 的最大值 t (a) ? g (2) ? 4 ? 4a .
当 0 ? a ? 1 时,需比较 g (2) 与 g (a) 的大小,

??????4 分

g (a) ? g (2) ? a2 ? (4 ? 4a) ? a2 ? 4a ? 4 ,
所以,当 0 ? a ? 2 2 ? 2 时, g (a) ? g (2) ? 0 ; 当 2 2 ? 2 ? a ? 1 时, g (a) ? g (2) ? 0 . 所以,当 0 ? a ? 2 2 ? 2 时, g ( x) 的最大值 t (a) ? g (2) ? 4 ? 4a . ???5 分 当 2 2 ? 2 ? a ? 1 时, g ( x) 的最大值 t (a) ? g (a) ? a2 . 当 1 ? a ? 2 时, g ( x) 的最大值 t (a) ? g (a) ? a2 . 当 a ? 2 时, g ( x) 的最大值 t (a) ? g (2) ? 4a ? 4 . ??????6 分 ??????7 分 ??????8 分

?4 ? 4a, a ? 2 2 ? 2, ? ? 所以, g ( x) 的最大值 t (a ) ? ?a 2 , 2 2 ? 2 ? a ? 2, ?4a ? 4, a ? 2. ? ?
所以,当 a ? 2 2 ? 2 时, t (a) 的最小值为 12 ? 8 2 .

??????9 分

??????10 分

8.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由已知 x1 ?

1 1 , x2 ? . 4 2

所以 d ? max{max{x1 , x2 ? x1}, max{x2 ? x1 ,1 ? x2 }}

1 1 1 1 1 1 1 ? max{max{ , }, max{ , }} ? max{ , } ? . 4 4 4 2 4 2 2 1 1 ? (Ⅱ)取 x1 ? , x2 ? ,此时试验的预计误差为 . 3 3 3
以下证明,这是使试验预计误差达到最小的试验设计. 证明:分两种情形讨论 x1 点的位置. ① 当 x1 ? 如果 如果 ②

??????4 分 ??????5 分

1 时,如图所示, 3

0

x1

1 3

x2

1

1 2 1 ? x2 ? ,那么 d ? 1 ? x2 ? ; 3 3 3 2 1 ? x2 ? 1 ,那么 d ? x2 ? x1 ? . 3 3
当 x1 ? ?????7 分

1 1 , d ? x1 ? . 3 3
1 1 时, d ? . 3 3 2 1 时, d ? ) 3 3
??????8 分

综上,当 x1 ?

(同理可得当 x2 ? 即 x1 ?

1 ? , x2 ? 时,试验的预计误差最小. 3 3 1 2 1 1 (Ⅲ)当 x1 ? 和 x1 ? 时预计误差 d ? 的最小值分别为 和 . 4 5 4 5
注:用通俗语言叙述证明过程也给分.

??????10 分



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