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江苏省黄桥中学分校高三数学(文科)双周练试



江苏省黄桥中学分校高三数学(文科)双周练试卷 (三角函数、平面向量、数列)
命题人:徐卫华 审核人:徐学兵 2008-9-16

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填答题纸上) 1、已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 n ,则其通项 an =

★ ★

r />2、已知向量 a ? (2, 4) , b ? (1,1) ,若向量 b ? (ma ? b) ,则 m ?

3、在等差数列{ an }中, a2, a16是方程x2 ? 6x ?1 ? 0的两根, 则 a5 ? a6 ? a9 ? a12 ? a13 ?


4、曲线 y ? 2 sin( x ? P3,?,则|P2P4|=

?
4

) cos( x ?

?
4

)和直线 y ?

1 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1,P2, 2


2

5、设 {an }为公比q ? 1 的等比数列 , 若a2005 和a2006 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则 a2007+a2008=

★ ★ ★ ★
A B
D
边 BC 上

6、在(0, 2? )内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围为: 7、各项均正的数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ?

n ?1 ,则 an = a n ?1 ? a n
且 a1 ?

?2an 8、若数列 {an } 满足 an ?1 ? ? ?an ? 1

(0 ? an ? 1), (an ? 1).

6 ,则 a2008 ? 7

,AB ? 2,AC ? 1, D 是 9、如图,在 △ ABC 中, ?BAC ? 120°
一点, DC ? 2 BD ,则 AD ? BC ?

???? ??? ?

★ ★

C
记 作

10、将半径为 1 的圆周十二等分,从分点 i 到分点 i+1 的向量依次

???? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? titi ?1 , 则t1t2 ? t2t3 ? t2t3 ? t3t4 ??? t12t1 ? t1t2 ?

1 n 11、已知 an=(2n-1)?? ? ,把数列{an}的各项排成三角形状; ?3? 记 A(m,n)表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(5,2)=



a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ??????????

12、已知向量 OB =( 2,0), OC =( 2, 2), CA =(cosα,sinα)( α∈R),则 OA 与 OB 夹角的取值范 围是

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



13 、 已 知 a , b 是 两 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 且 c ? a ? 1 , c ? b ? 1 , | c |? 2 , 则 对 任 意 的 正 实 数

t , | c ? ta ? b | 的最小值是

1 t



14、在计算“ 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ”时,某同学学到了如下一种方法: 先改写第 k 项: k (k ? 1) ? [k (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)], 由此得

1 3

1 1? 2 ? (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2), 3 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3), 3
?

1 n(n ? 1) ? [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)]. 3 1 相加,得 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n( n ? 1) ? n(n ? 1)(n ? 2). 3
类比上述方法,请你计算“ 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n(n ? 1)(n ? 2) ” ,其结果为 二、解答题(本题共 6 小题,总分 90 分) 15、 (本小题 14 分)已知向量 m = ?sin B, 1 ? cos B? , 向量 n =(2,0) ,且 m 与 n 所成角为 B、C 是 ?ABC 的内角。 (1) (2) 求角 B 的大小; 求 sin A ? sin C 的取值范围。


? ,其中 A、 3

16、 (本小题 14 分)在等差数列 ?an ? 中, s15 ? 90, s30 ? ?270 , (1)求 a1 , d ; (2)第几项开始为负数? (3)为何值时, sn 最大?

17 、 ( 本 小 题 15 分 ) 已 知 由 正 数 组 成 的 两 个 数 列 {an },{bn } , 如 果 a n , a n ?1 是 关 于 x 的 方 程
2 x 2 ? 2bn x ? an bn bn?1 ? 0 的两根.

(1)求证: {bn } 为等差数列; (2)已知 a1 ? 2, a2 ? 6, 分别求数列 {an },{bn } 的通项公式; (3)求数 {

bn }的前n项和S . 2n

18、 (本小题 15 分)在平面直角坐标系中,已知 An (n, an )、Bn (n, bn )、Cn (n ?1,0) (n ? N * ) ,满足向量

??????? ????? ? 且点 Bn (n, bn ) (n ? N * ) 都在斜率为 6 的同一条直线上。 若 a1 ? 6, b1 ? 12 。 An An ?1 与向量 BnCn 共线,
求 (1)数列 {an } 的通项 an

(2)数列{

1 }的前 n 项和 Tn an

19、 (本小题 16 分) 已知数列 {an } , 其前 n 项和 Sn 满足 S n?1 ? 2?S n ? 1(? 是大于 0 的常数) , 且 a1 ? 1, a3 ? 4 (1)求 ? 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式 an ; (3)设数列 {nan } 的前 n 项和为 Tn,试比较

Tn 与 Sn 的大小. 2

20、 (本小题 16 分)在数列 {an }中,已知 an ? 1, a1 ? 1, a n ?1 ? a n ?

2 ,n? N * an?1 ? an ? 1

(1)记 bn ? ( a n ? ) , n ? N * ,求证:数列 {bn } 是等差数列;
2

1 2

(2)求数列 {an } 的通项公式; (3)对于任意给定的正整数 k,是否存在 m ? N * ,使得 am ? k ? 若存在,求出 m 的值;若不存在, 请说明理由。

江苏省黄桥中学分校高三数学(文科)双周练试卷答案 (三角函数、平面向量、数列)
2008-9-16

?5, n ? 1 n2 ? n ? 6 1 ? ? 3? ? ? 1、 ? n ?1 2、 3、15 4、 ? 5、18 6、 ? , ? 7、 3 2 ?4 4 ? ?2 , n ? 2 8 1 18 ? 5? 5 ] 13、 2 2 8、 9、 ? 10、 12 3 ?18 11、 35 ? ( ) 12、 [ , 3 3 12 12 7 1 14、 n( n ? 1)( n ? 2)(n ? 3) 4 ? 15、解: (1)? m = ?sin B, 1 ? cos B? ,且与向量 n = (2,0)所成角为 , 3 1 ? cos B ? 3 ……………..3 分 ? sin B ? 1 ? 3 sin A ? cos B ? 1? sin( B ? ) ? 6 2 又? 0 ? B ? ? ? ? 7? ? ? B? ? 6 6 6 ? 5? 2? ………………..7 分 ?B? ? ?B? 6 6 3 2? ? (2)由(1)知, B ? ,? A+C= 3 3
? sin A ? sin C = sin A ? sin( ? 0? A?

?

? 1 3 ? A) = sin A ? cos A = sin( ? A) 3 3 2 2
? A?

?
3

,?

?
3

?
3

?

2? 3

? sin(

?

? 3 ? ? 3 ? ? A) ? ? , 1 ,? sin A ? sin C ? ? ? ? 2 ? 2 ,1? …………………14 分 3 ? ? ? ?

15 ? 14 ? 15a1 ? d ? 90 ? ?a1 ? 20 ? 2 16、解、 ?1? 由题意得: ? 解得: ? ?d ? ?2 ?3a ? 30 ? 29 d ? ?270 1 ? 2 ?

…… 4 分

an ? ?2n ? 22

?2? ? 2n ? 22 ? 0 , n ? 11
? 从第 12 项开始为负数………………..5 分
21? 441 ?3? S n ? 20n ? n?n ? 1? ? ?? 2? ? ?? ?n ? ? ? 2 2? 4 ?
2

其对称轴为 n ?

21 ? 10.5 2

? n? N? ? 当 n ? 10 或 n ? 11 时, Sn 最大。
2 17、解: (1)由: an , an?1是关于x的方程x2 ? 2bn x ? anbnbn?1 ? 0 的两根得 2 an ? an?1 ? 2bn , an an?1 ? anbnbn?1 2 2 ?2bn ? bn?1bn ? bnbn?1, ? bn ? 0 ?2bn ? bn?1 ? bn?1 (n ? 1)

………………2 分

?{bn } 是等差数列
(2)由(1)知 2b1 ? a1 ? a2 ? 8, ? b1 ? 2,
2

…………………4 分

? a2 ? b1b2 ,?b2 ? 3,?bn ? n ? 1,?b1 ? n an ? bn?1bn ? n(n ? 1)(n ? 1)
又 a1 ? 2 符合上式,? an ? n(n ? 1) (3) S n ?

………………6 分 ……………7 分 …………9 分

2 3 4 n ?1 1 3 4 n? 1 ? 2 ? 3 ?? ? n ① Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n? 1 ② 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ?1 ①—②得 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ……13 分 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 n ?1 n?3 n ?1 2 ? 1? 4 ? n ?1 ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ? S n ? 3 ? n ……15 分 1 2 2 2 2 2 1? 2

18、解:(1)∵点 Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为 6 的同一条直线上, ∴ 于是数列{bn}是等差数列,故 bn=12+6(n-1) =6n+6.

bn ?1 ? bn =6,即 bn+1-bn=6, (n ? 1) ? n

∵ An An ?1 ? ?1, an ?1 ? an ? , BnCn ? ? ?1, ?bn ? , 又A n A n ?1与Bn C n 共线. ∴1× (-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即 an+1-an=bn ∴当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1 =a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2) ? 3n(n ? 1) 当 n=1 时,上式也成立。 所以 an= ? 3n(n ? 1) .

???????

????? ?

???????? ??????

(2)

1 1 1 1 ? ( ? ) an 3 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1? 1 ? n Tn ? ( 1? ? ? ? ? ? ? )? ?1 ? ? ? 3 2 2 3 n n ? 1 3 ? n ? 1 ? 3n ? 3
19、 (I)解:由 S n?1 ? 2?S n ? 1 得

S 2 ? 2?S1 ? 1 ? 2?a1 ? 1 ? 2? ? 1, S3 ? 2?S 2 ? 1 ? 4?2 ? 2? ? 1 , ? a3 ? S3 ? S 2 ? 4?2 ,? a3 ? 4, ? ? 0,?? ? 1. ……
…..4 分 (II)由 S n?1 ? 2S n ? 1整理得S n?1 ? 1 ? 2(S n ? 1) , ∴ 数 列 { Sn ? 1 } 是 以 S1+1=2 为 首 项 , 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ,

? S n ? 1 ? 2 ? 2 n ?1 ,? S n ? 2 n ? 1, ? a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n?1 (n ? 2),

………..9 分

? 当 n=1 时 a1=1 满足 an ? 2n?1 ,? an ? 2n?1. ………..10 分
(III) Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?2 ? n ? 2 n?1 , ①

2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 2) ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,②
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? n ? 2n , 则 Tn ? n ? 2 ? 2 ? 1 .
n n

?

Tn n ? 2n ? 2n ? 1 3 ? Sn ? ? (2 n ? 1) ? (n ? 3) ? 2 n?1 ? . 2 2 2
T1 T 1 1 ? S1 ? ? ? 0,当n ? 2时, 2 ? S 2 ? ? ? 0. ……….15 分 2 2 2 2

? 当 n=1 时,

即当 n=1 或 2 时,

Tn T ? S n ? 0, n ? S n . 2 2

当 n>2 时,

Tn T ? S n ? 0, n ? S n . ………..16 分 2 2

20、解(1)∵ a n ?1 ? a n
2 2

2 (n ? N *) an?1 ? an ? 1

∴ an?1 ? an ? an?1 ? an ? 2. ∴ (a n ?1 ? ) ? (a n ? ) ? 2.
2 2

1 2

1 2

∵ bn ? (a n ? ) , n ? N *,
2

1 2

∴ bn?1 ? bn ? 2(n ? N *) ∴数列 {bn } 是公差为 2 的等数列。????????5 分 (2)∵数列 {bn } 是公差为 2 的等差数列,且 b1 ? (1 ? ) ?
2

1 2

1 . 4

∴ bn ?

1 7 1 1 7 ? 2(n ? 1) ? 2n ? .即(a ? ) 2 ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? . 4 4 2 4 4

∵ an ? 1 ∴ an ?

1 ? 8n ? 7 (n ? N *) ????????9 分 2

(3)假设对于任意给定的正整数 k,存在 m ? N * ,使得 am ? k , 则

1 ? 8m ? 7 k2 ?k ? k , 解得m ? ? 1. ????????9 分 2 2
∵对于任意给定的正整数 k, k ? k ? k (k ? 1) 必为非负偶数,
2



k2 ?k ? 1? N * 2

k2 ?k ? 1, 使得a m ? k . ????????16 分 ∴存在 m ? 2



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