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山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 数学(理)试题



山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 数学(理)试题
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)共两卷.其中第 l 卷共 60 分, 第 II 卷共 90 分,两卷合计 I50 分.答题时间为 120 分钟. 第 1 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

有 一项是符合题目要求的) 1.如果命题 “ ? (p 或 q)”为假命题,则 A.p,q 均为真命题 C.p,q 中至少有一个为真命题 【答案】C 【解析】命题“ ? (p 或 q)”为假命题,则 p 或 q 为真命题,所以 p,q 中至少有一个为真命 题,选 C. 2.下列函数图象中,正确的是 B.p,q 均为假命题 D. p, q 中至多有一个为真命题

【答案】C 【解析】A 中幂函数中 a ? 0 而直线中截距 a ? 1 ,不对应。B 中幂函数中 a ?

1 而直线中截距 2

a ? 1 ,不对应。D 中对数函数中 a ? 1 ,而直线中截距 0 ? a ? 1,不对应,选 C.
3.不等式 3≤l5 - 2xl<9 的解集是 A. (一∞,-2)U(7,+co) C.[-2,1】U【4,7】 【答案】D 【解析】 3 ?| 5 ? 2 x |? 9 得 3 ? 2x ? 5 ? 9 , ?9? 2 x 5?? 3 , 4 ? x ? 7 或 ?2 ? x ? 1 , 由 或 即 ? B. [1, 4] D. (?2,1] ? [4,7)

-1-

所以不等式的解集为 (?2,1] ? [4,7) ,选 D. 4.已知向量 a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? (k , 3), 若a ? 2b与c垂直, 则k ? A.—3 【答案】A B.—2 C.l D.-l

?

?

?

?

? ?

与 【 解 析 】 因 为 a ? 2 b c垂 直 , 所 以 有(a ? 2b ? =0 , 即 a? c? 2 ? = 0, 所 以 ) c b c 3k ? 3 ? 2 3? ,解得 k ? ?3 ,选 A. 0

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

5.一已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值为 A.

4 5

B.

4 3

C.

3 4

D.

2 3

【答案】B 【 解 析 】 直 线 的 斜 率 为

1 1 , 即 直 线 l 的 斜 率 为 k ? tan ? ? , 所 以 2 2

1 2? 2 t a n ? 4 2 ? ? 1 ,选 B. t a n 2 ?? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 )2 3 3 2 4
6.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a3 ? A.4 【答案】C 【解析】在等比数列中, a3a7 ? a5 , a2 a6 ? a3a5 ,所以 a3 ? 2a2 a6 ? a3a7 ? a3 ? 2a3a5 ? a5
2 2 2 2
2 2 ? 1, as ? 2 ? 1, 则 a3 ? 2a2 a6 ? a3a7 ?

B.6

C.8

D. 8 ? 4 2

? (a3 ? a5 )2 ? ( 2 ? 1 ? 2 ? 1) 2 ? (2 2) 2 ? 8 ,选 C.
7. 在△ABC 中, 内角 A、 C 的对边分别为 a、 c, 2c ?2a ?2b ?a B、 b、 且 b
2 2 2

, 则△ABC 是( D.等边三角形

)

A.钝角三角形 【答案】A 【 解 析 】 由

B.直角三角形

C.锐角三角形

2c 2 ? 2a 2 ? 2b2 ? ab





a2 ?

b2 ?

1 c2 ? 2

?, 所 以 a b

2 a2 ? b ? c c o ? C s ? 2ab

1 ? ab 2 2 ? ? 1 ? ,所以 90? ? C ? 1800 ,即三角形为钝角三角形, 0 ab 2 4

选 A.

-2-

? 2 x ? y ? 4, ? 8.设 x、y 满足 ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ?
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最大值 【答案】B

则z ? x? y

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

【解析】 做出可行域如图

(阴影部分) 由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z , 。

做直线 y ? ?x ,平移直线 y ? ?x 由图可知当直线经过点 C(2,0)时,直线 y ? ? x ? z 的截距最小,此时 z 最小为 2,没有最大值,选 B. 9.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,则 2 a b

该双曲线离心率等于 A.

3 5 5

B.

6 2

C.

3 2

D.

5 5

【答案】A 【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 4 ,所以圆心坐标为 C (3,0) ,半径 r ? 2 ,双曲线的
2 2

渐近线为 y ? ?

b b x ,不妨取 y ? x ,即 bx ? ay ? 0 ,因为渐近线与圆相切,所以圆心 a a
3b a ?b
2 2

到 直 线 的 距 离 d?

? 2 , 即 9b2 ? 4 a 2? b2 , 所 以 5b2 ? 4a 2 , ( )

b2 ?

9 3 5 4 2 9 ,选 A. a ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? c 2 ,所以 e2 ? , e ? 5 5 5 5

10.若 ? , ? ? (

?
2

, ? ), 且 tan ? ? cot ? , 那么必有 2
B. ? ? ? ?

A. ? ? ? ?

?

3 ? 2

C. ? ? ?

D. ? ? ?

-3-

【答案】B 【解析】因为 cot ? = tan (

?
2

2 3? ? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ? ,而函数 y ? tan x 在 x ? ( , ? ) 上单调递增,所以 2 2 2 2 3? 3? 3? 由 tan ? ? cot ? ,即 tan ? ? tan 可得 ,选 B. ( ? ?) ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? 2 2 2 ??? ? ??? ? ???? ? 11.已知点 O 为△ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0, 则△AOB、△AOC、△BOC 的面积之比

? ?) tan ? ? = (

?

? ?) tan = (

?

?

? 3? ,因为 ? ? ? ? ,所以 ? ?) 2 2

等于 A.9:4:1 【答案】C B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3

【解析】, 延长 OB 到 B ' ,使 OB ' ? 2OB ,延长 OC 到 C ' ,使 OC ' ? 3OC ,连结 B ' C ' ,取 B ' C ' 的中 点 A ' ,则 2OB ? 3OC ? 2OA ' ? ?OA, 所以 A, O, A ' 三点共线且 O 为三角形 AB ' C ' 的重 心, 则 S?AOB ' ? S?AOC ' =S?B 'OC ' ,在△AOB’中,B 为 OB‘边中点,所以 S?AOB ? 中,C 为 OC‘边近 O 端三等分点,所以 S?AOC ? 中点,所以 S?BOC ' ?

??? ?

????

????

??? ?

1 S?AOB ' ,在△AOC’ 2

1 S?AOC ' 。在△B'OC'中,连 BC',B 为 OB‘边 3

1 S?BOC ? S?BOC ' 3 1 1 1 积之比为 :: =3: 2 :1 ,选 C. 2 3 6

1 S?B 'OC ' ,在△BOC'中,C 为 OC‘边近 O 端三等分点,所以 2 1 ? S?B 'OC ' ,因为 S?AOB ' ? S?AOC ' =S?B 'OC ' ,所以△AOB: △AOC: △BOC 面 6

12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足以下三个条件:①对于任意的 x ? R ,都有 ②对于任意的 x1 , x2 ? R, 且0 ? x1 ? x2 ? 2, 都有f ( x1 ) ? f ( x2 ); ③函数 f ( x ? 4) ? f ( x );

-4-

y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则下列结论中正确的是
A. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) C. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5) 【答案】A 【解析】由 f ( x ? 4) ? f ( x) 知函数的周期是 4,由②知,函数在 [0, 2] 上单调递增,函数 即函数函数 y ? f ( x) 的图象关于 x ? 2 对称, 即函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称, 在 [2, 4] 上 单 调 递 减 。 所 以 f (4.5) ? f (0.5) , f (6.5) ? f (2.5) ? f (1.5) , B. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) D. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7)

f (7) ? f (3) ? f (1) ,由 f (0.5) ? f (1) ? f (1.5) 可知 f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) ,选 A.
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 注意事项:1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上,考试结束后将答题卡和第 II 卷一并交 上. 2.答题前将密封线内的项目填写清楚,密封线内答题无效。 二、填空题: (本大题共有 4 小题,每小题 4 分,共计 16 分) 13.函数 f ( x) ? 2 【答案】 [1, ??)
t 【解析】令 t ? x ? 1 ,则 y ? 2 在定义域上单调递增,而 t ? x ? 1 ? ? | x ?1|

的递增区间为



? x ? 1, x ? 1 ,在 x ? 1上 ?1 ? x, x ? 1

单调递增,所以函数 f ( x) ? 2

| x ?1|

的递增区间为 [1, ??) 。 。

14.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a,b,c,若 a ? 3, b ? 2, B ?45 ? ,则角 A= 【答案】 60 或 120
? ?

【解析】由正弦定理可知

3 2 3 a b ? ? 2 ,所以 sin A ? ,即 ,因为 ? ? sin A sin 45 2 sin A sin B

a ? b ,所以 A ? 45? ,所以 A ? 60? 或 A ? 120? 。
15.已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a) ,
2

则当 | a |? 4 时, | PA | ? | PM | 的最小值是



-5-

【答案】 a ? 9 ? 1
2

2 【解析】当 x ? 4 时, y ? 4 ? 4 ? 16 ,所以 y ? ?4 ,即 y ? 4 ,因为 | a |? 4 ,所以点 A 在

抛物线的外侧,延长 PM 交直线 x ? ?1 ,

由抛物线的定

义可知 PN ? PM ?1 ? PF ,当,三点 A, P, F 共线时, | PA | ? | PF | 最小,此时为

| PA | ? | PF |? AF ,又焦点坐标为 F (1,0) ,所以 AF ? (4 ? 1)2 ? a2 ? 9 ? a2 ,即 PM ? 1 ? PA 的最小值为 a 2 ? 9 ,所以 PM ? PA 的最小值为 a 2 ? 9 ? 1 。
16. 对正整数 n, 设曲线 y ? x (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an , { 则
n

an }的 n ?1

前 n 项和是 【答案】 2
n?1



?2
n n n ?1

【解析】曲线 y ? x (1 ? x) ? x ? x

,曲线导数为 y ' ? nx

n ?1

? (n ? 1) x n ,所以切线效率为

k ? n2n?1 ? (n ? 1)2n ? ?(n ? 2)2n?1 , 切 点 为 ( 2?, n 2 ,) 所 以 切 线 方 程 为 y ? 2n ? ?(n ? 2)2n?1 ( x ? 2) ,令 x ? 0 得, y ? 2n ? (n ? 2)2n ,即 y ? (n ? 1)2n ,所以
an ? (n ? 1)2n , 所 以

an ? 2n , 是以 2 为首 项, q ? 2 为 公比 的等 比数 列,所 以 n ?1

Sn ?

2(1 ? 2n ) ? 2n ?1 ? 2 。 1? 2

三、解答题: (本大题共有 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 8 ? 0}, B ? {x | x ? (2m ? 3) x ? m(m ? 3) ? 0, m ? R}
2 2

(1)若 A ? B ? [2, 4], 求实数 m 的值;

-6-

(2)设全集为 R,若 A ? CR B ,求实数 m 的取值范围。 18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a.b, 其中向量a ? (2cos x1), b ? (cos x, 3 sin 2 x), x ? R (1)求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)若 x ? [?

??

?

?
4

,0] ,求函数 f ( x) 的值域;

19. (本小题满分 12 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) 当年 产 量 不 足 80 千 件 时 , C ( x) ?

1 2 ; x ? 10 x ( 万 元 ) 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 时 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ,每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该厂 ? 1450 (万元) x

生产的商品能全部售完。 (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

20(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 (n ? N * ), Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,是否存在最大的整数 t,使得对 n(an ? 3)

任意的 n 均有 S n ?

t 总成立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由, 36

-7-

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 , 短轴一个端到右焦点的距离为 3 。 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

(1)求椭圆 C 的方程: (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值。

6 ,求△AOB 面积 2

22. (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x1nx, g ( x) ? x ? ax ? x ? 2
3 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 在[t,t+2]( t ? 0 )上的最小值; (3)对一切的 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g '( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围。

-8-

-9-

- 10 -

- 11 -

- 12 -



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