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点直线平面之间的位置关系练习题(含答案)



高一数学点直线平面之间的位置关系强化练习题 一、选择题 1.已知平面 ? 外不共线的三点 A. 平面 C.

A, B, C 到 ? 的距离都相等,则正确的结论是(
B. 平面 D.



ABC 必平行于 ? 平面 ABC 必不垂直于 ?

ABC 必与 ? 相交 存在 ?ABC 的一条

中位线平行于 ? 或在 ? 内

2.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l ? α,m ? β,则 α∥β; ②若 α∥β,l ? α,m ? β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( A.3 ) B.2 C.1 ) ) D.0

3.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直 线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( (A)48 (A) 30 ( ) B.45° D.90° )
0

(B)18 (B) 60
0

(C)24 (C) 90

(D)36
0

4. 已知二面角 ?

? l ? ? 的大小为 60 0 , m、n 为异面直线,且 m ? ?,n ? ? ,则 m、n 所成的角为(
(D) 120
0

5. 如图,点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度数为 A.30° C.60°

7. 设 m 、n 是两条不同的直线, 其中正确的命题是 ( ? 、? 是两个不同的平面.考查下列命题, A. m ? ? , n ?

?,m ? n ?? ? ?

B. ? // ? , m ? ? , n // ?

?m?n
?m?n? ?

C. ? ? ? , m ? ? , n // ? ? m ? n D. ? ? ? ,? ? ? ? m, n 8.设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确 的是( ) ... A.AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC

B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD ? BC

9.若 l 为一条直线, ?,?,? 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ①?

? ?,? ? ? ? ? ? ? ;② ? ? ?,? ∥? ? ? ? ? ;③ l ∥?,l ? ? ? ? ? ? .
) C.2 个 D.3 个 ) B.1 个

其中正确的命题有( A.0 个

10.如图,在正三棱锥 P—ABC 中,E、F 分别是 PA、AB 的中点,∠CEF=90° ,若 AB=a,则该三棱锥的全面积为(

A.

3? 3 2 a 2
C.

B.

3? 3 2 a 4

3 2 a 4

D.

6? 3 2 a 4
2, ) (D)

11 .如图,正三棱柱

ABC ? A 1 B 1C 1 的各棱长都为

E、F 分别为 AB、A1C1 的中点,则 EF 的长是(
(A)2 (B)

3

(C)

5

7

12.若 P 是平面 ? 外一点,则下列命题正确的是(



(A)过 P 只能作一条直线与平面 ? 相交 (B)过 P 可作无数条直线与平面 ? 垂直 (C)过 P 只能作一条直线与平面 ? 平行 (D)过 P 可作无数条直线与平面 ? 平行 13.对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m ,使 m 与 l ( ) (A)平行 (B)相交 (C)垂直 (D)互为异面直线 14.对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是( ) (A)若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? (C)若 m ? ? , n∥? ,则 m∥ n (B)若 m∥? ,n∥? ,则 m∥ n (D)若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥ n

15.关于直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,有下列四个命题: ① 若 m // ? , n // ? 且 ? ③ 若m

// ?

,则 m // n ;② 若 m ,则 m

?? ,n ? ?

且?

?? ??

,则 m

?n;

? ? , n // ? 且 ? // ?
) B.③④

? n ;④

若 m // ? , n ? ? 且 ?

,则 m // n 。

其中真命题的序号式( A.①② 16.给出下列四个命题:

C.①④

D.②③

①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行 ④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假命题 的个数是( ... (A)1 17.如图平面 ? (B)2 ) (C)3 (D)4 所成的角分别为
? A B' A' B ?

? 平面 ?



A ?? , B ? ? , AB 与两平面 ? 、 ?
) (C)8 (D)

? 4



? 6

。过 A、B 分别作两平面交

线的垂线,垂足为 (A)4

A ' 、 B? ,若 AB=12,则 A ' B ' ? (
(B)6

18.已知正四棱锥 S A.1 19.已知三棱锥 S

? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为
B.





3

C.2

D.3

? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC , SA =3,那么直线 AB 与
( )

平面 SBC 所成角的正弦值为 A.

3 4

B.

5 4


C.

7 4

D.

3 4

20.有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架, 则 a 的取值范围是 A. (0, C. ( (

6? 2) 6? 2, 6? 2)

B. (1, 2 D. (0, 2

2) 2)
( )

21.在半径为 R 的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个顶点出发 沿球面运动,经过其余三点后返回,则经过的最短路程是

A. 2? R

B.

7 ?R 3

C.

8 ?R 3

D.

7? R 6

22.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , 表面积等于( A.4 ? ) B.3 ?

AB ? BC , SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则球 O 的
D. ? )

C.2 ?

23.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最 小值为(

A.

3?2 6 3

B.2+

2 6 3

C.4+

2 6 3

D.

4 3?2 6 3
)

24.如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H,则以下命题中,错误的命题是( A.点 H 是△ A1BD 的垂心 C.AH 的延长线经过点 C1 二、填空题 1.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个 顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距 离分别为 1,2 和 4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能是: ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为______________。 (写出所有正确结论的编号 ) .. 2.平行四边形的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,已知其中 有两个顶点到 ? 的距离分别为 1 和 2 ,那么剩下的一个顶点到平面 ? 的距离可能是: ①1; ②2; ③3; ④4; 以上结论正确的为______________。 (写出所有正确结论的编号 ) .. B.AH 垂直于平面 CB1D1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45°

C D B

?
A1
3.如图,在正三棱柱 4 .已知 为 5.如图,在正三棱柱

A
的距离为 。

ABC ? A1B1C1 中,所有棱长均为 1,则点 B1 到平面 ABC1
的球面上,

A, B, C 三点在球心为 O ,半 径为 R

AC ? BC ,且 AB ? R ,那么 A, B 两点的球面 距离

,球心到平面 ABC 的距离为______________。

ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 1 .若二面角 C ? AB ? C1 的大小为 60? ,则点 C 到平面 ABC1 的

距离为______________。

6.如图(同理科图) ,在正三棱柱

ABC ? A1B1C1 中, AB ? 1 .若二面角 C ? AB ? C1 的大小为 60? ,则点 C1 到直线

AB 的距离为



7. (如图,在 6 题上)正四面体 ABCD 的棱长为 l,棱 AB∥平面 ? ,则正四面体上的所有点在平面α 内的射影构成的图形 面积的取值范围是____________。 8.如图,矩形 ABCD 中,DC=

3 ,AD=1,在 DC 上截取 DE=1,将△ADE 沿 AE 翻


折到 D1 点,点 D1 在平面 ABC 上的射影落在 AC 上时,二面角 D1—AE—B 的平面 角的余弦值是 9.若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ? ,则 cos ? =_____。 10.已知正四棱椎的体积为 12,地面的对角线为 2 ① m ? ? ,n ? ? ,?

6 ,则侧面与底面所成的二面角为____________。

11. m、n 是空间两条不同直线, ? 、 ? 是空间两条不同平面,下面有四个命题:

? ? ? m ? n  ; ; ③ m ? n,? ? ? , m ?? ? n ? ?  
其中真命题的编号是

??,m ?? ? n ??   ; ; ④ m ? ? , m ? n,? ? ? ? n ? ?  

② m ? n,?

(写出所有真命题的编号) 。

12.如图,已知三棱锥 S-ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA⊥底面 ABC, SA=3,那么直线 SB 与平面 SAC 所成角的正弦值为________. 三、解答题: 13.如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点 E 在 C1C 上且 C1E=3EC. (1)证明 A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1-DE-B 的正切值。.

在正△ ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足 AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2〔如图(1)〕.将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置,使二面角 A1-EF-B 成直二面角,连结 A1B、A1P〔如图(2)〕. (1)求证:A1E⊥平面 BEP; (2)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; (3)求二面角 B-A1P-F 的余弦值。

一、选择题 1 .D 8 .C 15.D 2.C 9.C 16.D 3.D 10.B 17.B 4.B 11.C 5.C 12.D 13.C 7.B 14.C

18.C;19.D;20.A;21.B;22.A;23.B;24.D
二、填空题

1.①③④⑤

2.①③

3.

21 7
8.

4.

1 ?R 3

3 R 2

5.

3 4

6.

3

7. [

2 1 , ] 4 2

2? 3

9.

6 3

10.

? 3

11.①,②

12.

39 13

解法二:(1)证明:如图,连结 B1C 交 BE 于点 F,连结 AC 交 BD 于点 O.由题知 B1C 是 A1C 在面 BCC1B1 内的射 影,在矩形 BCC1B1 中,B1B=C1C=4,BC=B1C1=2,C1E=3,EC=1.

因为

CE BC 1 , ? ? 且∠B1BC=∠BCC1=90° BC B1 B 2

所以△ BB1C∽△BCE. 所以∠BB1C=∠CBE.所以由互余可得∠BFC=90° .所以 BE⊥B1C.所以 BE⊥A1C;由四边形 ABCD 为正方形, 所以 BD⊥AC. 所以 BD⊥A1C 且 BD∩BE=B. 所以 A1C⊥平面 BDE. (2)连结 OE,由对称性知必交 A1C 于 G 点,过 G 点作 GH⊥DE 于点 H,连结 A1H.由(1)的结论,及三垂线定理可 得,∠GHA1 就是所求二面角的平面角,根据已知数据,计算 A1G ?

5 6 , 3

在 Rt△ DOE 中, GH ?

30 , 15

所以 tan?GHA 1 ?

A1G ?5 5. GH

故二面角 A1DEB 的大小为 arctan5 5 . 解法一:不妨设正△ ABC 的边长为 3.

(1)证明:在图(1)中,取 BE 的中点 D,连结 DF. ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2, ∴AF=AD=2.而∠A=60° , ∴△ADF 是正三角形. 又 AE=DE=1,∴EF⊥AD. 在图(2)中,A1E⊥EF,BE⊥EF, ∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角, ∴A1E⊥BE. 又 BE∩EF=E,∴A1E⊥平面 BEF, 即 A1E⊥平面 BEP. (2)在图(2)中,∵A1E 不垂直于 A1B, ∴A1E 是平面 A1BP 的斜线. 又 A1E⊥平面 BEP,∴A1E⊥BP. 从而 BP 垂直于 A1E 在平面 A1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理). 设 A1E 在平面 A1BP 内的射影为 A1Q,且 A1Q 交 BP 于点 Q,则 ∠EA1Q 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角,且 BP⊥A1Q. 在△ EBP 中, ∵BE=BP=2,∠EBP=60° , ∴△EBP 是等边三角形.∴BE=EP. 又 A1E⊥平面 BEP,∴A1B=A1P. ∴Q 为 BP 的中点,且 EQ ? 3 . 又 A1E=1,在 Rt△ A1EQ 中,

tan?EA1Q ?

EQ ? 3, A1 E

∴∠EA1Q=60° . ∴直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 60° . (3)在图(3)中,过 F 作 FM⊥A1P 于点 M,连结 QM、QF.

(3) ∵CF=CP=1,∠C=60° , ∴△FCP 是正三角形.∴PF=1.

又 PQ=

1 BP=1, 2

∴PF=PQ.① ∵A1E⊥平面 BEP,EQ=EF= 3 , ∴A1F=A1Q. ∴△A1FP≌△A1QP. 从而∠A1PF=∠A1PQ.② 由①②及 MP 为公共边知△ FMP≌△QMP, ∴∠QMP=∠FMP=90° ,且 MF=MQ. 从而∠FMQ 为二面角 B-A1P-F 的平面角. 在 Rt△ A1QP 中,A1Q=A1F=2,PQ=1, ∴ A1 P ? 5 . ∵MQ⊥A1P, ∴ MQ ?

A1Q ? PQ 2 5 . ? A1 P 5
2 5 . 5

∴ MF ?

在△ FCQ 中,FC=1,QC=2,∠C=60° , 由余弦定理得 QF ? 3 . 在△ FMQ 中,

cos?FMQ ?

MF 2 ? MQ 2 ? QF 2 7 ?? . 2MF ? MQ 8
7 . 8

∴二面角 B-A1P-F 的大小为 ? ? arccos



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