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物理奥赛辅导:第15讲



第 15 讲

热学基础

一.分子动理论:分子动理论 的基本的观点;理想气体的压强与 温度 1.无论是振动还是迁移,都具备两个特点:a、偶然无序 (杂乱无章)和统计有序(分子数比率和速率对应一定的规律— —如麦克斯韦速率分布函数,如图 6-2 所示) ;b、剧烈程度和温 度相关。 气体分子的三种速率。最可几速率 vP :f(v) = 子数

,N 表示分子总数)极大时的速率,vP = 术平均值, v =
v2 =
8 RT = ?? 2 RT = ?

?N (其中 Δ N 表 N

示 v 到 v +Δ v 内分

2kT m

;平均速率 v :所有分子速率的算

8kT ;方均根速率 v 2 :与分子平均动能密切相关的一个速率, ?m

3RT R 3kT = 〔其中 R 为普适气体恒量, R = 8.31J/(mol.K)。 k 为玻耳兹曼常量, k= ? NA m
-23

= 1.38×10 2

J/K 压 强 的 微 观 意 义 :



p?

2 1 1 nEk , 式中n是分子数密度, Ek= mv 2 ? mv 2 ,即分子的平均动能 3 2 2

3.温度的微观意义:

克拉珀龙方程:pV ? ? RT , 引入玻耳兹曼常数k= 代入p ? 2 3 nEK , 得: EK= kT 3 2

R N N .又因为:? = , n ? 得到:p ? nkT NA NA V

上式表明,宏观量的温度只与气体分子的平均平动动能有关,它与热力学温度成正比,所以 温度成为表征物质分子热运动剧烈程度的物理量。对所有物质均适用。对单个分子谈温度毫 无意义。 1.某些双原子分子中原子A、B之间的相互作用力(径向力) ,与原子中心间距 r 的关系为:

F ??

a b ? ,其中F为正时代表斥力,F为负时代表引力,a、b 均为正量。设A的质量远 r2 r3

大于B的质量 m,在不受其它外力作用的条件下,A在某惯性体系中可近似认为静止不动。 试求B在力平衡位置附近做微小振动的周期T。 2.证明理想气体的压强 P = 二.气体状态方程的应用: 1.克拉珀龙方程: pV ? ? RT , R ? 8.31J / mol ? K 气体密度: ? ?
2 n ?K ,其中 n 为分子数密度, ?K 为气体分子平均动能。 3

m pM ? V RT

在不发生化学变化和物态变化的情况下,气体混合前后分子数不变,摩尔数不变,故有:

? ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ……+? k ,

pV k pV ?? i i T n?1 Ti

2.道尔顿分压定律:各种不同化学成分的理想气体组成的混合气体,当其中各组分之间无 化学反应,又无其它相互作用,混合理想气体的总压强等于各种气体组成部分的分压强之和。 即 p总 ?

?p
i ?1

n

i

3.状态图线:P-V图,V-T图,P-T图。一个点表示一个状态,一段曲线表示一个 过程 4.气体实验三定律 在压强不太大,温度不太低的条件下,气体的状态变化遵从以下三个实验定律 a、玻意耳-马略特定律:一定质量气体温度不变时,P1V1 = P2V2 或 PV = 恒量 b、查理定律:一定质量气体体积不变时,
P1 T1

=

P2 P 或 T T2 V1 T1

= 恒量
V2 V 或 = 恒量 T T2

c、盖·吕萨克定律:一定质量气体压强不变时, 5.理想气体状态方程:一定质量的理想气体,
P1 V1 T1

=

=

P2 V2 PV 或 = 恒量 T T2

【例题 5】如图 6-7 所示,在标准大气压下,一端封闭的玻璃管长 96cm , 内有一段长 20cm 的水银柱,当温度为 27℃且管口向上竖直放置时,被封闭的 气柱长为 60cm。试问:当温度至少升高到多少度,水银柱才会从玻璃管中全部 溢出? 【解说】首先应该明确的是,这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范

围讨论的问题。 如果是前一种可能,似乎应该这样解: 380K 但是,仔细研究一下升温气体膨胀的全过程,就会发现,在某些区域,准静态过程是不可 能达成的,因此状态方程的应用失去意义。 为了研究准静态过程是否可能达成,我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静态膨胀 的,这样,气柱的压强只受玻马定律制约(而与外界大气压、水银柱长没有关系) ,设为 P 。 而对于一般的末状态,水银柱在管中剩下的长度设为 x 。从初态到这个一般的末态
( 76 ? 20 ) ? 60 PL P(96 ? x ) 19.2T P1L1 = ,即 = ,得 P = T 96 ?x T 300 T1 ( 76 ? 20 ) ? 60 PL 76 ? 96 P1L1 = 2 2 ,即 = ,得:T2 = 300 T2 T2 T1

隔离水银柱下面的液面分析,可知 P ≤ 76 + x 时准静态过程能够 达成(P 可以随升温而增大,直至不等式取等号) ,而 P > 76 + x 时准 静态过程无法达成(T 升高时,P 增大而 x 减小) ,水银自动溢出。 所以,自动溢出的条件是:T > 考查函数 y = ymax = 385.2K 而前面求出的 x = 0 时,T 只有 380K,说明后阶段无须升温,即是自动溢出过程 (参 ................ 照图 6-8 理解) 。而 T > ymax 即是题意所求。 【答案】385.2K 。 【例题 6】图 6-9 是一种测量低温用的气体温度计,它的下端是测温泡 A ,上端是压 力计 B ,两者通过绝热毛细管相连,毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温 T0 下充气 至大气压 P0 ,然后加以密封,再将 A 浸入待测液体中,当 A 和待测液体达到热平衡后,B 的读数为 P ,已知 A 和 B 的容积分别为 VA 和 VB ,试求待测液体的温度。 【解说】本题是“推论 2”的直接应用
P0 (VA ? VB ) PVA = T0 TA
1 2 (-x + 20x + 7296) 19.2

1 2 (-x + 20x + 7296)发现,当 x = 10cm 时, 19.2

+

PVB T0

【答案】TA =

PVAT0 P0 (VA ? VB ) ? PVB

【例题 7】图 6-10 所示是一定质量理想气体状态变化所经历的 P-T 图线,该图线是以 C 点为圆心的圆。P 轴则 C 点的纵坐标 PC 为单位(T 轴以 TC 为单位) 。若已知在此过程中气体所 经历的最低温度为 T0 ,则在此过程中,气体密度的最大值 ρ 1 和最小值 ρ 2 之比 ρ 1/ρ 2 应等

于多少? 【解说】本题物理知识甚简,应用“推论 1”即可。
P1 P2 = ? 2 T2 ?1T1

?

?1 ?2

=

P1T2 P /T = 1 1 P2 T1 P2 / T2

此式表明, 极小值。

P P 越大时,ρ 就越大。故本题归结为求 的极大值和 T T

方法一:P 与 T 的关系服从圆的方程(参数方程为佳) T = Tc + rcosθ P = PC + rsinθ 引入 y =
P T

=

PC ? r sin ? ,然后求这个函数的极值? TC ? r cos ?
P P 的几何意义可知, 等于状态点到原点的连线与 T 轴夹角的正 T T

方法二:见图 6-11,从 切值,求

P 的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小——很显然,当直线与圆周的两 T

处相切时,出现了这样的极大和极小值。 θ
max

= α + β
PC TC
r

,θ

min

=α ? β

而 tgα = sinβ =

2 2 TC ? PC

? tgβ =

TC ? T0 2TCT0

(注意:依题意,r = TC ? T0 ) 所以 tgθ =
P 2TCT0 ? TC (TC ? T0 ) tg? ? tg? = C 1 ? tg?tg? TC 2TCT0 ? PC (TC ? T0 ) P 2TCT0 ? TC (TC ? T0 ) tg? ? tg? = C 1 ? tg?tg? TC 2TCT0 ? PC (TC ? T0 ) PC 2TCT0 ? TC (TC ? T0 ) TC 2TCT0 ? PC (TC ? T0 )

max

tgθ

min

=

【答案】 〔

PC 2TCT0 ? TC (TC ? T0 ) TC 2TCT0 ? PC (TC ? T0 )

〕/〔

〕 。

三.热力学定律的应用: 1.理想气体的内能: E ? N ?

i i i kT ? ? ? RT ? pV ,式中N为分子总数, ? 为摩尔数,k 2 2 2

为玻尔兹曼常数, R为普适气体恒量。 i 为分子的自由度。 对于单原子分子气体 (如 He,Ne,Ar) ,i=3,

对于双原子分子(如 O2,H2,CO) ,i=5,对于多原子分子气体 i=6 2.理想气体内能的变化: ?E ? ? 4.吸放热的计算 初中所学的通式 Q = cmΔ T 仍适用,但值得注意的是,对固体和液体而言,比热容 c 基 本恒定(和材料相关) ,但对气体而言,c 会随着过程的不同而不同。 对理想气体,我们一般引进“摩尔热容”C(从克拉珀龙方程知,我们关心气体的摩尔 数更甚于关心气体的质量) ,物理意义:1 摩尔物质温度每升高 1K 所吸收的热量。摩尔热容和 比热容的关系 C =
cm 。 ?

i i R?T ? ( p2v2 ? p1v1 ) 2 2

摩尔热容:1mol物质每升高1K所吸收的热量。对气体而言,可分为定容摩尔热容 和定压摩尔热容。 定容摩尔热容:Cv ? ①等容过程的吸热:Q = ? CVΔ T ②等压过程的的吸热: Q = ? CPΔ T 对于其它的复杂过程而言,摩尔热容的表达比较困难,因此,用直接的途径求热量不可取, 这时,我们改用间接途径:即求得Δ E 和 W 后,再用热力学第一定律求 Q 。 6.气体做功的计算: 气体在状态变化时,其压强完全可以是变化的,所以气体压力的功从定义角度寻求比较 困难。但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功(☆无限分割→代数累计?) ,并最终 得出这样一个非常实用的结论:准静态过程理想气体的功 W 总是对应 P-V 图象中的“面积” 。 这个面积的理解分三层意思—— ①如果体积是缩小的,外界对气体做功,面积计为正;②如果体积是增大的,气体对外 界做功,面积计为负;③如果体积参量变化不是单调的(例如循环过程) ,则面积应计相应的 差值。如图 6-3 所示。

1 i?2 iR, 定压摩尔热容:C p ? Cv ? R ? R 2 2

3.热力学第一定律:Δ E=W+Q,注意各量的正负号的规定。

1.热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用 等容过程 等容过程的特征是气体体积保持不变, ?V ? 0 ,故 W ? 0 ,由热力学第一定

律可知,在等容过程中,气体与外界交换的热量等于气体内能的增量: Q ? ?E ? m ?i R?T M 2
? m CV ?T . CV 称做定容摩尔比热容, CV ? i R , i 为分子的自由度,对于单原子分子气体, M 2
i ? 3 ;对于双原子分子气体, i ? 5 ;而对于多原子分子气体 i ? 6 . R 为摩尔气体常数,

R ? 8.31J/(mol?K) .

等压过程

等压过程的特征是气体压强保持不变, ?p ? 0 , ?W ? p??V ? m R?T ,由热 M

力学第一定律可得,在等压变化过程中气体与外界交换的热量为
Q ? ?E ? p??V ? m ?i R?T ? m R?T ? m ?i ? 2 R?T ? m C p ?T . M 2 M M 2 M

C p 称做定压摩尔比热容, Cp ? CV ? R ,而

Cp CV

? i ? 2 ? ? 称为比热容比.对于单原子分子气 i

体, ? ? 5 ;而双原子分子气体, ? ? 7 ;多原子分子气体则有 ? ? 8 . CV 、 C p 及 ? 均只与气体 3 5 6 分子的自由度有关而与气体温度无关. 等温过程 等温过程的特征是气体温度保持不变, ?T ? 0 ,由于理想气体的内能取决于

温度, 故 ?E ? 0 , 由热力学第一定律可知在等温变化过程中气体与外界交换的热量为 ?W ? ?Q . 理想气体在等温变化中, pV ? CT ? m RT ,设气体体积从 V1 膨胀到 V2 ,压强从 p1 M
C 减 小 到 p2 , 所 做 的 功 为 W , 将 这 个 功 n(n ? ?) 等 分 , 每 份 元 功 W ? T (Vi ?1 ? Vi ) , 即 n Vi
T W ? Vi ?1 V ? 1 ? W ,两边取 n 次方得 2 ? (1 ? W )n ? (1 ? W ) W CT ,当 n ?? 时 Vi nCT V1 nCT nCT

nC

lim (1 ? W ) W W ?0 nCT nC
T

nCT W ? CT

? e CT , W ? CT ln

W

V2 m V p ? RT ln 2 ? m RT ln 1 ,则 V1 M V1 M p2

V p Q ? m RT ln 2 ? m RT ln 1 . M V1 M p2
绝热过程 气体在不与外界发生热交换的条件下所发生的状态变化称做绝热过程,其特

点是 Q ? 0 ,由热力学第一定律可得 W ? ?E ? m CV ?T . M 绝热过程中气体方程为 pV ? m RT ,则对某一元过程有 M
pi ?1Vi ?1 ? piVi ? pi ?1 (Vi ?1 ? Vi ) ? Vi ( pi ?1 ? pi ) ? m R(Ti ?1 ? Ti ) ;而此元过程气体做元功为 M

p (V ? V ) ?W ? pi ?1 (Vi ?1 ? Vi ) ? m CV (Ti ?1 ? Ti ) ,则有 pi ?1 (Vi ?1 ? Vi ) ? Vi ( pi ?1 ? pi ) ? i ?1 i ?1 i R M CV
? (1 ? ? ) pi ?1 (Vi ?1 ? Vi ) ,即有

?

Vi ?1 ? Vi pi ?1 ? pi V ?V ? ? 0 .若令 ? i ?1 i ? A Vi pi Vi n

( n ?? , A 为一定值)则有

n? A ? V Vi ?1 V ? (1 ? A ) , ( i ?1 )n ? (1 ? A ) A ? , A ? ? ln 2 同理可得 Vi ?n Vi ?n V1

A ? ? ln

p1 ,可知在绝热过程中气体的压强与体积有关系 ( p1V1 )? ? ( p2V2 )? , ( pV )? ? 常量 ,此 p2

称泊松方程.通过 pV ? m RT 消去泊松方程中的 p 或 V ,可得 V ? ?1T ? 常量 .绝热过程的这三 M 个方程中,常量各不相同,大小与气体的质量及初始状态相关,绝热过程中 p 、 V 、 T 均改 变,我们可按照问题的性质,适当地选取较方便的来应用. 多方过程 我们可用 pV n ? 常量 ( n 为一常量,称多方指数)来表示气体发生状态变化的

实际过程, n ? 1 时为等温过程; n ? ? 时为绝热过程; n ? 0 时为等压过程;当 n ?? 时为等 容过程.凡可满足 pV n ? 常量 关系的过程均称为多方过程.通常的气体变化过程均为多方过 程,而等值过程只是多方过程的特例. 在多方过程中气体从状态 p1 、 V1 进入状态 p2 、 V2 ,所做的功为 W ? 能的增量为 ?E ? m CV (T2 ? T1 ) ,由热力学第一定律知 M

p1V1 ? p2V2 .气体内 n ?1

p V ? p2V2 m R(T2 ? T1 ) ;若以 C 表示多方过程 Q ? ?E ? W ? m CV (T2 ? T1 ) ? 1 1 ? CV (T2 ? T1 ) ? m M n ?1 M M n ?1
的摩尔比热容,则有 Q ? m C (T2 ? T1 ) ,由上两式并注意到 R ? (? ? 1)CV ,可得 M

(n ? ? ) R . C ? CV ? R ? n ? 1 (n ? 1)(? ? 1)
理想气体各等值过程和多方过程有关规律一览

2.热力学第二定律 循环过程 若一系统由某一状态出发,经过任意的一系列的过程,最后又回到原来的状

态,这样的过程称为循环过程. 循环过程中系统对外所做的功 如图 16—1 所示为某一系统的准静态循 环过程.在膨胀过程 AC1 B 段,系统对外所做的功( W1 )是正的,其数值与面 积 AC1 BNMA 相等;在压缩过程 BC2 A 段,系统对外做功( W2 )为负,其数值与 面积 BC2 AMNB 相等.在一循环中系统对外所做的功 W 就是这两段功的代数 和(上述两个 “面积” 的差), 即 W ? W1 ? W2 ? 面积 AC1 BNMA -面积 BC2 AMNB = 面积 AC1 BC2 A .可见,在一循环中系统对外所做的功,数值上等于图 16—1 所示 pV 图中闭合 曲线的“面积”. 若循环沿顺时针方向进行。这个功是正的,相应的循环称为正循环;若循环沿逆时针方 向进行,一个循环中系统对外所做的功为负,数值仍等于闭合曲线所包围的面积,相应的循 环称为负循环. 设 E1 表示在状态 A 时系统的内能, E2 表示在状态 B 时系统的内能,并设在 AC1 B 膨胀过 程中吸收了 Q1 热量,由热力学第一定律可知; E2 ? E1 ? Q1 ? W1 ;同理,设在 BC2 A 段压缩过 程,系统放出了 Q2 热量,由热力学第一定律可知: E1 ? E2 ? ?Q2 ? W2 ,可知
Q1 ? Q2 ? W1 ? W2 ? W ,此式表示,一循环中系统对外所做的功,等于一循环中系统吸收的净

热量

即吸收热量 Q1 与放出热量 Q2 的差. 设一系统做正循环,那么,系统在膨胀阶段所吸收的热量 Q1 大于在压缩

热机及其效率

阶段放出热量 Q2 ,其差值 Q1 ? Q2 转变为一循环中系统对外所做的功 W ,能完成这种转变的机 械称为热机, 热机的物理本质就是系统做正循环. 热机的主要部分是: 一个高温热源(发热器), 用来供给 Q1 的热量;一个低温热源(冷却器),用来吸取 Q2 的热量;一种工作物质(如水、空 气或水蒸气等),以及盛工作物质的气缸、活塞等. 对于热机, 最重要的问题在于由高温热源吸取的热量 Q1 中, 究竟有多少可以转变为功 W , 至于低温热源所吸收的热量 Q2 的多少,并不重要.因此定义了热机的效率 ? 为:一循环中系 统对外所做的功 W 与由高温热源吸取的热量 Q1 的比值,即 ? ? W ? Q1 的大小,由循环的具体结构、性质而定. 制冷机及其效率 设一系统做负循环,则 W1 为负,W2 为正,且 W1 > W2 ,W ? W1 ? W2 为 负,即一循环中系统对外做了 W 的负功;又系统从低温热源吸收了较少的热量 Q2 ,而在高 温热源放出了较多的热量 Q1 ,因而一循环中放出的净热量为 Q1 - Q2 = W .所以系统在一 负循环中,外界对系统做了 W 功的结果为:系统在低温热源吸人热量 Q2 连同转变 而成的热量, 一并成为 Q1 的热量放入高温热源, 结果将热量 Q2 由低温热源输送到高温热源, 这就是制冷机(也叫热泵)的原理. 对制冷机,要关心的问题是:一循环中系统做了 W 功后,有多少热量 Q2 由低温热源 输送到高温热源去了,因此把

Q1 ? Q2 Q ? 1 ? 2 .热机效率 Q1 Q1

Q2 Q ? Q2 定义为制冷机的制冷系数.有时也把 ? ? W ? 1 Q1 Q1 W

?1?

Q2 叫做制冷机的效率,可以看出,制冷机的效率越高,制冷系数越小,经济效能越低. Q1

在技术上使用热机的种类很多,有蒸汽机、内燃机和制冷机等,图 16—2 分别表示蒸汽 机和制冷机的工作过程框图. 卡诺循环 为方便研究热机效率问题,19 世 纪 20 年代, 法国工程师卡诺设计了一个理想循环, 即只在两个有恒定温度的高、低温热源吸、放热,

此即卡诺循环,按此种方式工作的热机称为卡诺机. 图 16—3 给出了卡诺机模型.卡诺机中的工作物质是理想气体,被一个绝热活塞封闭在 气缸中,缸的四壁是完全绝热和光滑的,缸底则是理想导热的;绝热台 H ;一个温度为 T1 的 高温热源;一个温度为 T2 的低温热源,两个热源的热容量极大,温度几乎不变. 卡诺循环的过程可用图 16—4 状态图线表示,气体从初始状态 A( p1,V1,T1 ) 开始,沿箭 头方向经历下列过程; A ? B :将气缸移到高 温热源上, 让它缓慢地做等温膨胀, 体积由 V1 膨 胀到 V2 , 在等温过程中, 温度恒为 T1 , 共吸收 Q1 热量,过程沿等温线 AB 进行;
B ? C :将气缸移到绝热台 H 上,让它做

绝热膨胀,气体温度逐渐下降,到达状态 C 时, 温度已降为 T2 ,体积膨胀到 V3 ,过程沿绝热线 BC 进行;
C ? D :将气缸移到低温热源上,将气体压缩,温度保持在 T2 ,压缩中不断放出热量,

一直压缩到状态 D ,共放出热量 Q2 , D 状态的体积为 V4 ,它是过 C 点的等温线和过 A 点的绝 热线的交点,过程沿等温线 CD 进行;
D ? A :将气缸移到绝热台,经过绝热压缩,气体温度逐渐升高,直到返回原来状态 A ,

过程沿绝热线 DA 进行. 这样完成了一个卡诺循环过程,它是由两个等温过程 AB 、CD 和两个绝热过程 BC 、 DA 组成.卡诺循环中的能量转化过程可用图 16—5 表示. 卡诺循环的效率 为使对卡诺循环的讨论具有确切的意义, 上面四个过程都必须 是准静态过程,一卡诺循环的结果是:工作物质恢复到原来状态,高温热源失去了
Q1 ? W1 的热量, W1 表示等温膨胀过程中系统对外所做的功; 低温热源获得了 Q2 ? W2

的热量,W2 是等温压缩过程中系统对外所做的功, 一循环中系统对外所做的总功为:
W ? Q1 ? Q2 ? W1 ? W2 ,其数值等于闭合曲线 ABCDA 所包围的面积,是正值.

根据热机效率的定义,卡诺循环的效率为 ? ? W ? Q1

Q1 ? Q2 ,在 AB 过程中吸收的热量 Q1

V V Q1 ? m RT1 ln 2 , 在 CD 过 程 中放 出的 热量 Q2 ? m RT2 ln 3 . 又 BC 、 DA 为 绝 热过 程, M V4 M V1 V V ? ?1 ? ?1 ? ?1 TV ? ?1 ? 常量 ,即 TV , T2V4? ?1=TV .有 ( 3 )? -1 ? ( 4 )? -1 ,所以 1 2 =T2V3 1 1 V2 V1
m RT ln V3 2 Q M V4 T V3 V4 V1 V4 ? 1 ? 2 同时也可 ? , ? .因此卡诺循环的效率为 ? ? W ? 1 ? 2 ? 1 ? Q1 Q1 V T1 V2 V1 V2 V3 m RT ln 2 1 M V1

推导出 1 ?

Q T Q2 T ? 1 ? 2 ,即 2 ? 2 .从结果可看出,卡诺循环的效宰只由两个热源的 Q1 T1 Q1 T1

温度而定, T1 越高, T2 越低,效率越高. 热力学第二定律 热力学第二定律的克劳修斯表述:在低温热源吸取热量,把它全部放入高温热源.而不 引起其他变化是不可能的.这是从热传导的方向性来表述的,也就是说,热传导只能是从高 温热源向低温热源方向进行的. 热力学第二定律的开尔文表述:从单一热源吸取热量,把它完全转变为功而不引起其他 变化是不可能的.这是从机械能与内能转化过程的方向来表述的,也就是说,当将内能转变 为机械能时,若不辅以其他手段是不可能的. 上述两种表述是完全等效的,若承认其中一种表述,可以推出另一种表述.热力学第二 定律也使人们认识到,自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向. 热力学第二定律与热力学第一定律相比,后者表明能量在转换中所遵从的数量守恒关系, 指出第一类永动机是不可能造成的:而前者则指明了能量转换过程进行的方向,指出了第二 类永动机是不能制成的。二者是不抵触的,也不互相包容,是两条独立的定律. 热力学第二定律的适用对象是与周围环境没有任何相互作用的、大量粒子组成的孤立系 统,研究孤立系统中大量微观粒子运动过程中总体所反映出来的物理性质及各种宏观物理过 程。 3. 可逆过程与不可逆过程 可逆过程与不可逆过程如图 16—6 所示, 若一系统的状态由 A 起,经 B 、
C 、? M 等到达状态 N ,就说系统经历了过程 AN .若系统能沿相反方向、

经相反次序,由 N 起,经 M ? C 、 B 而返回状态 A ,且返回 A 后,四周物质 并无任何变化(如做多少功, 吸放多少热等)就说过程 AN (或 NA )是一个可逆 过程.凡不满足上述要求的过程,称为不可逆过程.

如设图 16—3 的气缸中有一定量的理想气体, 把它放在温度为 T 的热源上。 设活塞是光滑 的,在它的上面放有很多个质量极小的砝码,由于它们的重力,使气体受到一定的压力.若 将这些小砝码一个一个地依次横移到一系列与砝码等高的平台上,则气体将逐渐膨胀,一点 一点地从热源吸收热量,转变为抵抗砝码重力所做的功,这些功又转变为各砝码的重力势 能.这个过程一直进行到活塞达到一定的位置,这就是一个等温膨胀过程。然后将平台上的 砝码一个一个横移回到活塞上,气体将逐渐地压缩,砝码的重力势能减少,转变为压缩气体 所做的功,这些功又转变为热量,一点一点地传回到热源中去,砝码全部放回,活塞回到了 原位,这样就说明了无摩擦的等温膨胀过程是一个可逆过程.可以说,无摩擦的准静态过程 都是可逆的,严格地说,只有可逆过程才能画在 pV 图上. 如膨胀过程是迅速的,气缸中的气体上疏下密,但反向进行,即迅速压缩时上密下疏, 过程就不能沿相同状态依相反次序进行,所以是不可逆的,这种过程由非平衡态组成,是不 平衡地进行的。可以说,一切不平衡地进行的过程都是不可逆的. 一切实际过程都是不可逆的,可逆过程只是为了简化问题设想的理想情况. 对于循环过程,如果循环过程中的每一步都是可逆的,则循环过程称为可逆循环.如果 循环过程中有一步是不可逆的,便是不可逆循环. 从可逆与不可逆过程的角度来说,热力学第二定律的开尔文表述说明功变热是一个不可 逆的过程;克劳修斯表述说明热传导也是一个不可逆过程. 热力学第二定律的统计意义 对大数事件,如在 N 次实验中,某一事件出现的次数设为

m ,则该事件的几率可定义为 p ? lim m .几率只能近似地预言实验结果, N ?? N
不能十分精确地和实验结果一致.为了更好地理解热力学现象中的几率问 题,下面以气体在真空中的膨胀来说明. 如图 16—7 所示,设一隔板将容器分成体积相等的 A 、 B 两部分,最 初 A 部分中有 4 个分子, 设为 a、 b、c、d ;B 部分真空, 抽去隔板后,有的分子就可能进入 B 中,从宏观角度说,就是气体膨胀进入真空.由于分子运动的杂乱性,某一时刻可能 A、 B 中 各有 2 个分子;也有可能 A 中有 3 个,月中有 1 个;也可能 A 中 1 个, B 中有 3 个分子,也 有可能四个分子同时回到了 A 中,如果这时把隔板加上,系统就回到了原来的状态了,此时 外界也没有发生什么变化,所以对 4 个分子来说,气体在真空中的膨胀现象是可逆的.那么 这 4 个分子同时回到 A 部分的几率是多大呢?即这种可逆过程的存在几率有多大呢?不难理解 应为 p ? 1 .那么当 A 中气体的分子个数很多时(事实也往往如此),设为 n 个,那么如上所述 24

23 的几率应为 p ? 1 . 若 n 以 10 个计的话, 可见其几率是非常小的, 小到了已没有实际意义. 即 2n

事实上,这种可逆过程的存在的几率是极小的,所以该过程实为一不可逆过程. 又如摩擦生热现象,根据热力学第二定律,也是不可逆的,从统计的角度来看,就是要 将摩擦所产生的热全部自动收集起来,全部转化为机械功,这种自发现象的存在几率也是极 小的,因此是一不可逆过程. 二、热力学典型问题例析 例题 8】0.1mol 的单原子分子理想气体,经历如图 6-13 所示的 A→B→C→A 循环,已 知的状态途中已经标示。试问: (1)此循环过程中,气体所能达到的最高温度状态在何处,最高温度是多少? (2)C→A 过程中,气体的内能增量、做功情况、吸放热情 况怎样? 【解说】 (1)介绍玻马定律的 P-V 图象,定性预计 Tmax 的大 概位置(直线 BC 上的某一点) 。定量计算 PV 的极大值步骤如下 —— BC 的直线方程为 P = - V + 2 y = PV = - V + 2V 显然,当 V = 2 时,y 极大,此时,P = 1 代入克拉珀龙方程:1×10 ×2×10
5 -3

1 2

1 2

2

= 0.1×8.31Tmax ,解得 Tmax = 240.7K

(2)由克拉珀龙方程可以求得 TC = 180.5K = TB ,TA = 60.2K ΔE = ?
i 3 RΔ T = 0.1× ×8.31×(60.2-180.5) = -150.0J 2 2
5 -3

根据“面积”定式,W = 0.5×10 ×2×10

= 100J
2

5 计算 Q 有两种选择:a、Q = ? CPΔ T = 0.1× ×8.31×(60.2-180.5) = -250.0J

b、Q = Δ E - W = -250.0J 【答案】 (1)V = 2×10 时,Tmax 为 240.7K; (2)内能减少 150.0J,外界对气体做功 100J, 气体向外界放热 250J 。 〖思考一〗B→C 过程气体吸放热的情况又怎样? 〖解〗由于 B→C 过程一直是气体对外界做功,但内能却是先增后减,所以过程的吸放热 情况会复杂一些。
-3

由ΔE = Q + W 不难看出,TB 到 Tmax 阶段肯定是吸热,但在 Tmax 到 TC 阶段则无法定性判断。 所以这里启用定量方法—— 在 Tmax 到 TC 阶段取一个极短过程 V →(V +ΔV) ,在此过程中 ΔE = ?
i 3 3 RΔT = Δ(PV)≈ (PΔV + VΔP) 2 2 2 1 2 1 2

由于 P = - V + 2 ,有ΔP = - ΔV 故ΔE =
1 2 3 (2-V)ΔV 2 1 2 1 2

又 W = - ΔV(P +〈P-ΔP〉 )= -PΔV + ΔPΔV ≈ -PΔV =( V-2)ΔV ( “过 程极短”的缘故…) 所以 Q = ΔE-W =(5-2V)ΔV Q < 0 时,气体开始放热,即 V > 2.5 时开始吸热(转变体积 V′= 2.5×10 m , 对应转变压强 P′= 0.75×10 Pa ,转变温度 T′= 225.6K) 。 a、吸热阶段:ΔE = 0.1× ×8.31×(225.6-180.5)= 56.2J W = - (1.5 + 0.75)×10 ×(2.5-1)×10 Q = ΔE-W = 225.0J b、放热阶段:ΔE = 0.1× ×8.31×(180.5-225.6)= -56.2J W = - (0.5 + 0.75)×10 ×(3-2.5)×10 Q = ΔE-W = -24.9J (说明:如果针对 B→C 全程计算,不难得出 Q = 200.0J 。那么,分出吸热、放热的细节 是不是没有必要呢?不能这样认为。因为热传递的过程具有不可逆性,所以这里的热量“总 帐”对气体可能是与“细帐”没有区别,但对外界而言,吸热必然是来自高温热源,而放热 却是针对低温热源, 它们就象同一个公司的两个不同贸易伙伴, 算清具体往来显然是必要的。 ) 〖答〗从高温热源吸收 225.0J 的热量,向低温热源放出 24.9J 的热量。 〖思考二〗B→C 过程吸热过程和放热过程的摩尔热容分别是多少? 〖解答〗解略。吸热过程 C1 = 49.9J/(mol〃K),放热过程 C2 = 5.54 J/(mol〃K)。 〖思考三〗整个循环的效率是多少?
3 〖解答〗A→B 过程吸热 Q = ? CVΔT = 0.1× ×8.31×(180.5-60.2)= 150.0J ,B→C 2 1 2
5 -3 5 -3 3

3 2

1 2

5

-3

= -168.8J

3 2

= -31.3J

过程吸热 225J ,C→A 过程只放热,所以全过程(从高温热源)的吸热总量为 375J。

整个循环对外做的功就是△ABC 的面积,绝对值为 ×1.0×10 ×2×10? = 100J 所以,效率 η = 热的重要性。 )
W Q吸

1 2

5

3

=

100 = 26.7% 。 (从这个计算我们可以进一步领会区分吸热和放 375

例 l 定容摩尔热容量 CV 为常量的某理想气体, 经历如图 16—8 所示的 pV 平面上的两个循环 过程 A1 B1C1 A1 和 A2 B2C2 A2 ,相应的效率分别为 ? 1 和 ? 2 ,试比较 ? 1 和 ? 2 的大小. 分析与解 循环过程的效率为 ? ? W , 其中 W 是气体经循环过程对外所做的功, Q

Q 为气体从外界吸收的热量.本题 A1 B1C1 A1 与 A2 B2C2 A2 两个循环过程的功,可从图

16—8 中的直角三角形面积所得.在 A1 B1C1 A1 循环过程中, A1 B1 阶段气体对外做功, 内能增大,吸收热量;B1C1 为等容降压过程,温度降低,放出的热量为 nCV ?T ( n 为 气体的摩尔数); C1 A1 为等压过程,温度降低,放出的热量为 nC p ?T ' .因此循环过程中的吸 热量就是 A1 B1 过程的吸热量。循环过程 A2 B2C2 A2 的情形也类似. 先计算循环过程 A1 B1C1 A1 效率,设气体的摩尔数为 n .循环过程 A1 B1C1 A1 对外所做的功即 为图中三角形 A1 B1C1 的面积, 为 W1 ? 1 ( pB1 ? pC1 )(V2 ? V1 ) ? 1 ( pB1 ? p A1 )(V2 ? V1 ) .式中 pB1 和 pC1 2 2 如分别是理想气体在状态 B1 和 C1 时的压强. 又 A1 B1 过程是通过原点的直线,过程的方程可写为 p ? kV .因此 pB1 ? pA1 ? k (V2 ? V1 ) ,代 入 W1 表达式,得 W1 ? 1 k (V2 ? V1 )2 .又直线 A1 B1 过程是多方过程,指数为 n ? ?1 ,过程方程式 2 为 pV ?1 ? 常量 ,此多方过程的摩尔热容量为 C ?

? ?n
1? n

CV ? 1 CV ,式中 ? 是气体的绝热指数. 2

设 A1 和 B1 状 态 的 温 度 分 别 为 T1 和 T2 , 则 有 pA1V1 ? nRT1 ; pB1V2 ? nRT2 , 相 减 得
T2 ? T1 ? 1 ( pB1V1 ? pA1V1 ) ? k (V22 ? V12 ) ,所以 A1 B1C1 A1 循环过程中所吸收的热量为 nR nR
Q1 ? nC (T2 ? T1 ) ? k (V22 ? V12 ) .可知 A1 B1C1 A1 循环过程的效率为 R

k (V ? V )2 2 1 R(V2 ? V1 ) W1 R(V2 ? V1 ) ;同理, A2 B2C2 A2 循环过程的效率为 ?2 ? . ?1 ? ? 2 ? Q1 k C (V 2 ? V 2 ) 2C (V2 ? V1 ) 2C(V2 ? V1 ) 2 1 R

以上两式表明,两循环过程的效率与直线 A1 B1 或 A2 B2 的斜率大小无关,而只与 C 及 V1 、 V2 有 关,其中 C 也与直线的斜率无关,因此只要相应的 V1 和 V2 相同,效率就相同,所以,两循环 过程的效率相同,即 ?1 ? ?2 . 例2 在两端开口的竖直 U 形管中注入水银, 水银柱的全长为 h . 将一边管中的水银下压,

静止后撤去所加压力,水银便会振荡起来,其振动周期为 T1 ? 2?

h ;若把管的右端封闭, 2g

被封闭的空气柱长 L ,然后使水银柱做微小的振荡,设空气为理想气体,且认为水银振荡时右 管内封闭气体经历的是准静态绝热过程,大气压强相当 h0 水银柱产 生的压强.空气的绝热指数为 ? .(1)试求水银振动的周期 T2 ;(2) 求出 ? 与、 T1 、 T2 的关系式. 分析与解 右端封闭后,随着水银柱的振荡, 被封闭的空气经历 绝热膨胀或绝热压缩过程; 封闭端的空气与外界空气对水银柱压力差 提供水银柱做微小振动的回复力,本题关注回复力的构成及所循规 律. (1)如图 16—9 所示, A 、 B 、 C 分别表示水银柱处于平衡位置、达到振幅位置时和有一 任意小位移 y 时的三个状态.建立如图坐标,设水银柱位移为 y 时,封闭气体的压强为 py ,U 形管横截面积为 S ,水银柱总质量为 m ,水银密度为 ? . 对被封闭气体的 A 、 C 状态由泊松方程可知 p0 (LS )? ? py ?(L ? y)S ? ,其中 p0 ? ? gh0 ,得
?

? ? p y ? p0 ? ?( L )? ? 1? p0 .由于 y ? L ,上式可近似为 ? L? y ? h y ? ? p y ? p0 ? ? ( L )? ? 1? p0 ? (1 ? ? ? 1) p0 ? ?? 0 ? gy .对 C 状态,研究水银柱受到的回复力, L L ? L? y ?

回复力 F 即由高度差为 2 y 的水银柱的重力、 内外气体压力的合力提供, 以位移 y 方向为 正, 即为
F ? py S ? p0 S ? 2(?m) g ? ( py ? p0 )S ? 2(?m) g ? ?? h0 h ? gyS ? 2? gyS ? ?(? 0 ? gS ? 2? gS ) y . L L

令 k ??

h0 ? gS ? 2? gS ,得 F ? ?ky .可知水银柱的微小振荡为一简谐运动,其周期为 L

T2 ? 2? m ? 2? k

? gS h . ? 2? h0 h ? ? gS ? 2? gS (2 ? ? 0 ) g L L

T (2)由上述 T1 和 T2 得 ( 1 )2 ? T2

h ?h 2g ? T ? ? 1 ? 0 ,故 ? ? 2 L ? ( 1 )2 ? 1? . h0 ? T2 h 2L ? h0 (2 ? ? ) g L

例 3

一热机工作于两个相同材料的物体 A 和 B 之间,两物体的温度分别为 TA 和 TB

( TA > TB ),每个物体的质量为 m 、比热容恒定,均为 s ,设两个物体的压强保持不变,且不 发生相变. (1)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能,求出两物体 A 和 B 最终达到的温度
T0 的表达式,给出解题的全部过程.

(2)由此得出允许获得的最大功的表达式. (3)假定热机工作于两箱水之间,每箱水的体积为 2.50m ,一箱水的温度为 350 K,另一 箱水的温度为 300K.计算可获得的最大机械能. 已知水的比热容=4.19×10 J ?kg ?K ,水的密度=1.00×10 kg ?m . 分析与解 (1)为获得最大的机械能, 可设热机工作的全过程由 n(n ? ?) 个元卡诺循环组
3 -1 -1 3 -3 3

成,第 i 次卡诺循环中,卡诺热机从高温热源(温度设为 Ti )处吸收的热量为 ?Q1 后,温度降为
Ti ?1 ;在低温热源 ( 温度设为 T j ) 处放出的热量为 ?Q2 后,温度升高为 T j ?1 满足
?Q1 ? ms(Ti ? Ti ?1 ) , ?Q2 ? ms(Tj ?1 ? Tj ) ,可知
?Q1 ?Q2 ? . Ti Tj



(Ti ? Ti ?1 ) (T j ?1 ? T j ) ? ,令 Ti Tj

T j ?1 (Ti ? Ti ?1 ) (T j ?1 ? T j ) A T ? ? , (n ? ?,A为常数).有 i ?1 ? 1 ? A , ? 1 ? A .即 Ti Tj n Ti n Tj n
n ?A T n ?A Ti ?1 n j ?1 n ) ? (1 ? A ) A , ( ) ? (1 ? A ) A ,解得 Ti n Tj n

(

A ? ln

TA T ,B ? ln 0 ,所以 T0 ? TATB . T0 TB

(2)由卡诺热机的循环过程可知:

W ? Q1 ? Q2 ? ms(TA ? TB ) ? ms(TA ? TB ? 2 TATB ) ? ms( TA ? TB )2
7 (3)根据题意代人数据即可得: W ? 2.0×10 J.

例4

已知 n (mol)的某理想气体在 T < 2T0 时的定容热容 CV 1 ? ? nR ,在 T > 2T0 时的定容

热容 CV 2 ? ? CV 1 ,其中 ? 、 ? 均为大于 1 的常量,该气体经历的循环过程 ABCDA 是如图 16— 10 所示的矩形.(1)试求状态 D 的温度 TD ,并画出循环过程中系统内能随温度 T 变化的图线,

(2)试计算循环过程的效率 ? . 分析与解 本题中理想气体所经历的循环过程曲线呈矩形, 其中:A ? B 为 等容升压, B ? C 为等压膨胀; C ? D 为等容降压; D ? A 为等压压缩.设 A 状态参量为 p1 、 V1 、 T0 ; B 状态参量为 p2 、 V1 、 2T0 ; C 状态参量为 p2 、 V2 、
3T0 ; D 状态参量为 p1 、 V2 、 TD .

(1)由理想气体状态方程,可知

p2 2T0 p2 3T0 ? , ? ,得TD ? 3 T0 .由此也可知,在 p1 T0 p1 TD 2

C ? D 过程中存在状态 F ,该状态时的温度为 2T0 .

(2) 本 题 中 理 想 气 体 内 能 为 U ? C V T, A 状 态 内 能 为
U A ? CV 1T 0? ? nRT , 2T0 ? 2? nRT0 , 0 其他状态的内能依次为 U B ? CV 1 ? UC ? CV 2 ? 3T0 ? 3?? nRT0 , U F ? CV 2 ? 2T0 ? 2?? nRT0 . U D ? CV 1 ? 1.5T0 ? 1.5? nRT0 .又在 B 、 F (温度均为 2T0 )状态时,

定容热容量发生了突变,这意味着该理想气体分子的某一运动自由 度刚好在 2T0 时被激发, 因此, 系统在 B 状态时会出现不升温的吸热,
2T 0 ? 2?? nRT 0, 在 F 状 态 时 , 会 出 现 不 降 温 的 放 热 , 内 能 变 为 内 能 变 为 U B ? CV 2 ? U F ? CV 1 ? 2T 0 ? 2? nRT 0.所以 U 和 T 的关系应完整地表达为

? U ? CV 1T ? ? nRT,(T <2T0) ? ? U ? CV 2T ? ?? nRT,(T>2T0) ?? nRT <U <?? nRT,(T=2T ) 0 ?

循环过程中系统内能 U 随温度 T 变化的图线如图 16—11 所示. 注意,图线中从 A 状态到 B 状态的等容过程并不经过 D 状态,从 B 态到 C 态的等压过程 并不经过 F 状态,同样从 C 态到 D 态的等容过程中不经过 B 态,但经过 F 状态.又 B 、 F 状 态因为温度相同,所以内能也相同,图 16—11 中用同一点表示,另外 B 、F 状态的温度 2T0 刚 好是定容热容量发生突变的温度,出现了不升温的吸热或放热,导致内能变化,所以,两者 在图中是一段等温线。同样 D 状态也不是 AB 过程中的状态,但与 AB 过程中某状态具有相同 的内能和温度. (3)一个循环过程中,气体对外所做功的大小为图 16—10 中矩形面积,即为

W ? ( p2 ? p1 )(V2 ? V1 ) .又

p2 2T0 2 V2 3T0 3 ? ? , ? ? ,所以有 W ? 1 p1V1 ? 1 nRT0 . 2 2 p1 T0 1 V1 2T0 2

循环过程中属吸热过程的是 A ? B 、 B ? C 在 B 状态时因定容热容量发生突变而造成的 吸热 QB ,吸收的热量分别为 Q AB 、 QBC 、 QB :
QAB ? CV 1 (2T0 ? T0 ) ? ? nRT0 ; QBC ? (CV 2 ? nR)(3T0 ? 2T0 ) ? n(?? ? 1) RT0 ; QB ? (CV 2 ? CV 1 )2T0 ? 2(? ? 1)? nRT0 .

则一循环中吸收的总热量为:
Q ? QAB ? QBC ? QB ? ? nRT0 ? n(?? ? 1) RT0 ? 2(? ? 1)? nRT0 ? n(3?? ? ? ? 1) RT0 .

1 nRT 0 W 2 1 所以循环过程的效率 ? 为 ? ? ? . ? Q n(3?? ? ? ? 1) RT0 2(3?? ? ? ? 1)
12、如图所示,A 和 B 是两个圆筒形绝热容器,中间用细而短的管子连接,管中有导热性 能良好的阀门 K ,而管子和阀门对外界却是绝热的。F 是带柄的绝热活塞,与容器 A 的内表 面紧密接触,不漏气,且不计摩擦。 开始时,K 关闭,F 处于 A 的左端。A 中有 ? 摩尔、温度为 T0 的理想气体,B 中则为真空。 现向右推动 F ,直到 A 中气体的体积与 B 的容积相等。在这个过程中,已知 F 对气体做功为 W ,气体温度升为 T1 ,然后将 K 稍稍打开一点,使 A 中的气体缓慢向 B 扩散,同时让活塞 F 缓慢前进,并保持 A 中活塞 F 附近气体的压强近似不变。不计活塞、阀门、容器的热容量, 试问:在此过程中,气体最后的温度 T2 是多少?

12、解说】为求温度,可以依据能量关系或状态方程。但事实证明,仅用状态方程还不够, 而要用能量关系,摩尔热容、做功的寻求是必不可少的。 过程一:K 打开前,过程绝热,据热力学第一定律,Δ E = W 又由 E = ? CVT 知 Δ E = ? CV(T1 ? T0)

因此,CV =

W ?(T1 ? T0 ) ?RT1 V1

① ②

而且在末态,P1 =

过程二:K 打开后,过程仍然绝热,而且等压。所以, W′= P1(V1 ? V1′) ,其中 V1′为 A 容器最终的稳定容积。 〖学员思考〗此处求功时ΔV 只取 A 容器中气体体积改变而不取整个气体的体积改变,为 什么?——因为 B 容器中气体为自由膨胀 的缘故… .... 为求 V1′,引进盖·吕萨克定律 从这两式可得 W′= P1V1 2T1 ? T2
T1
? V ? V1 V1 = 1 T2 T1

③ ④

而此过程的 Δ E′= ? CVΔ T = ? CV(T2 ? T1)

(注意:这里是寻求内能增量而非热量,所以,虽然是等压过程,却仍然用 CV 而非 CP) 最后,结合①②③④式对后过程用热力学第一定律即可。 【答案】T2 =
2?R (T1 ? T0 ) ? W T1 。 ?R (T1 ? T0 ) ? W

13、如图所示,在一个横截面积为 S 的封闭容器中,有一质量 M 的活塞把容器隔成Ⅰ、Ⅱ 两室,Ⅰ室中为饱和水蒸气,Ⅱ室中有质量为 m 的氮气,活塞可以在容器中无摩擦地滑动。 开始时,容器被水平地放置在地面上,活塞处于平衡,Ⅰ、Ⅱ两室的温度均为 T0 = 373K,压 强为 P0 。现将整个容器缓慢地转到竖直位置,两室的温度仍为 T0 ,但Ⅰ室中有少量水蒸气 液化成水。已知水的汽化热为 L ,水蒸气和氮气的摩尔质量分别为μ 1 和μ 程中,Ⅰ室内系统与外界交换的热量。
2

,试求在整个过

13、 【解说】容器水平放置时,设水蒸气的体积为 V1 ,氮气的体积为 V2 ;直立时,设有 体积为Δ V 的水蒸气液化成水。 直立后水的饱和气在同温度下压强不变,故氮气的压强 P = P0-
Mg S

在直立过程,对氮气用玻-马定律 P0V2 = P(V2 + Δ V) 结合以上两式可得Δ V =
Mg V2 P0S ? Mg m RT0 ?2

为解决 V2 ,对初态的氮气用克拉珀龙方程 P0V2 = 这样,Δ V =
Mg mRT0 · P0S ? Mg P0? 2

所以,水蒸汽液化的质量(用克拉珀龙方程)为 Δ m = 这部分水蒸气液化应放出热量 Q =Δ m·L = 【答案】向外界放热
?1 mMgL · 。 ?2 P0S ? Mg

? mMg ?1P0 ΔV = 1 · ?2 P0S ? Mg RT0

?1 mMgL · ?2 P0S ? Mg

19.一卡诺机在温度为 27?C 和 127?C 两个热源之间运转, (1)若在正循环中,该机从高 温热源吸热 1.2×103cal,则将向低温热源放热多少?对外作功多少?(2)若使该机反向运转 (致冷机) ,当从低温热源吸热 1.2×103cal 热量,则将向高温热源放热多少?外界作功多少?

解: (1)

Q2 ? Q1[1 ?

T1 ? T2 400 ? 300 ] ? 1.2 ? 103 ? [1 ? ] ? 900cal T1 400

W?

T1 ? T2 Q1 ? 1.254 ?103 J T1 。

(2)对卡诺制冷机

??

Q2 T2 ? Q1 ? Q2 T1 ? T2 , T1 ? T2 ] ? 1.6 ?103 cal T1 ,

Q1 ? Q2 [1 ?

W?

T1 ? T2 Q2 ? 1.672 ?103 J T1

18.有一气缸,除底部外都是绝热的,上面是一个不计重力的活塞,中间是一块固定 的导热隔板,把气缸分隔成相等的两部分 A 和 B,上、下各有 1mol 氮气(图 27-3) ,现由 底部慢慢地将 350J 热量传送给缸内气体,求 (1)A、B 内气体的温度各改变了多少? (2)它们各吸收了多少热量。 若是将中间的导热隔板变成一个绝热活塞,其他条件不变,则 A、B 的温度又是各改 变多少(不计一切摩擦)? 解:A、B 中间的隔板导热,因而 A、B 两部分气体温度始终相同,B 中温度升高后将等压 图 27-3

B A

膨胀。 设末态时 A、B 温度为 T ? ,对 B 部分气体有

V? V ? T? T
B 部分气体对外做功为

W ? P(V ? ? V ) ?
A、B 两部分气体的内能增量为

PV ?T ? R?T T

?E ? 2 ?
根据热力学第一定律得

5 R?T ? 5 R?T 2

?E ? Q ? W



?T ?

Q ? 7.02 K 6R

对 A 部分气体有

QA ?
以 B 部分气体有

5 R?T ? 145 .8 J 2

QB ? Q ? QA ? 204.2 J
16.质量为 m1 的圆筒水平地放置在真空中,质量为 m2、厚度可忽略的活塞将圆筒分为体 积相同的两部分(图 23-13(a) ) ,圆筒的封闭部分充有 n 摩尔的单原子理想气体,气体的摩 尔质量为 M,温度为 T0,突然放开活塞,气体逸出。试问圆筒的最后速度是多少?设摩擦力、 圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略不计。(T0=273K,m1=0.6kg,m2=0.3kg,n=25mol, 氦的摩尔质量为 4×10-3kg/mol,cV=12.6J/mol·K,γ =5/3) 解:过程的第一阶段是绝热膨胀,膨胀到两倍体积后(图 23-13 (b) )温度将是 T,根据绝热方程,有
m1 v2
m2

T0V0? ?1 ? T (2V0 )? ?1
因此

v1

T?

T0 2? ?1

图 23-13(b)

圆筒和活塞的总动能等于气体内能的损失,即
2 m2 v2 m1v12 ncV (T0 ? T ) ? ? 2 2

根据动量守恒定律,

m2 v2 ? m1v1
解上述方程,得过程第一阶段结束时的圆筒速度:

v1 ?

2ncV (T0 ? T ) ? m1 ? m1 ? ? m ? 1? ? ? 2 ?

由此得出结论,在过程第一阶段的最后瞬间,圆筒以速度 v1 向右运动,此时活塞正好从 圆筒冲出。 我们把坐标系设置在圆筒上,所给的是一个在真空中开口的圆筒,筒内贮有质量为 nM、 温度为 T 的气体。显然,气体将向右方流动,并推动圆筒向右以速度 v x 运动,气体分子的动 能由下式给出:
2 Mnvm 3 ? nRT 2 2

式中 vm 是分子的平均速度[注:指均方根速率],它由下述关系式给定:

vm ?

3RT M

平衡状态下各有 1/6 的分子在坐标轴方向来回运动。在计算气体逸出时,假定有 1/6 的分 子向圆筒的底部运动。 这自然只是一级近似。 因此,nm / 6 的质量以速度 vm 向圆筒底部运动, 并与筒底作弹性碰撞。之后圆筒以速度 v x 、气体以速度 v g 运动。对于弹性碰撞,动量守恒定 律和机械能守恒定律成立。由动量守恒有

nM nM vm ? v g ? m1v x 6 6
由机械能守恒有
2 2 nMvg m1v x nMvm ? ? 6? 2 6? 2 2

解以上方程组,得到气体逸出后的圆筒速度为

vx ?

2nM 2nM vm ? 6m1 ? nM 6m1 ? nM

3RT M

气体分子的 1/6 以速度 v g 反弹回来, v g 的绝对值要小于 vm 。 气体必然有较低的温度,其一部分内能使圆筒的动能增加。

速度相加后得圆筒速度为 v1

? v x ,代入所给的数据:
T ? 172.0 K ;

nM ? 0.1kg ;
v2 ? 651.4m / s vx ? 56.0m / s
得圆筒的最后速度为

v1 ? 325.7m / s
vg ? ?9 9 0 m/ s

vm ? 1035m / s

325.7m / s ? 56.0m / s ? 381.7m / s
四、相变

相:热学系统中物理性质均匀的部分。系统按化学成分的多少和相的种类多少可以成为一 元二相系(如冰水混合物)和二元单相系(如水和酒精的混合液体) 。相变分气液相变、固液 相变和固气相变三大类,每一类中又有一些具体的分支。相变的共同热学特征是:相变伴随 相变潜热。 1、气液相变,分气化和液化。气化又有两种方式:蒸发和沸腾,涉及的知识点有饱和气压、 沸点、汽化热、临界温度等。 a、蒸发。蒸发是液体表面进行的缓慢平和的气化现象(任何温度下都能进行) 。影响蒸发 的因素主要有①液体的表面积、②液体的温度、③通风条件。从分子动理论的角度不难理解, 蒸发和液化必然总是同时进行着,当两者形成动态平衡时,液体上方的气体称为—— 饱和气,饱和气的压强称为饱和气压 PW 。①同一温度下,不同液体的 PW 不同(挥发性 大的液体 PW 大) ,但同种液体的 PW 有唯一值(与气、液的体积比无关,与液体上方是否存在其 它气体无关) ; ②同一种液体, 在不同的温度下 PW 不同 (温度升高, PW 增大, 函数 PW = P0 e 式中 L 为汽化热,P0 为常量) 。 汽化热 L : 单位质量的液体变为同温度的饱和气时所吸收的热量, 它是相变潜热的一种。 汽化热与内能改变的关系 L = Δ E + PW(V 气 ? V 液)≈ Δ E + PWV 气 b、沸腾。一种剧烈的汽化,指液体温度升高到一定程度时,液体的汽化将不仅仅出现在 表面,它的现象是液体内部或容器壁出现大量气泡,这些气泡又升到液体表面并破裂。液体 沸腾时,液体种类不变和外界压强不变时,温度不再改变。 (从气泡的动力学分析可知)液体沸腾的条件是液体的饱和气压等于外界压强。 (如在 1 标准大气压下,水在 100℃沸腾,就是因为在 100℃时水的饱和气压时 760cmHg。 ) 沸点,液体沸腾时的温度。①同一外界气压下,不同液体的沸点不同;②同一种液体,
? L RT



在不同的外界气压下,沸点不同(压强升高,沸点增大) 。 c、液化。气体凝结成液体的现象。对饱和气,体积减小或温度降低时可实现液化;对非 饱和气,则须先使它变成饱和气,然后液化。 常用的液化方法:①保持温度不变, 通过增大压强来减小气体的体积; ②保持体积不变, 降低温度。 【例题 10】有一体积为 22.4L 的密闭容器,充有温度 T1 、压强 3atm 的空气和饱和水汽, 并有少量的水。今保持温度 T1 不变,将体积加倍、压强变为 2atm ,这时容器底部的水恰好消 失。将空气、饱和水汽都看成理想气体,试问: (1)T1 的值是多少?(2)若保持温度 T1 不变, 体积增为原来的 4 倍,容器内的压强又是多少?(3)容器中水和空气的摩尔数各为多少? 【解说】容器中的气体分水汽和空气两部分。容器中压强与空气压强、水汽压强的关系服 从道尔顿分压定律。对水汽而言,第二过程已不再饱和。 (1)在 T1 、3atm 状态,3 = P1 + PW (P1 为空气压强) 在 T1 、2atm 状态,2 = P2 + PW (P2 为空气压强) 而对空气,P1V = P22V 解以上三式得 P1 = 2atm ,P2 = 1atm ,PW = 1atm ,可得 T1 = 100℃ = 373K (2)此过程的空气和水汽质量都不再改变,故可整体用玻-马定律:2×2V = P′4V (这里忽略了“少量的”水所占据的体积?) (3)在一过程的末态用克拉珀龙方程即可。 【答案】 (1)373K ; (2)1atm ; (3)均为 1.46mol 。 【例题 11】如图 6-15 所示,在一个横截面积为 S 的封闭容器中,有一质量 M 的活塞把容 器隔成Ⅰ、Ⅱ两室,Ⅰ室中为饱和水蒸气,Ⅱ室中有质量为 m 的氮气,活塞可以在容器中无 摩擦地滑动。开始时,容器被水平地放置在地面上,活塞处于平衡,Ⅰ、Ⅱ两室的温度均为 T0 = 373K,压强为 P0 。现将整个容器缓慢地转到竖直位置,两室的温度仍为 T0 ,但Ⅰ室中 有少量水蒸气液化成水。已知水的汽化热为 L ,水蒸气和氮气的摩尔质量分别为μ 1 和μ 试求在整个过程中,Ⅰ室内系统与外界交换的热量。
2



【解说】容器水平放置时,设水蒸气的体积为 V1 ,氮气的体积为 V2 ;直立时,设有体积 为Δ V 的水蒸气液化成水。 直立后水的饱和气在同温度下压强不变,故氮气的压强 P = P0- 在直立过程,对氮气用玻-马定律 P0V2 = P(V2 + Δ V) 结合以上两式可得Δ V =
Mg V2 P0S ? Mg m RT0 ?2
Mg S

为解决 V2 ,对初态的氮气用克拉珀龙方程 P0V2 = 这样,Δ V =
Mg mRT0 · P0S ? Mg P0? 2

所以,水蒸汽液化的质量(用克拉珀龙方程)为 Δ m = 这部分水蒸气液化应放出热量 Q =Δ m·L = 【答案】向外界放热
?1 mMgL · 。 ?2 P0S ? Mg

? mMg ?1P0 ΔV = 1 · ?2 P0S ? Mg RT0

?1 mMgL · ?2 P0S ? Mg

〖思考〗解本题时,为什么没有考虑活塞对Ⅰ室做的功? 〖答〗注意汽化热 L 的物理意义——它其中已经包含了气体膨胀(汽化)或收缩(液化) 所引起的做功因素,若再算做功,就属于重复计量了。 〖*再思考〗Ⅱ中氮气与“外界”交换的热量是多少? 〖*答〗氮气没有相变,就可直接用热力学第一定律。ΔE = 0 ,W = ? ?
m V ? ?V RT0ln 2 = ?2 V2

m Mg m Mg RT0ln(1 + ) ,所以 Q =ΔE – W = RT0ln(1 + ) ,吸热。 ?2 P0S ? Mg ?2 P0S ? Mg

2、湿度与露点 a、空气的湿度。表示空气干湿程度的物理量,有两种定义方式。①绝对湿度:空气中含 有水蒸气的压强;②相对湿度 B :空气中含有水蒸气的压强跟该温度下水的饱和蒸气压的比

值,即 B =

P ×100%(相对湿度反映了空气中水蒸气离开饱和的程度,人体感知的正是相 PW

对湿度而非绝对湿度,以 B 值为 60~70%比较适宜。在绝对湿度一定的情况下,气温升高,B 值减小——因此,夏天尽管绝对湿度较大,但白天仍感到空气比晚上干燥) 。 b、露点:使空气中的水蒸气刚好达到饱和的温度。露点的高低与空气中含有水蒸气的压 强(即绝对湿度)密切相关,根据克拉珀龙方程,也就是与空气中水蒸气的量有关:夏天, 空气中水蒸气的量大,绝对湿度大(水蒸气的压强大) ,对应露点高;反之,冬天的露点低。 3、固液相变,分熔解和凝固。 a、熔解。物质从故态变成液态。晶体有一定的熔解温度——熔点(严格地说,只有晶体 才称得上是固体) ,非晶体则没有。大多数物质熔解时体积会膨胀,熔点会随压强的增大而升 高,但也有少数物质例外(如水、灰铸铁、锑、铋等,规律正好相反) 。 (压强对熔点的影响 比较微弱,如冰的熔点是每增加一个大气压熔点降低 0.0075℃。 ) 熔解热 λ :单位质量的晶体在溶解时所吸收的热量。从微观角度看,熔解热用于破坏晶 体的空间点阵,并最终转化为分子势能的增加,也就是内能的增加,至于体积改变所引起的 做功,一般可以忽略不计。 b、凝固。熔解的逆过程,熔解的规律逆过来都适用与凝固。 4、固气相变,分升华和凝华。 a、升华。物质从固态直接变为气态的过程。在常温常压下,碘化钾、樟脑、硫磷、干冰 等都有显著的升华现象。 升华热:单位质量的物质在升华时所吸收的热量。 (从微观角度不难解释)升华热等于 同种物质的汽化热和熔解热之和。 b、凝华。升华的逆过程。如打霜就是地面附近的水蒸气遇冷(0℃以下)凝华的结果。凝 华热等于升华热。 5、三相点和三相图 亦称“三态点”。一般指各种稳定的纯物质处于固态、液态、气态三个相(态)平衡共存 时的状态,叫做该物质的“三相点”。该点具有确定的温度和压强(清注意:两相点,如冰 点和汽点并不具备这样的特征)。所以三相点这个固定温度适于作为温标的基点,现在都以 水的三相点的温度作为确定温标的固定点。 附:几种物质的三相点数据 温度(K) 压强(Pa)

氢 氘 氖 氮 二氧化碳 水

13.84 18.63 24.57 63.18 216.55 273.16

7038.2 17062.4 43189.2 12530.2 517204 610.5

怎样理解三相点的存在呢?将相变的气化曲线 OK(即 饱和气压随温度变化的曲线——对应函数 PW = P0 e
? L RT

) 、

溶解曲线 OL(压强随熔点变化的曲线) 、升华曲线 OS(压 强随升华点变化的曲线)描绘在同一个 P-t 坐标中,就构 成“三相图” 。三条曲线的交点就是三相点,如图 6-16 所 示。 在图中,为了表示三相点的精确位置,坐标的标度并不 是均匀的,所以坐标轴用虚线表示。OK、OL 和 OS 事实上 分别是水汽两相点、冰水两相点和冰汽两相点“运动”的结果——也就是相应两相的分界线。

五、固体和液体

1、固体——晶体和非晶体 a、晶体和非晶体的根本区别是:是否具有固定的熔点。晶体又分为单晶体和多晶体,单 晶体(如石英、云母、明矾、冰等)还具有规则的几何形状、物理性质上表现为各向异性; 多晶体(如岩石、金属等)则和非晶体一样,无规则几何形状、各向同性。 b、空间点阵:组成晶体的微观粒子所形成的规则排列(非晶体没有空间点阵) 。晶体之所 以具有固定的熔点,是因为发生相变时,吸收的热量全部用来破坏空间点阵结构——分子间 距的改变导致分子势能增大,而分子的平均动能则不变。 2、液体的表面张力 a、表面张力:存在于液体表面的使表面收缩的力。表面张力的微观解释是:蒸发使表面 分子间距大于 r0 ,因此分子力体现为引力。 表面张力系数α : 设想在液面作长为 L 的线段, 则线段两边表面张力必垂直于这条线段, 且于液面相切,各自的大小均为 f = α L ,其中α 称表面张力系数。

b、浸润现象:液体与固体接触时,若接触角θ (见图 6-17)为锐 角,称为浸润现象;反之,接触角为钝角,称为不浸润。液体相对固体 是否浸润取决于液体和固体的组合关系, 如水能浸润玻璃却不能浸润石 蜡,水银能浸润锌版却不能浸润玻璃。 当θ = 0 时,称为“完全浸润” ;当θ =π 时,称为“完全不浸润” 。 从微观角度看,液体能否浸润固体取决于液体与固体接触的“附 着层”分子受液体分子力(内聚力)更大还是受固体分子力(附着力)更大。 c、毛细现象:浸润管壁的液体在毛细管中液面升高,不浸润管壁的液体在毛细管中液面 降低的现象。毛细现象的形成事实上是液体表面张力的合效果。 ☆如果毛细管的为 r ,液体的表面张力系数为α,对管壁的浸润角为θ,不难求出毛细现 象导致的液面上升(或下降)量 h =
2 cos ? 。 ?gr

【例题 12】如图 6-18 所示,在一个两端开口的、半径为 1mm 的长毛细管中 装满水,然后把它竖直地放在空间,认为水完全浸润毛细管,且水的表面张力 系数为 7.3×10 N/m ,则留在管中的水柱应有多长? 【解说】由于有两个曲面,故曲面边缘的表面张力合力为 F = 2·α 2π rcosθ 液柱的重力 G =ρ π r hg 解它们的平衡方程即可(θ = 0) 【答案】h = 2.94×10 m 。
-2 2 -2

1.一个老式的电保险丝,由连接在两个端纽之间的一根细而均匀的导线构成。导线按斯 特藩定律从其表面散热。斯特藩定律指出:辐射功率 P 跟辐射体表面积 S 以及一个与温度有关 的函数成正比,即

P辐?S T 4 ? T 4 外 ,
试说明为什么用保险丝时并不需要准确的长度。 解:设 l 为保险丝长度,r 为其半径,P 为输至整个保险丝上的功率。若 P 增大,保险丝

?

?

的温度将上升,直到输入的电功率等于辐射的功率。 所以当 P 超过某一值 Pmax 时,在一定的时间内,保险丝将烧毁,而

Pmax ? kS T 4 熔 ? T 4 外 ? c1 ? 2?r ? l,
式中 k 为一常数,S 为表面积, c1 为一常数。 由于 P=I2R,假设保险丝的电阻 R 比它所保护的线路电阻小很多,则 I 不依赖于 R,而

?

?

R??

l ,? 2 S 为常数, S ? ?r 为保险丝的横截面积。

P ? I 2 ?l / ?r 2 ,
当 I l / r ? c2 rl 时(这里 c2 为另一常数),保险丝将熔化。
2 2

I 2 ? c2 r 3 .
可见,保险丝的熔断电流不依赖于长度,仅与其粗细程度(半径 r)有关。 2.有两根长度均为 50cm 的金属丝 A 和 B 牢固地焊在一起,另两端固定在牢固的支架上 (如图 21-3) 。其线胀系数分别为α A=1.1×10-5/℃,α B=1.9×10-5/℃,倔强系数分别为 KA=2 ×106N/m,KB=1×106N/m;金属丝 A 受到 450N 的拉力时就会被拉断,金属丝 B 受到 520N 的 拉力时才断,假定支架的间距不随温度改变。问:温度由+30°C 下降至-20°C 时,会出现什么 情况?(A、B 丝都不断呢,还是 A 断或者 B 断呢,还是两丝都断呢?)不计金属丝的重量, 在温度为 30°C 时它们被拉直但张力为零。 解:金属 A 和 B 从自由状态降温,当温度降低 ?t 时的总缩短为

?l ? ?l A ? ?l B ? (? A ? ? B )l0 ?t

(1)

而在-20°C 时, 若金属丝中的拉力为 F, 则根据胡克定律, A、 B 的伸长量分别为 F/KA 和 F/KB,

所以

E E ? ? ?l KA KB

(2)

? 1 1 ? F? ?K ? K ? ? ? (? A ? ? B )l0 ?t B ? ? A
F?
所以

(3)

(? A ? ? B )l 0 ?t ? 500N 1 1 ? KA KB

因为 F ? 450 N ,所以温度下降到-20°C 前 A 丝即被拉断。A 丝断后。F=0,即使温度再下降很 多,B 丝也不会断。 3.长江大桥的钢梁是一端固定,另一端自由的。这是为什么?如果在-10℃时把两端都固 定起来,当温度升高到 40℃时,钢梁所承担的胁强(压强)是多少?(钢的线胀系数为 12×

10-6/℃,弹性模量为 2.0×105N/mm2,g=10m/s2) 解:长 1m、横截面积为 1mm2 的杆,受到 10N 拉力后伸长的量,叫伸长系数,用 a 来表 示, 而它的倒数叫弹性模量 E,E ? 1 / a. 当杆长为 L0m, 拉力为 F, S 为横截面积 (单位为 mm2) , 则有伸长量

?L ?

L0 F , ES

p?
所以有公式 又由于 所以

F ?L ?E . S L0

L ? L0 ?1 ? a?t ?,

L ? L0 ? a?t L0 p?
得 代入数据得

L ? L0 F ? E? ? Ea?t S L0

p ? 2.0 ?105 ?12?10?6 ? ?40 ? ?? 10?? ? 120 N / mm2

?

?

大桥一端是自由端,是为了避免钢梁热胀冷缩而产生的有害胁强;否则钢梁会因热胀冷 缩引起的胁强而断裂,即如果两端固定,由于热胀冷缩会对钢梁产生拉伸或压缩的压强而使 钢梁受损。此时钢梁所承受的胁强为

p ? 120N / mm2 。
4.厚度均为 a=0.2 毫米的钢片和青铜片,在 T1=293 开时,将它们的端点焊 接起来,成为等长的平面双金属片,若钢和青铜的线膨胀系数分别为 10-5/度和 2×10-5/度,当把它们的温度升高到 T2=293 开时,它们将弯成圆弧形,试求这 圆弧的半径,在加热时忽略厚度的变化。 分析:本题可认为每一金属片的中层长度等于它加热后的长度,而与之是 否弯曲无关。 解:设弯成的圆弧半径为 r,l 为金属片原长,φ 为圆弧所对的圆心角,?1 图 21-13

Cu

a

FC
?
r

和 ? 2 分别为钢和青铜的线膨胀系数,?l1 和 ?l 2 分别为钢片和青铜片温度由 T1 升高到 T2 时的 伸长量,那么对于钢片

? ? (r ? ) ? l ? ?l1
2

(1)

?l1 ? l?1 (T2 ? T1 )
对于青铜片

(2)

? ? (r ? ) ? l ? ?l2
2

(3) (4)

?l2 ? l? 2 (T2 ? T1 )

将(2)代入(1) 、 (4)代入(3)并消去φ ,代入数据后得

r ? 20.03 厘米
5.在负载功率 P1=1kW,室温 t0=20℃时,电网中保险丝的温度达到 t1=120℃,保险丝的 材料的电阻温度系数α =4×10-3K-1,保险丝的熔断温度 t2=320℃,其所释放的热量与温度差成 正比地增加,请估计电路中保险丝熔断时负载的功率。 解:设电网电压为 U,单位时间内保险丝所释放的热量为 p/w 5.5 5.2 4.8 4.5 4.1 20 100 200 300 450 ? / ? C 图 21-14

Q ? (P / U ) R
2

式中 R 是温度为 t 时保险丝的电阻,由题文知

R ? R0 (1 ? ?t )

Q ? k (t ? t 0 )
1和P 2的 式中 k 是比例系数,此热量传给周围介质,这样对于功率为 P

负载可建立方程:
2 (P 1 / U ) R0 (1 ? ?t1 ) ? k (t1 ? t 0 )

( P2 / U ) 2 R0 (1 ? ?t 2 ) ? k (t 2 ? t 0 )
由此解得欲求的负载功率为

P2 ? P1 (t 2 ? t 0 )(1 ? ?t1 ) /(t1 ? t 0 )(1 ? ?t 2 )
? 1.4kW
6.毛细管由两根内径分别为 d1 和 d2 的薄玻璃管构成,其中 d1?d2,如图 21-15 所示,管内注入质量为 M 的一大滴水。当毛细管水平放置时,整个水 滴“爬进”细管内,而当毛细管竖直放置时,所有水从中流出来。试问当毛 细管的轴与竖直方向之间成多大角时,水滴一部分在粗管内而另一部分在细 管内?水的表面张力系数是σ ,水的密度为ρ 。对玻璃来说,水是浸润液体。 解:由于对玻璃来说,水是浸润液体,故玻璃管中的水面成图 21-15 所示的凹弯月面,且 可认为接触角为 0°,当管水平放置时,因水想尽量和玻璃多接触,故都“爬进”了细管内。 而当细管竖直放置时,由于水柱本身的重力作用使得水又“爬进”了粗管。毛细管轴线与竖 图 21-15

直线之间夹角为最大时,这符合于整个水滴实际上在毛细管细管部分的情况,这时水柱长:

Lmax ?

M 1 ??d 22 4

于是根据平衡条件得:

p0 ?

4? 4? ? p0 ? ? ?gLmax cos? max d1 d2

式中 p0 为大气压强。由此得到

? min ? arccos

??d 2 ?

d ? ? 1? 2 ? ? Mg ? d1 ? ?

同理,毛细管的轴与竖直线之间的夹角为最小值,这将是整个水滴位于粗管内的情况, 同理可得

??d1 ? d1 ? ? ? 1? ? max ? arccos ? Mg ? d
?
2

?

7.有一摆钟在 25℃时走时准确,它的周期是 2s,摆杆为钢质的,其质量与摆锤相比可以 忽略不计,仍可认为是单摆。当气温降到 5℃时,摆钟每天走时如何变化?已知钢的线胀系数 α =1.2×10-5℃-1。 分析:钢质摆杆随着温度的降低而缩短,摆钟走时变快。不管摆钟走时准确与否,在盘 面上的相同指示时间内,指针的振动次数是恒定不变的,这由摆钟的机械结构所决定,从而 求出摆钟每天走快的时间。 解:设 25℃摆钟的摆长 l1 m ,周期 T1 ? 2s,5 C 时摆长为 l 2 m ,周期 T2 s ,则
?

T1 ? 2?

l1 l , T2 ? 2? 2 g g

由于 l 2 ? l1 ,因此 T2 ? T1 ,说明在 5℃时摆钟走时加快。

在一昼夜内 5℃的摆钟振动次数

n2 ?

24 ? 3600 T2 次,这温度下摆钟指针指示的时间是
24 ? 3600 ? T1 . T2

n2T1 ?
这摆钟与标准时间的差值为 ?t ,

?t ?

24 ? 3600 ? T1 ? 24 ? 3600 T2

2? ? 24 ? 3600?

l1 1 ? 1 ? 2.4 ? 10? 4 g

?

?
? 10.37s.

l 2? 1 1 ? 2.4 ? 10? 4 g

8 .有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球(布的质量可忽略不计) ,直径为 d=2.0m。球内充有压强 p0=1.005×105Pa 的气体,该布料所能承受的最大不被撕破力 fm=8.5× 103N/m, (即对于一块展平的一米宽的布料, 沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过 8.5 ×103N 时, 布料将被撕破) 。 开始时, 气球被置于地面上, 该处的大气压强为 pa0=1.000×105Pa, 温度 T0=293K。假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化,压强的变化为 ap=-9.0Pa/m,温 度的变化为 aT=-3.0×10-3K/m,问该气球上升到多少高度时将破裂? 假设气体上升很缓慢,可认为球内温度随时与周围空气的温度保持一致,在考虑气球破 裂时,可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。 解:当气球充满气体而球内压强大于球外时,布料即被绷紧,布料各部分之间产生张力, 正是这种张力可能使布料被撕裂,设想把气球分成上下两个半球,它们的交线是一个直径为 d 的圆周,周长为 ?d ,所以要从这条交线处撕裂气球,至少需要的张力为 f m ? ?d 。另一方面, 考虑上半球(包括半球内的气体)受力的情况,它受到三个力的作用: (1)下半球的球面布料所施加的张力 F;

(2)上半球外空气对它的压力的合力,其大小为 压强;

Pa ?

?d 2
4

, pa

是气球所在高度处的大气

(3)下半球内气体对它的压力为

P?

?d 2
4 ,式中 p 为气球内气体的压强。

忽略浮力时,上述三力相互平衡,即

P?

?d 2
4

? pa ?

?d 2
4

?F

而当 F ? f m ? ?d 时,布料即被撕裂,所以,气球破裂的条件是

( p ? pa ) ?

?d 2
4

? f m ? ?d

(1)

设气球破裂发生在高度 h 处,则

pa ? pa 0 ? a p h
而该处温度

(2)

T ? T0 ? aT h

(3)

这个温度也就是破裂时气球内气体的温度。又因为气球在上升过程中球内气体是等容变 化,所以有

p p0 T ? p ? p0 ? T T0 即 T0
将(2) 、 (4)和(3)式代入(1)式,得

(4)

h?

(4 f m / d ) ? ( p0 ? p a 0 ) ? 2.1? 103 m ( p0 / T0 )aT ? a p

(5)

3 即气球上升到 2.1 ? 10 m 高度以上就将被裂。

9.有一底部开口的热气球,其体积 Vb=1.1m 是常数,气球蒙皮的质量 mk=0.187kg,其体 积可忽略不计,空气的初始温度为θ 3=20℃,正常的外部气压为 p0=1.013bar,在这些条件下 的空气密度为ρ 1=1.2kg/m 。 1.为使气球刚好能浮起,气球内的空气必须加热到多高的温度? 2.先把气球系牢于地,把内部空气加热到稳态温度θ 3=110℃。当气球被释放并开始上升 时,其最初的加速度是多少? 3.将气球下部扎紧,在气球内部的空气维持稳态温度θ 1=110℃的情形下,气球在温度为 20℃和地面大气压为 p0=1.013bar 的等温大气中上升, 在这些条件下, 求气球能达到的高度 h . 4.在高度 h 处[见问题 3],将气球从其平衡位置拉离Δ h=10m,然后释放,问气球将作何 种运动? 解:1、首先计算气球浮起时气球内空气的密度,浮起的条件为
2

3

m2 g ? mH g ? m1 g
式中 m2 是气球内空气的质量,m1 是温度为 ? 1 的空气质量。因

m1 ? ?1Vb ;
所以

m2 ? ? 2Vb

? 2 ? ?1 ?
利用等容状态方程

mh ? 1.03kg / m 3 Vb

?1T1 ? ? 2T2
式中

T1 ? (273? 20) K ? 293K
因此

T2 ? 341.3K ? 68.30 C

2、和 3、作用于绳的力 FK 等于气球所受浮力

Ff

与重力为

Fl 之差,即

FK ? F f ? Fl
其中

F f ? Vb ?1 g
所以

;

Fl ? mh g ? Vb ? 3 g

Fk ? [Vb ( ?1 ? ? 3 ) ? mh ]g

? 3 ? ?1
因 式中

T1 ? 0.918kg / m 3 T3

T3 ? 383K ,因而得到

Fk ? 1.2 N

a?
根据牛顿第二定律,得

Fk 1.2 ? ? 0.9(m / s 2 ) ?1Vb 1.32

气球上升直到其重量等于浮力处于平衡,此时有

? 3Vb ? mk ? ? (h)Vb
式中 ? ( h) 是气球外空气的密度,于是

? (h) ? ? 3 ?
由气压公式,空气密度为

mk ? 1.088kg / m 3 Vb

? ( h) ? ? 1 e ? ? ?
因而

? ?1 g ? ? ?h ? p0 ?

h?

p0 ? ln 1 ?1 g ? (h)

式中 ?1 是高度为零处的密度,代入所给数据,得

h ? 827 m
10.任何弯曲表面薄膜都对液体施以附加压强,如果液体的表面是半径为 R 的球面的一 部分,求其产生的附加压强为多大? 解: 如图 21-20 所示的曲面为半径 R 的球面的一部分, 在其上选取一小块球面 ? S 来讨论,加在 ?l 上的力 ?f 为
?f 2
?f
r
C

?f 1

?
O

R

图 21-20

?f ? ??l
这样

?f1 ? ?f sin? ? ??l sin?
f1 ? ? ?f1 ? ? sin ? ? ?l ? 2??r sin ?

因而施加在整个球面 ? S 上平行于半径 OC 的力:

又因底面周边的轴对称性,整个圆周上所受表面张力沿底面平行方向的分力互相抵消, 由图可知

sin ? ?

r R



2??r 2 f1 ? R P? f1 2??r 2 2? ? ? ?S ?Rr 2 R

附加压强为

注:上式是在凸液面条件下导出的,不难证明在数值上对凹液面也成立,不过对凹液面而言, 附加压强为负值,表示球凹形液面内的压强小于外部压强,对一个球形液泡(如肥皂泡) ,由 于有内、外两层液膜,故内外压强差值为 4?

/ R。

11.将 1 大气压的空气吹成 r=2.5 厘米的肥皂泡,应作多少功?肥皂液的表面张力系数α =45×10-3 牛/米。 解:首先要扩大泡内外的表面积需作功

W1 ? ??S ? 8?r 2?
同 时 将 空 气 由

P0 ? 1 大 气 压 等 温 压 缩 到 泡 内

(P ? P0 ? 4? / r,V ? 4?r 3 / 3) 需作功,由(8-17)式知
W2 ? nRT ln(V0 / V ) ? PV ln(P / P0 )
? ( P0 ?
? P0 ?

4? 4? 3 4? )? r ? ln(1 ? ) R 3 p0 r

4? 3 4? 2 r ? ? W1 3 p0 r 3

0 r ) ? 4? / P 0 r 。两项共需作功 式中 P0 ? 4? / r , ln(1 ? 4? / P

W ? W1 ? W2 ? (5 / 3)W1

? 8?r 2 ? (5 / 3) ? 1.2 ?10?3 焦。
12.紧绷的肥皂薄膜有两个平行的边界,线 AB 将薄膜分隔成两部分(如图 21-29(a) ) 。 为了演示液体的表面张力现象,刺破左边的膜,线 AB 受到表面张力作用被拉紧,试求此时线 的张力。两平行边之间的距离为 d,线 AB 的长度为 l (L?π d/2) , 肥皂液的表面张力系数为σ 。 解:刺破左边的膜以后,线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时,线 的形状不确定) ,不难推测,在 l ? ?d / 2 的情况下,线会形成长度为

??

1 ?l ? ?d / 2? 2 的两条

直线段和半径为 d / 2 的半圆,如图 21-29(b)所示。线在 C、D 两处的拉力及各处都垂直于 该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态,显然

2T ? ? f i ,
式中 f i 为在弧线上任取一小段所受的表面张力,

?f

i

指各小段所受表面张力的合力,如

图 21-29(b)所示,在弧线上取对称的两小段,长度均为 r?? ,与 ? 轴的夹角均为 ? ,显然

f1 ? f 2 ? 2? ? r?? 。
而这两个力的合力必定沿 ? 轴方向, (它们垂直 ? 轴方向分力的合力 为零) ,这样

A

T

C
? ?

f1? ? f 2 ? ? 2?r ? cos?r?? ,
所以

T

?f
因此

i

? 2?r ?cos??? ? 4?r ? 2?d 。
T ? ?d 。

B

D

图 21-29(b)

说明:对本题要注意薄膜有上下两层表面层,都会受到表面张力的作用。



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