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2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】数列专练(含答案)



2012 届高考数学(理)数列专练
1.数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? t , an?1 ? 2Sn ? 1(n ?N? ) . (1)当 t 为何值时,数列 {an } 是等比数列; (2) (I) 在 的条件下, 若等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值, T3 ? 15 , a1 ? b1 ,a2 ? b2 ,a3 ? b3

且 又 成等比数列,求 Tn . 2.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 3 的等比数列,其前 n 项和 Sn 中 S3 ? , 4 16

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 1 | an | , Tn ?
2

1 1 1 ,求 Tn ? ? ??? ? b1b2 b2b3 bnbn?1 an (n ? N * ). 4an ? 1

3.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且满足 an ?1 ?

(1)设 bn ?

1 ,求证:数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; an

(2)设 cn ? bn ? 2n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

6.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 Tn 为数列{ 1

anan+1

}的前 n 项和,若 Tn≤λan+1 对?n∈N 恒成立,求实数 λ 的最小值.

*

7.在各项均为正数的数列 ?an ? 中,已知点 ? an?1 , an ? (n ? N * ) 在函数 y ? 2 x 的图像上,且 a2 ? a4 ? (Ⅰ)求证:数列 ?an ? 是等比数列,并求出其通项; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且 bn ? nan ,求 S n . 9.在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? 2an?1 ? n ? 2 (n≥ 2 且 n ? N* ) . (1)求 a 2 , a 3 的值; (2)证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; (3)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 12,已知递增的等比数列 {an } 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28, 且a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log2 an ? 1, Sn 是数列 {anbn } 的前 n 项和,求 Sn .
1

1 . 64

13.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 ( n ? N *) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 an ? 1
2

14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n=1,2,3,…). 求证:数列{ }为等比数列,并由此求出 Sn; 15.已知数列 {an } 的首项 a1 ? t ? 0 , an ?1 ? (1)若 t ?

Sn n

3an 2, , n ? 1, ? 2an ? 1

?1 ? 3 ,求证 ? ? 1? 是等比数列并求出 {an } 的通项公式; 5 ? an ?
a 2 20 ※ , a3 ? a5 ? ,数列 bn ? log3 n (n∈N ) 3 9 2

(2)若 a n ?1 ? a n 对一切 n ? N * 都成立,求 t 的取值范围。 17.等比数列 {an } 为递增数列,且 a 4 ? 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; 18.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为常数, n ? N ? ) ,且 a1 , a2 , a5 成公比不等于 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n a n a n ?1

19. 已知数列 ?an ? 满足: 1 ? 1 ; n?1 ? an ? 1 n ? N ? 。 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? bn ? 2, n ? N ? 。 a a , ⑴求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;⑵令数列 ?cn ? 满足 cn ? a n ? bn ,求其前 n 项和为 Tn 。 20.已知等比数列 ?an ? 中 a1 ? 64 ,公比 q ? 1 ,且 a2 , a3 , a4 分别为某等差数列的第 5 项,第 3 项,第 2 项. ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设

bn ? log 1 an ,求数列 ? b
2

n

? 的前 n 项和 T

n.

解 : ( I ) 由

an ?1 ? 2Sn ? 1 , 可 得 an ? 2Sn?1 ? 1(n ? 2)

, 两 式 相 减 得

an?1 ? an ? 2 an , 即an?1 ? 3an (n ? 2) , ∴当 n ? 2 时, {an } 是等比数列, 要使 n ? 1 时, {an } 是
等比数列,则只需

a2 2t ? 1 ? ? 3 ,从而 t ? 1 . a1 t

(II)设 {bn } 的公差为 d,由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15,于是 b2 ? 5 ,

2

故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 9 , 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) 2 , 解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 ,

∵等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,∴ d ? 0 , d ? ?10 ∴ Tn ? 15n ?

n( n ? 1) ? ( ?10 ) ? 20 n ? 5n 2 . 2
3 3 ? 不符合题意,∴ q ? 1 ,当 q ? 1 时, 4 16
1 ? ? a1 ? 4 1 1 1 ? ∴ an ? ? (? )n?1 ? (? )n?1 ? 4 2 2 ?q ? ? 1 ? 2 ?

解: (Ⅰ)若 q ? 1 ,则 S3 ?

1 ? a1 ? ? 4 ? 由? 得 3 ? S3 ? a1 (1 ? q ) ? 3 ? 1? q 16 ?

1 1 1 1 1 ? ? ? (Ⅱ)∵ bn ? log 1 an ? log 1 (? ) n ?1 ? n ? 1 ∴ bn bn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 2 2 2
∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? = ( ? ) ? ( ? ) ? ?????? ?( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2

解: (Ⅰ) an ?1 ?

an 1 1 1 1 , ? 4? , ? ? 4 ,?bn?1 ? bn ? 4 . an an?1 an 4an ? 1 an?1

数列 ?bn ? 是以 1 为首项,4 为公差的等差数列.

1 1 . ? bn ? 1 ? 4(n ? 1) ,则数 列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 3 an
(Ⅱ) Sn ? 21 ? 5 ? 22 ? 9 ? 23 ???? ? (4n ? 3)? n 2

2Sn ? 22 ? 5 ? 23 ? 9 ? 24 ???? ? (4n ? 3)? n?1 2
② ? ①并化简得 Sn ? (4n ? 7)? n?1 ? 14 . 2

4a1 ? 6d ? 14 ……………………3 分 ? 2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a 1 ? 6d ) 解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去) 所以 a1 ? 2 ,故 an ? n ? 1 ……………………………6 分 1 1 1 1 (2)因为 ? ? ? an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? 所以 Tn ? ? ? ? L ? ……………………9 分 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2) n * ? ? (n ? 2) ,对 ?n ? N * 恒成立。 因为 Tn ? ?an?1 对 ?n ? N 恒成立。即, 2(n ? 2)
解: (1)设公差为 d 。由已知得 ?

3



n 1 1 1 ? ? ? 2 4 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) 2(4 ? 4) 16 n

所以实数 ? 的最小值为

1 16

.【解】(Ⅰ)因为点 (an , an?1 )(n ?N* ) 在函数 y ? 所以 an ? 2an ?1 , 故数列 ?an ? 是公比 q ? 且 an ? 0 ,所以

1 x 的图像上, 2

an ?1 1 ? , an 2

1 1 1 的等比数列.因为 a2 a4 ? ,所以 a 1 q ? a1q3 ? , 2 64 64 1 1 1 1 即 a12 ( )4 ? ,则 a1 ? ,所以 an ? n 2 64 2 2 1 n 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? n ,所以 bn ? nan ? n( ) . 2 2

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ①-②式得 S n ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 1 2 ? n? 1 ? 2 ? n ? 2 即 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? n ? n ? 1 2 2 2 2 2n 2n 1? 2
所以 Sn ? (1)解:∵ a1 ? 3 , an ? 2an?1 ? n ? 2 (n≥ 2 且 n ? N* ) ,∴ a2 ? 2a1 ? 2 ? 2 ? 6 , a3 ? 2a2 ? 3 ? 2 ? 13 . (2)证明:∵
an ? n (2an ?1 ? n ? 2) ? n 2an ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 2, an ?1 ? (n ? 1) an ?1 ? n ? 1 an ?1 ? n ? 1

∴数列 {an ? n} 是首项为 a1 ? 1 ? 4 ,公比为 2 的等比数列. ∴ an ? n ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? 2n?1 ? n ,∴ {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 ? n (n?N* ) . (3)∵ {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 ? n (n?N* ) ,∴ Sn ? (22 ? 23 ? 24 ? ?2n?1 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)

?

22 ? (1 ? 2n ) n ? (n ? 1) n2 ? n ? 8 (n?N* ) . ? ? 2n?2 ? 1? 2 2 2

解: (1)设等比数列的公比为 q,有题意可得 ?

an ? a3 ? 2n?3 ? 2n ,∴等比数列 ?an ?的通项公式为: an ? 2n
n,

?a2 ? a3 ? a4 ? 28 1 解答: a3 ? 8 q= 2 q ? (舍去) 2 ?2a3 ? 4 ? a2 ? a4

(2)∵ bn ? log2 an?1 ? n ? 1 ∴anbn=(n+1)2 用错位相减法得: sn ? n ? 2n?1 解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26

4

所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2 1 1 1 1 1 1 1 ), = = ?( = ? 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n )= ? (1- + ? + ? + ) = ? (1, n+1 4(n+1) 4 2 2 3 n n+1 4

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)
Sn+1 Sn Sn S1 =2· ,∴数列{ }是首项为 = n+1 n n 1

解:(1)证明:由 nan+1=(n+2)Sn,得 n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn,即

Sn a1=1,公比为 2 的等比数列,∴ =2n-1,Sn=n2n-1. n
(1) 由题意知 a n ? 0, ,

1 a n ?1

?

2a n ? 1 1 1 2 , ? ? , a n 3a n 3 3a n
所以数列 ?
n ?1

1 an ?1

? 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? , ?a ? 3? n ?

1 2 ?1 ? a1 3

?1 ? 2 ? 1? 是首项为 , 3 ? an ?

1 1 ? 5 ?? 1 ? 公比为 的等比数列 ? 1 ? ? ? 1?? ? 3 an ? 3 ?? 3 ?
(2)由(1)知

3n 2 ? n , an ? n 3 ?2 3
n ?1

? 1 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 1? , ? 1 ? ? ? 1?? ? ? a an ?1 3 ? an ? t ?? 3 ? n ? ? 3an 1 1 ? 由 a1 ? 0, an ?1 ? 知 an ? 0 ,故 an?1 ? an 得 2an ? 1 an?1 an 1 1 1 n 1 1 n ?1 即 ( ? 1)( ) ? 1 ? ( ? 1)( ) ? 1 得 ? 1 ? 0 ,又 t ? 0 ,则 0 ? t ? 1 t t 3 t 3 1
? 3 2 ?a1 q ? 3 q 3 ? 解: (1)?{an } 是等比数列,? ? ,两式相除得: ? 2 10 1? q ?a q 2 ? a q 4 ? 20 1 1 ? 9 ?
q ? 3或者 q ? ? a n ? a1 q n ?1 1 2 ,?{an } 为增数列,?q ? 3 , a1 ? 3 81 2 ? ? 3 n ?1 ? 2 ? 3 n ?5 81

? bn ? log3

an n(?4 ? n ? 5) 1 2 ? (n ? 9n) ---8 分 ? n ? 5 ,数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 2 2 2

解: (Ⅰ)∵ an?1 ? an ? c, a ? 1, c 为常数,∴ an ? 1 ? (n ? 1)c . ∴ a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c .
2 又 a1 , a 2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) ? 1 ? 4c ,解得 c ? 0 或 c ? 2 .

当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 .
5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1 . ∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 n 1? 1 1 1 1 1 ? 1 ?(1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1)? ? 2 (1 ? 2n ? 1) ? 2n ? 1 2? ?

(1)由已知得数列 ?an ? 为等差数列,首项为 1,公差为 1.所以其通项公式为 an ? n 因为 Sn ? bn ? 2 ? Sn?1 ? bn?1 ? 2 ,所以 又 S1 ? b1 ? 2 ?b1 ? 1 (2)由已知得: cn ? n ? 所以 bn ?

bn ?1 1 ? ,所以数列 ?bn ? 为等比数列, bn 2

1 2 n ?1

1 2 3 n ?Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 , n ?1 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 2 ?1 ? 1 ? ? n 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? n ? n 1 2n 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? 2 1? 2
所以 Tn ? 4 ?1 ?

? ?

1 ? n 2?n ? n ?1 ? 4 ? n ?1 n ? 2 ? 2 2
2 2 3 即 a1q ? a1q ? 2 a1q ? a1q ,

解:⑴由条件知 a2 ? a3 ? 2 ? a3 ? a4 ? .
2

?

?

1 又 a1 ? q ? 0. ∴ 1 ? q ? 2 ? q ? q ? ? 2q ?1 ? q ? ,又 q ? 1 .∴ q ? . 2


?1? ∴ an ? 64 ? ? ? ? 2?

n ?1

?1? ?? ? ? 2?

n ?7



bn ? log 1 an ? n ? 7. ?b ? 前 n 项和 S ? n ? n ? 13? . n n 2 2
13n ? n2 . 当 n ? 8 时, bn ? 0 , 2 n(n ? 13) n2 ? 13n ? 84 ? 42 ? 2 2

∴当 1 ? n ? 7 时, bn ? 0 ,∴ Tn ? ? Sn ?

Tn ? ?b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? ? ? bn ? Sn ? 2S7 ?

?13n ? n 2 ,1 ? n ? 7且n ? N ? ? 2 ? ∴ Tn ? ? 2 ? n ? 13n ? 84 , n ? 8且n ? N ? . ? ? 2

6



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