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2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-有答案-通用版


2015 年秋季学期期中质量调研考试 高二数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {2, 0, 1, 4} ,集合 B ? {x 0 ? x ? 4, x ? R} ,集合 C ? A ? B .则集合 C 可 表示为 A.{2, 0,1, 4} B. {1, 2, 3, 4} C.{1, 2, 4} D. {x 0 ? x ? 4, x ? R}

2.复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z = A.

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2

C. ?

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

3.下列函数中,为奇函数的是 1 x A. y ? 2 ? x B. y ? x, x ? ?0,1? 2 ?1, x ? 0 ? C. y ? x ? sin x D. y ? ?0, x ? 0 ??1, x ? 0 ? 4.下面几种推理中是演绎推理 的为 .... A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; B.猜想数列

1 1 1 1 , , , ? ? ? 的通项公式为 an ? (n ? N ? ) ; 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

C.半径为 r 圆的面积 S ? ? r 2 ,则单位圆的面积 S ? ? ; D.由平面直角坐标系中圆的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r ,推测空间直角坐标系中球
2 2 2

的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r
2 2 2

2

5.已知 f ? x ? ? ? 2 x ? 1? ?
3

2a ? 3a ,若 f ? ? ?1? ? 8 ,则 f ? ?1? ? x
D. - 3

A.4 B.5 C. - 2 6. “ ? ? 1 ”是“ 函数 f ( x) ? cos ? x 在区间 ? 0, π ? 上单调递减”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.如图 1,在矩形 OABC 内:记抛物线 y ? x 2 ? 1 与直线 y ? x ? 1 围成的区域为 M (图中阴影部分) . 则区域 M 面积与矩形 OABC 面积之比为 A.
1 18 1 6 1 12 1 3

y 2
1
C

y ? x2 ? 1 y ? x ?1 B

B.

C.

D.

O

1 x A 图1

x

8. 已知可导函数 f ( x) ( x ? R ) 满足 f ? ( x) > f ( x) ,则当 a ? 0 时, f (a) 和 e a f (0) 大小关系 为 A. f (a ) < e a f (0) C. f (a ) = e a f (0) B. f (a ) > e a f (0) D. f (a ) ≤ e a f (0)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 的定义域为 .
正视图 侧视图

10.某几何体的三视图如图 3 所示,其正视图是边长为 2 的正方形,侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,则此几 何体的体积是
2


2 2 2

俯视图

图2

x y x y ? 2 ? 1 与椭圆 ? ? 1 有相同的焦点, 2 a b 9 4 且双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?2 x ,则双曲线 C 的方程为 . ? x ? y, ? 12. 设实数 x, y 满足 ? y ? 10 ? 2 x, 向量 a ? (2 x ? y, m), b ? (?1, 1) .若 a?//?b ,则实数 m 的 ? x ? 1, ?
11.已知双曲线 C : 13.在数列 ?a n ? 中, 已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 , 且数列 ?an ? n? 是等比数列, 则 an ? 14. 已知 f (n) = 1 +
f (2) ?

最大值为





1 1 1 + +鬃 ? (n ? N + ) ,且 2 3 n

3 5 7 , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? ,推测当 n ≥ 2 时,有 2 2 2 __________________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π) 的图像经过点 ( (1)求 ? 的值;

π , 1) . 12

(2)在 ?ABC 中, ?A 、 ?B 、 ?C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab , 且 f(

A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

16.(本小题满分 12 分)
2 an ? 2an ? 2 已知数列 {an }的前 n 项和 S n 满足: S n ? ,且 an ? 0, n ? N ? . 2an

(1)求 a1 , a2 , a3 ; (2)猜想 {an }的通项公式,并用数学归纳法证明

D
17. (本小题满分 14 分) 如图 3 所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为 矩形,四边形 BCEF 为直角梯形, BF // CE , BC ? CE ,
DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 .

A

(1)求证 : AF // 平面 CDE ; (2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值.
C

E F
图3

B

18.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 4(n ? 1)( S n ? 1) ? ( n ? 2) 2 an (n ? N ? ) . (1)求 a1 , a2 的值; (2)求 an ; (3)设 bn ?

n ?1 3 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . an 4

19.(本小题满分 14 分)

x2 y2 设双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为( 3 ,0) ,离心率 e ? 3 , a b
A、B 是双曲线上的两点,AB 的中点 M(1,2).
(1)求双曲线 C 的方程; (2)求直线 AB 方程; (3)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是否 共圆?为什么?

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) . 3 2

(1)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求函数 f ( x) 在区间[t,t+3]上的最大值.

参考答案 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 2 3 4 5 6 A
2

7 B

8 B

C B D C A 二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9. {x x ? 2} ; 13. 2 ? 3n ?1 ? n ; 三、解答题 15.解: (1)由题意可得 f ( 分 10.

8 ; 3

11. x ?

14. f (2n ) ?

n?2 ; 2

y2 ? 1; 4

12. 6 ;

π π ) ? 1 ,即 sin( ? ? ) ? 1 . 12 6
?? ?

???????????2

? 0 ? ? ? π ,?

π π 7π π π , ? ?? ? , ? ?? ? 6 6 6 6 2

π . 3

?????

5分 (2)? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,

a 2 ? b2 ? c2 1 ? cos C ? ? , ????????????????????7 分 2ab 2 3 . ????????????????8 分 ? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 2 π 由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? ) , 3
A π ? 2 . ? f ( + ) ? sin( A ? ) ? cos A ? 2 12 2 2

? A ? ? 0, ? ? , ? sin A ? 1 ? cos 2 A ?

2 , ???????????10 分 2

又? sin B ? sin( π ? ( A ? C )) ? sin( A ? C ) ,

? sin B ? sin A cos C ? cos A sin C ?
16. (1)
a 1 = S1 = a 1 + 2 1 a 1 1

2 1 2 3 2? 6 .?????12 分 ? ? ? ? 2 2 2 2 4
3, 又 ∵ an > 0 , 所以 a1 = 3 - 1.

, 所以,a1 = - 1 ?

S 2 =a1 ? a2 ?

a2 1 ? ? 1 , 所以 a2 ? 5 ? 3 , 2 a2 a3 1 ? ? 1 所以 a3 ? 7 ? 5 . 2 a3
2n - 1 . 3 - 1 成立.

S3 =a1 ? a2 ? a3 ?
(2)猜想 an =

2n + 1 -

证明: 1o 当 n = 1 时,由(1)知 a1 =

2o 假设 n = k (k ? N + ) 时, ak =

2k + 1 -

2k - 1 成立

ak +1 =S k ?1 ? S k ? (

ak ?1 a 1 1 ? ? 1) ? ( k ? ? 1) 2 ak ?1 2 ak
2k + 1 .

=

ak + 1 1 + 2 ak + 1

2 所以 ak + 1 + 2 2 k + 1ak + 1 - 2 = 0

ak + 1 =

2(k + 1) + 1 -

2(k + 1) - 1

所以当 n = k + 1 时猜想也成立.

综上可知,猜想对一切

n ? N+

都成立.

17.解: (法一) (1)取 CE 中点为 G ,连接 DG 、 FG , ? BF //CG 且 BF ? CG , ? 四边形 BFGC 为平行四边形 ,则 BC //FG 且 BC ? FG . ? ????2 分 ? 四边形 ABCD 为矩形, ? BC //AD 且 BC ? AD , ? FG //AD 且 FG ? AD ,

? 四边形 AFGD 为平行四边形 ,则 AF //DG .
? DG ? 平面 CDE , AF ? 平面 CDE , ????????????????????4 分 ? AF // 平面 CDE .
(2)过点 E 作 CB 的平行线交 BF 的延长线 于 P ,连接 FP , EP , AP ,

D A

? EP // BC // AD ,

? A , P , E , D 四点共面.
? 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形,

? EP ? CD , EP ? CE ,又? CD ? CE ? C ,
? EP ? 平面 CDE ,? EP ? DE ,
又? 平面 ADE ? 平面 BCEF ? EP ,

C

E F P

B

? ?DEC 为平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的平面角.????????7 分
? DC ? CE ? 4 ,? cos ?DEC ?

CE 2 . ? DE 2 2 . ????????9 分 2 D

即平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 (3)过点 F 作 FH ? AP 于 H ,连接 EH ,

A ? 根据(2)知 A , P , E , D 四点共面, EP // BC // AD ,

? BC ? BF , BC ? AB ,
H

C

E

又? AB ? BF ? B , ? BC ? 平面 ABP ,

? BC ? FH ,则 FH ? EP .
又? FH ? AP , ? FH ? 平面 ADE .

? 直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ?HEF .
? DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 ,

???????????11 分

? FH ? FP sin 450 ? 2 , EF ? FP 2 ? EP 2 ? 2 2 , HE ? 6 , ? cos ?HEF ?
HE 6 3 . ? ? EF 2 2 2

即直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

3 . 2

???????????14 分

(法二) (1)? 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形, z D ? BC ? CE , BC ? CD , 又? 平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且 平面 ABCD ? 平面 BCEF ? BC ,

A

? DC ? 平面 BCEF .
以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴, CE 所在直线为 y 轴,
C

CD 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系.
根据题意我们可得以下点的坐标:

o

E F

y

A(2, 0, 4) , B(2, 0, 0) , C (0, 0, 0) , D(0, 0, 4) , E (0, 4, 0) , F (2, 2, 0) , 则 ??? ? ??? ? ??????2 分 AF ? (0, 2, ?4) , CB ? (2, 0, 0) . ??? ? ? BC ? CD , BC ? CE , ? CB 为平面 CDE 的一个法向量. ??? ? ??? ? 又? AF ? CB ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?4) ? 0 ? 0 ,
? AF // 平面 CDE .

B x

??????????????????????4 分

???? ?? ?? ? AD ? n1 ? 0, ? (2)设平面 ADE 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ???? ?? ? ? DE ? n1 ? 0. ???? ???? ? AD ? (?2, 0, 0) , DE ? (0, 4, ?4) ,
?? ??2 x1 ? 0 , 取 z1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1,1) . ?? ?4 y1 ? 4 z1 ? 0
???????????6 分

??? ? ? DC ? 平面 BCEF ,? 平面 BCEF 一个法向量为 CD ? (0, 0, 4) ,
设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ? ,

??? ? ?? CD ? n1 4 2 则 cos ? ? ??? . ? ? ?? ? 2 4? 2 CD ? n1
因此,平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 (3)根据(2)知平面 ADE 一个法向量为 n1 ? (0,1,1) ,

2 . ???????9 分 2

??

??? ? ? EF ? (2, ?2, 0) ,

??? ? ?? ??? ? ?? EF ? n1 ?2 1 ? cos ? EF , n1 ?? ??? ? ? ,???12 分 ? ?? ? 2 EF ? n1 2 2 ? 2

设直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? ,则 cos ? ? sin ? EF , n1 ? ? 因此,直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

??? ? ??

3 . 2

3 . ?????????14 分 2

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间坐标系等基 础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能 力. 2 18. 解: (1)当 n =1 时,有 4 ? (1 ? 1)( a1 +1 )( = 1+2) a1 ,解得 a1 =8 . 当 n =2 时,有 4 ? (2 ? 1)( a1 ? a2 ? 1) ? (2 ? 2) 2 a2 ,解得 a2 =27 .?????2 分

(n ? 2) 2 an (2) (法一)当 n ? 2 时,有 4( S n ? 1) ? , ?????① n ?1 4( S n ?1 ? 1) ?
①—②得: 4an ?

(n ? 1) 2 an ?1 . ???????② n

a (n ? 2) 2 an (n ? 1) 2 an ?1 (n ? 1)3 ,即: n = .????5 分 ? an ?1 n3 n ?1 n an a ?1 a a2 = n3 = n?2 3 ? … ? 3 =1 . ? 3 (n ? 1) n (n ? 1) 3 ???????????????8 分 ? an =(n ? 1)3 (n ? 2) . an an ?1 a (n ? 1)3 n3 43 3 ? ?? ? 2 ? a1 ? ? ? ? ? ? 2 ? (n ? 1)3 . 3 3 3 an ?1 an ? 2 a1 n (n ? 1) 3
? an =(n ? 1)3 . ??????????8 分

另解: an ?

又? 当 n =1 时,有 a1 =8 , 用数学归纳法证明如下:

(法二)根据 a1 =8 , a2 =27 ,猜想: an =( n ? 1)3 . ????????????3 分 (Ⅰ)当 n ? 1 时,有 a1 ? 8 ? (1 ? 1) ,猜想成立.
3

(Ⅱ)假设当 n ? k 时,猜想也成立,即: ak =( k ? 1)3 . 那么当 n ? k ? 1 时,有 4(k ? 1 ? 1)( S k ?1 ? 1) ? ( k ? 1 ? 2) 2 ak ?1 , 即: 4( S k ?1 ? 1) ?

(k ? 1 ? 2) 2 ak ?1 ,?????????① k ?1?1

(k ? 2) 2 ak , ??????????② k ?1 (k ? 3) 2 ak ?1 (k ? 2) 2 ak (k ? 3) 2 ak ?1 (k ? 2) 2 (k ? 1)3 ①-②得: 4ak ?1 ? , ? = ? k ?2 k ?1 k ?2 k ?1 解,得 ak +1 ? (k ? 2)3 ? (k ? 1 ? 1)3 . ? 当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 因此,由数学归纳法证得 an =( n ? 1)3 成立.???????????????8 分 n ?1 1 1 1 1 = ? ? ? (3)? bn ? , ???????????10 分 2 an (n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 ? Tn =b1 ? b2 ? b3 ? … ? bn ?1 ? bn = 2 ? 2 ? 2 ? … ? 2 ? 2 3 4 n (n ? 1) 2
又 4( S k ? 1) ?

<

1 1 1 1 1 ? ? ?…? ? 2 2 2?3 2?3 ( n ? 1) n n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? ( ? ) ? ( ? ) ?…? ( ? )?( ? ) 4 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 1 1 1 3 = ? ? ? . 4 2 n ?1 4
???????????????14 分

?c ? 3 ? 19.解: (1)依题意得 ? ,解得 a=1. c e ? ? 3 ? a ? 2 2 2 所以 b ? c ? a ? 3 ? 1 ? 2 ,
故双曲线 C 的方程为 x ?
2

(1 分) (2 分) (3 分)

y2 ? 1. 2

? 2 x ? ? ? 1 (2)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则有 ? ? x2 ? 2 ? ?
两式相减得: ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ?

y12 ?1 2 . 2 y2 ?1 2
(4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , 2

由题意得 x1 ? x2 , x1 ? x 2 ? 2 , y1 ? y 2 ? 4 , 所以

y1 ? y 2 2( x1 ? x 2 ) ? ? 1 ,即 k AB ? 1 . x1 ? x 2 y1 ? y 2

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 .

(3)假设 A、B、C、D 四点共圆,且圆心为 P. 因为 AB 为圆 P 的弦,所以圆心 P 在 AB 垂直 平分线 CD 上;又 CD 为圆 P 的弦且垂直平分 AB,故圆心 P 为 CD 中点 M. (8 分) 下面只需证 CD 的中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.

? y ? x ?1 ? 由 ? 2 y2 得:A(-1,0) ,B(3,4). ?1 ?x ? ? 2
由(1)得直线 CD 方程: y ? ? x ? 3 ,

(9 分)

(10 分)

? y ? ?x ? 3 ? 由 ? 2 y2 得:C(-3+ 2 5 ,6- 2 5 ) ,D(-3- 2 5 ,6+ 2 5 ) , ?1 ?x ? ? 2
所以 CD 的中点 M(-3,6). 因为 | MA |?

(11 分)

(12 分)

4 ? 36 ? 2 10 , | MB |? 36 ? 4 ? 2 10 ,
(13 分)

| MC |? 20 ? 20 ? 2 10 , | MD |? 20 ? 20 ? 2 10 ,
所以 | MA |?| MB |?| MC |?| MD | , 即 A、B、C、D 四点在以点 M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上. 20.解: (1)∵ f ( x) ?

(14 分)

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) 3 2
(1 分) (2 分)

∴ f ?( x) ? x 2 ? ?1 ? a ? x ? a ? ( x ? 1)( x ? a ) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)

?1

(?1, a)

a

(a, ??)

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


f ( x)

故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1) , (a,+∞) ;单调递减区间为(-1,a) ; (4 分) 因此 f ( x) 在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数 f ( x) 在

? f (?2) ? 0 ? 区间 (?2, 0) 内恰有两个零点,当且仅当 ? f (?1) ? 0 , ? f (0) ? 0 ?
解得 0 ? a ?

(5 分)

1 1 , 所以 a 的取值范围是(0, ). (6 分) 3 3 1 (2)当 a=1 时, f ( x) ? x 3 ? x ? 1 . 由(1)可知,函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞, 3 1 -1) , (1,+∞) ;单调递减区间为(-1,1) ; f ( x) 极大值 ? f (?1) ? ? . (7 分) 3

①当 t+3<-1,即 t<-4 时, 因 为 f ( x) 在 区 间 [t , t+3] 上 单 调 递 增 , 所 以 f ( x) 在 区 间 [t , t+3] 上 的 最 大 值 为

1 1 f ( x) max ? f (t ? 3) ? (t ? 3) 3 ? (t ? 3) ? 1 ? t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 ; 3 3
②当 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1 时,

(9 分)

因为 f ( x) 在区间 ?? ?,?1? 上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调 递 增 , 且 f (2) ? f (?1) ? ?

1 , 所 以 f ( x) 在 区 间 ?? ?,2? 上 的 最 大 值 为 3

1 f (2) ? f (?1) ? ? . 3
(10 分) 由 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1 时,且-1?[t,t+3],所以 f ( x) 在 [t , t ? 3] 上的最大值 为 f ( x) max ? f (?1) ? ?

1 ; 3

(11 分)

③当 t+3>2,即 t>-1 时, 由②得 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值为 f (2) ? f (?1) ? ?

1 . 因为 f ( x) 在区间 (1, +∞) 3

上 单 调 递 增 , 所 以 f (t ? 3) ? f (2) , 故 f ( x) 在 ?t , t ? 3? 上 的 最 大 值 为

1 f ( x) max ? f (t ? 3) ? t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 . 3
综上所述,当 a=1 时,

(13 分)

f ( x) 在[t,t+3]上的最大值 f ( x) max

?1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5(t ? ?4或t ? ?1) ? ?3 . (14 分) ?? 1 ?? (?4 ? t ? ?1) ? ? 3


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