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2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)



2015-2016 学年湖北省荆州市沙市中学高二(上)期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.将直线 y= x﹣ 绕其与 x 轴的交点顺时针旋转 90°,所得到的直线的方程为( )

A.y=﹣3x+3 B.y=﹣3x﹣3 C.y=﹣3x﹣1

D.y=3x﹣3 2.5 名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一 个运动队,不同报法的种数是( A. B.54 C.45 D.4×5 )

3.设随机变量 ξ~B(n,p) ,且 E(ξ)=1.6,D(ξ)=1.28,则( ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 4.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,P(ξ>1)=p,则 P(﹣1<ξ<0)等于( A. 5.若 p B.1﹣p C.1﹣2p =a+b D. ﹣p )



(a,b 为有理数) ,则 a+b=(

A.32 B.12 C.0 D.﹣1 6.今天为星期四,则今天后的第 22016 天是( ) A.星期 二 B.星期三 C.星期四 D.星期五 7.某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名学生参加演讲比赛,那么互斥而不对立的 两个事件是( ) A.至少有 1 名男生和至少有 1 名女生 B.恰有 1 名男生和恰有 2 名男生 C.至少有 1 名男生和都是女生 D.至多有 1 名男生和都是女生 8.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设“第 1 枚为正面”为事件 A,“第 2 枚为正面”为事件 B, “2 枚结果相同”为事件 C,则 A,B,C 中相互独立的有( ) A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 9.二项式 的展开式中的有理项共有( )

A.4 项 B.5 项 C.6 项 D.7 项

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10.如图给出的是计算

的值的程序框图,其中判断框内应填入

的是(



A.i≤2014? B.i≤2016? C.i≤2018? D.i≤2020? 11.6 位同学在 2016 年元旦联欢中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次, 进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 3 份 纪念品的同学人数为( A.0 或 1 B.1 或 2 12.x,y 是实数,则 A. B. C. D. ) C.0 或 2 D.1 或 3 的最小值是( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据: x 2 4 5 6 8 y 40 60 50 70 已知 y 对 x 呈线性相关关系,且回归方程为 ,可预测销售额为 82.5 万元时约

需 万元广告费,工作人员不慎将表格中 y 的第一个数据遗失,该数据 为 . 14.甲、乙、丙、丁和戊 5 名学生进行劳动技术比赛,决出第一名到第五名的名次.甲乙两 名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你没有得到冠军”;对乙说“你当然不会是最 差的”,从上述回答分析,5 人的名次排列可能有 种不同情况. 15. A, B, C, D 四人站成一排, B 相邻的条件下, B、 C 不相邻的概率为 在 A、 . 16.设 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ . ,其中 ai,bi 为实

数(i=0,1,2,3,4) ,则 a3=

三、解答题(本小题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 17.已知圆心为 C 的圆经过点(1,1) , (2,﹣2) ,且圆心 C 在直线 l:x﹣y+1=0 上, (1)求圆 C 的方程; (2)过 A(1,0)的直线交圆 C 于 E、F 两点,求弦 EF 中点 M 的轨迹方程.
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18. (1) 已知 (2﹣ 2 的值; (2)已知(1+

50 2 x) =a0+a1x+a2x2+…+a50x50, 求 (a0+a2+a4+…+a50) ﹣ (a1+a3+a5+…+a49)

的展开式中第 9 项、第 10 项、 第 11 项的二项式系数成等差数列,求 n.

19.某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示,其中成绩分组区间是: [40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 x 的值; (2) 根据频率直方分布图计算该班 50 位学生期中考试数学成绩的平均数与中位数 (精确到 个位) ; 3 ( )从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 X,求 P(X=1) .

20.已知函数 f(x)=ax+ . (1)若连续掷两次质地均匀的骰子(骰子六个面上标注的点数分别为 1,2,3,4,5,6) 得到的点数分别为 a 和 b,记事件 B={f(x)>b2 在 x∈(0,+∞)恒成立},求事件 B 发生 的概率. (2)从区间(﹣2,2)内任取一个实数 a,设事件 A={方程 f(x)﹣2=0 有两个不同的正 实数根},求事件 A 发生的概率. 21.某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的 一等品率为 90%,二等品率为 10%.生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若 是二等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏 损 2 万元.设生产各种产品相互独立. (1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列; (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率. 22.已知点 H 在圆 D: (x﹣2)2+(y+3)2=32 上运动,点 P 坐标为(﹣6,3) ,线段 PH 中 点为 M, (1)求点 M 的轨迹方程, (2)平面内是否存在定点 A(a,b) ,使 M 到 O(0,0) 、A 的距离之比为常数 λ(λ≠1) , 若存在,求出 A 的坐标及 λ 的值;若不存在,说明理由; (3)若直线 y=kx 与 M 的轨迹交于 B、C 两点,N(0,m)使 NB⊥NC,求 m 的范围.

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2015-2016 学年湖北省荆州市沙市中学高二(上)期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.将直线 y= x﹣ 绕其与 x 轴的交点顺时针旋转 90°,所得到的直线的方程为( A.y=﹣3x+3 B.y=﹣3x﹣3 C.y=﹣3x﹣1 D.y=3x﹣3 )

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出. 【解答】解:令 y=0,则 =0,

解得 x=1.因此直线与 x 轴的交点为(1,0) . 将直线 y= x﹣ 绕其与 x 轴的交点顺时针旋转 90°, 所得到的直线的斜率 k=﹣3. 因此所求的直线方程为:y=﹣3(x﹣1) , 即 y=﹣3x+3. 故选:A. 2.5 名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一 个运动队,不同报法的种数是( A. B.54 C.45 D.4×5 )

【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】根据题意,易得 5 名同学中每人有 4 种报名方法,由分步计数原理计算可得答案. 【解答】解:5 名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报 一项, 每人有 4 种报名方法; 根据分步计数原理,可得共有 4×4×4×4×4=45 种不同的报名方法; 故选:C. 3.设随机变量 ξ~B(n,p) ,且 E(ξ)=1.6,D(ξ)=1.28,则( ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【分析】根据随机变量符合二项分布,根据二项分布的期望和方差公式得到关于 n,p 的方 程组,注意两个方程之间的关系,把一个代入另一个,以整体思想来解决,求出 P 的值, 再求出 n 的值,得到结果. 【解答】解:∵随机变量 ξ~B(n,p) , E(ξ)=1.6,D(ξ)=1.28,
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∴np=1.6,① np(1﹣p)=1.28

② =0.8,

把①代入②得 1﹣p= ∴p=0.2 ∵np=1.6 ∴n=8, 故选 A.

4.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,P(ξ>1)=p,则 P(﹣1<ξ<0)等于( A. p B.1﹣p C.1﹣2p D. ﹣p



【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】根据随机变量 ξ 服从标准正态分布 N(0,1) ,得到正态曲线关于 ξ=0 对称,利用 P (ξ>1)=p,即可求出 P(﹣1<ξ<0) . 【解答】解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) , ∴正态曲线关于 ξ=0 对称, ∵P(ξ>1)=p, ∴P(ξ<﹣1)=p, ∴P(﹣1<ξ<0)= ﹣p. 故选:D.

5.若 A.32 B.12

=a+b C.0

(a,b 为有理数) ,则 a+b=( D.﹣1



【考点】二项式定理的应用. 【分析】由二项式定理,得:a=C50+C52×2+C54×4=41,b=﹣C51﹣C53×2﹣C55×4=29,由 此能求出 a﹣b 的值. 【解答】解:由二项式定理,得:a=C50+C52×2+C54×4=41,b=﹣C51﹣C53×2﹣C55×4=﹣ 29 ∴a+b=41﹣29=12. 故选:B. 6.今天为星期四,则今天后的第 22016 天是( ) A.星期 二 B.星期三 C.星期四 D.星期五 【考点】整除的基本性质. 【分析】此类题一般用利用二项式定理展开,变为关于 7 的展开式,求得余数,确定出今天 后的第 22016 天是星期几 【解答】解:∵22016=8672=(7+1)672=C6720×7672×10+C6721×7671×11+C6722×7670× 12+…+C672672×70×1672, ∴22016 除 7 的余数是 1, 故今天为星期四,则今天后的第 22016 天是星期五, 故选:D.
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7.某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名学生参加演讲比赛,那么互斥而不对立的 两个事件是( ) A.至少有 1 名男生和至少有 1 名女生 B.恰有 1 名男生和恰有 2 名男生 C.至少有 1 名男生和都是女生 D.至多有 1 名男生和都是女生 【考点】互斥事件与对立事件. 【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件,对立事件首先是互斥事件,再就是两个事 件的和事件是全集,由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案. 【解答】解:至少有 1 名男生和至少有 1 名女生,两者能同时发生,故 A 中两个事件不是 互斥事件,也不是对立事件; 恰有 1 名男生和恰有两名男生,两者不能同时发生,且不对立,故 B 是互斥而不对立事件; 至少有 1 名男生和全是女生,两个事件不可能同时发生,且两个事件的和事件是全集,故 C 中两个事件是对立事件, 至多有 1 名男生和都是女生,两者能同时发生,故 A 中两个事件不是互斥事件,也不是对 立事件; 故选:B. 8.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设“第 1 枚为正面”为事件 A,“第 2 枚为正面”为事件 B, “2 枚结果相同”为事件 C,则 A,B,C 中相互独立的有( ) A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 【考点】随机事件. 【分析】根据相互独立事件的定义从而得出结论, 【解答】解:由于 A 中的事件发生与否对于 B,C 中的事件是否发生不产生影响, 同理 B(C)中的事件发生与否对于 A,C(B)中的事件是否发生不产生影响, 故 A 与 B,A 与 C,B 与 C 是相互独立的, 故选:D.

9.二项式

的展开式中的有理项共有(



A.4 项 B.5 项 C.6 项 D.7 项 【考点】二项式定理的应用. 【分析】在二项式 的个数,可得结论. 【解答】解:二项式 令 20﹣ 故选:C. 的展开式中通项公式为 Tr+1= ?2r? , 的展开式中通项公式中,令 x 的幂指数为整数,求得 r 的值

为整数,可得 r=0,2,4,6,8,10,共计 6 项,

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10.如图给出的是计算

的值的程序框图,其中判断框内应填入

的是(



A.i≤2014?

B.i≤2016? C.i≤2018? D.i≤2020?

【考点】程序框图. 【分析】根据流程图写出每次循环 i,S 的值,和 退出循环的条件,得到答案. 【解答】解:根据流程图,可知 第 1 次循环:i=2,S= ; 第 2 次循环:i=4,S= … 第 1008 次循环:i=2016,S= 此时,设置条件退出循环,输出 S 的值. 故判断框内可填入 i≤2016. 故选:B. 11.6 位同学在 2016 年元旦联欢中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次, 进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 3 份 纪念品的同学人数为( ) A.0 或 1 B.1 或 2 C.0 或 2 D.1 或 3 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】由题意, 【解答】解:由题意, “正难则反”考察没交换的情况,即可得出结论. “正难则反”考察没交换的情况, ; ; 比较即可确定

①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到 3 份纪念品的同学人数为 1 人; ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到 3 份纪念品的同学人数为 0 人, 实际上,没交换的只有 2 次,得 3 份纪念品的同学人数至多为 1, 故选 A.

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12.x,y 是实数,则 A. B. C. D.

的最小值是(



【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 【分析】转化为求分别在半圆 【解答】解:转化为求分别在半圆 与直线 y=x﹣2 上的两点之间的最小距离 与直线 y=x﹣2 上的两点之间的最小距离. = .

如图所示,可知:在半圆上取点 P(1,0)时可得最小值= ∴ 故选:B 的最小值是 .

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据: x 2 4 5 6 8 y 40 60 50 70 已知 y 对 x 呈线性相关关系,且回归方程为 ,可预测销售额为 82.5 万元时约 30 .

需 10 万元广告费,工作人员不慎将表格中 y 的第一个数据遗失,该数据为 【考点】线性回归方程. 【分析】根据线性回归方程为

,令 y=82.5,即可求得销售额为 82.5 万元时所

需广告费;根据样本数据的中心在线性回归方程上,即可求得第一个数据的值. 【解答】解:∵回归方程为 ,

∴令 y=82.5,解得 x=10, ∴可预测销售额为 82.5 万元时约需 10 万元广告费; 设表中的第一个数据为 a, ∴x 的平均数为 5,y 的平均数 ∴点(5, )在回归方程为 , 上,

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=6.5×5+17.5,

解得 a=30, 表格中 y 的第一个数据的值为 30. 故答案为:10;30. 14.甲、乙、丙、丁和戊 5 名学生进行劳动技术比赛,决出第一名到第五名的名次.甲乙两 名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你没有得到冠军”;对乙说“你当然不会是最 差的”,从上述回答分析,5 人的名次排列可能有 78 种不同情况. 【考点】进行简单的合情推理. 【分析】由题意,甲不是第一名且乙不是最后一名.先排乙,乙得到冠军,有 A44=24 种排 法不同的情况.乙没有得到冠军,有 3 种情况;再排甲,也有 3 种情况;余下的问题是三个 元素在三个位置全排列,根据分步计数原理得到结果. 【解答】解:由题意,甲不是第一名且乙不是最后一名. 先排乙,乙得到冠军,有 A44=24 种排法不同的情况. 乙没有得到冠军,有 3 种情况;再排甲,也有 3 种情况; 余下 3 人有 A33 种排法,有 3?3?A33=54 种不同的情况. 故共有 24+54=78 种不同的情况. 故答案为:78

15.A,B,C,D 四人站成一排,在 A、B 相邻的条件下,B、C 不相邻的概率为



【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】利用列举法先求出基本事件总数,再求出在 A、B 相邻的条件下,B、C 不相邻包 含怕基本事件个数,由此能求出在 A、B 相邻的条件下,B、C 不相邻的概率. 【解答】解:A,B,C,D 四人站成一排,A、B 相邻, 所有的基本事件有: ABCD,ABDC,BACD,BADC,CABD,CBAD,DABC,DBAC,CDAB,CDBA,DCAB, DCBA, 共有 12 个, 其中 B、C 不相邻的基本事件有: ABDC,BACD,BADC,CABD,DBAC,CDAB,CDBA,DCAB, 共有 8 个, ∴在 A、B 相邻的条件下,B、C 不相邻的概率为 p= 故答案为: . .

16.设

=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+

,其中 ai,bi 为实

数(i=0,1,2,3,4) ,则 a3= ﹣256 . 【考点】二项式定理的应用.

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【分析】等式两边乘以(1+x)5,对比两边 x9 的系数得 ,从而求得 a3 的值.

,对比两边 x8 的系数得

【解答】解:等式两边乘以(1+x)5, 可得(1+2x)9=(a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4)?(1+x)5+b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4, 对比两边 x9 的系数得 ∴ 故答案为:﹣256. 三、解答题(本小题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 17.已知圆心为 C 的圆经过点(1,1) , (2,﹣2) ,且圆心 C 在直线 l:x﹣y+1=0 上, (1)求圆 C 的方程; (2)过 A(1,0)的直线交圆 C 于 E、F 两点,求弦 EF 中点 M 的轨迹方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)求出线段 PQ 的垂直平分线的方程,确定圆心坐标与半径,写出圆的方程即可. (2)分类讨论,利用 CM⊥CM⊥AM,可求弦 EF 中点 M 的轨迹方程. 【解答】解: (1)∵P(1,1) ,Q(2,﹣2) , ∴ 且 PQ 的中点 , ,即 x﹣3y﹣3=0, 的解,解得 C(﹣3,﹣2) ,r2=|PC|2=25. ?29= , ,对比两边 x8 的系数得 ,

因此线段 PQ 的垂直平分线的方程为

圆心 C 的坐标是方程组

∴圆 C 的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. (2)由题知,当 M 不与 A、C 重合时,CM⊥AM,则 M 在以 AC 为直径的圆上; 当 M 与 A、C 重合时,显然在以 AC 为直径的圆上. 因为 A(1,0) ,C(﹣3,﹣2) ,所以 M 点的轨迹方程为(x﹣1)[x﹣(﹣3)]+(y﹣0) [y﹣(﹣2)]=0, 整理得(x+1)2+(y+1)2=5. 18. (1) 已知 (2﹣ 2 的值; (2)已知(1+
50 2 x) =a0+a1x+a2x2+…+a50x50, 求 (a0+a2+a4+…+a50) ﹣ (a1+a3+a5+…+a49)

的展开式中第 9 项、第 10 项、 第 11 项的二项式系数成等差数列,求 n.

【考点】二项式定理的应用. 【分析】 (1)分别令 x=1,x=﹣1,代入已知的等式,化简变形可得(a0+a2+a4+…+a50)2﹣ (a1+a3+a5+…+a49)2 的值. (2)由条件利用(1+ 的展开式的通项公式,可得 ,计算求得 n 的值. ,
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【解答】解: (1)令 x=1,得

令 x=﹣1,得



把①②相乘得(a0+a1+a2+a3+a4+…+a50)=(a0﹣a1+a2﹣a3+a4+…﹣a49+a50) =(a0+a2+a4+…+a50)2﹣(a1+a3+a5+…+a49)2=150=1. (2)由于(1+ 的展开式的通项公式为 ,由题知 ,

即 n=23.

+

=2?

,化简可的 n2﹣37n+322=0,求得 n=14,或

19.某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示,其中成绩分组区间是: [40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 x 的值; (2) 根据频率直方分布图计算该班 50 位学生期中考试数学成绩的平均数与中位数 (精确到 个位) ; (3)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 X,求 P(X=1) .

【考点】频率分布直方图. 【分析】 (1)根据频率和为 1,计算 x 的值; (2)利用频率分布直方图,计算平均数与中位数的值; (3)计算分数在[80,90) 、[90,100]内的人数,计算 P(X=1)的值. 【解答】解: (1)根据频率和为 1,得 x=0.1﹣0.006×3﹣0.01﹣0.054=0.018; (2)利用频率分布直方图,计算平均数为 =45×0.06+55×0.06+65×0.1+75×0.54+85×0.18+95×0.06=74; 设中位数为 a,则 (a﹣70)×0.054+0.06+0.06+0.1=0.5, 解得 a=75 ≈75;

(3)分数在[80,90)内的人数为:50×0.018×10=9; 在[90,100]内的人数为:50×0.006×10=3;
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即分数在[80,90)的有 9 人, 分数在[90,100]的有 3 人, 所以 P(X=1)= = .

20.已知函数 f(x)=ax+ . (1)若连续掷两次质地均匀的骰子(骰子六个面上标注的点数分别为 1,2,3,4,5,6) 得到的点数分别为 a 和 b,记事件 B={f(x)>b2 在 x∈(0,+∞)恒成立},求事件 B 发生 的概率. (2)从区间(﹣2,2)内任取一个实数 a,设事件 A={方程 f(x)﹣2=0 有两个不同的正 实数根},求事件 A 发生的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;几何概型. 【分析】 (1)先求出 f(x)的最小值,然后讨论 a 的取值,找到满足条件的基本事件,根据 概率公式计算即可; (2)首先求出参数的取值范围,再利用概率公式计算即可. 【解答】解: (1)由已知:a>0,x>0 所以 ,∴

∵f(x)>b2 在 x∈(0,+∞)恒成立,∴ 当 b=1 时,a=1,2,3,4,5,6;b=2 时,a=2,3,4,5,6;b=3 时,a=6, ∴P(B)= (2)∵函数 y=f(x)﹣2 在区间(0,+∞)上有两个不同的正实数根, ∴ 即 ax2﹣2x+4=0 有两不等的正实数根 x1 和 x2



,解得





=

21.某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的 一等品率为 90%,二等品率为 10%.生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若 是二等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏 损 2 万元.设生产各种产品相互独立. (1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列; (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率.
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【考点】离散型随机变量及其分布列;相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】 (1)根据题意做出变量的可能取值是 10,5,2,﹣3,结合变量对应的事件和相互 独立事件同时发生的概率,写出变量的概率和分布列. (2)设出生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4﹣n 件,根据生产 4 件甲产品所 获得的利润不少于 10 万元,列出关于 n 的不等式,解不等式,根据这个数字属于整数,得 到结果,根据独立重复试验写出概率. 【解答】解: (1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,﹣3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72,P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=2)=0.8×0.1=0.08,P(X=﹣3)=0.2×0.1=0.02. ∴X 的分布列为: X 10 5 2 ﹣3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 (2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4﹣n 件. 由题设知 4n﹣(4﹣n)≥10, 解得 ,

又 n∈N,得 n=3,或 n=4. 所求概率为 P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192 答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192. 22.已知点 H 在圆 D: (x﹣2)2+(y+3)2=32 上运动,点 P 坐标为(﹣6,3) ,线段 PH 中 点为 M, (1)求点 M 的轨迹方程, (2)平面内是否存在定点 A(a,b) ,使 M 到 O(0,0) 、A 的距离之比为常数 λ(λ≠1) , 若存在,求出 A 的坐标及 λ 的值;若不存在,说明理由; (3)若直线 y=kx 与 M 的轨迹交于 B、C 两点,N(0,m)使 NB⊥NC,求 m 的范围. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)利用代入法求点 M 的轨迹方程, (2)求出 = = ,可得结论;

(3)利用韦达定理及向量垂直的结论,即可求 m 的范围. 【解答】解: (1)设点 M(x,y) ,则 H(2x+6,2y﹣3) , 2 2 又 H 在圆上,得(2x+6﹣2) +(2y﹣3+3) =32,化简得(x+2)2+y2=8. (2)设 M 的轨迹交 y 轴于 E、F,由 所以 A 在 x 轴上,设 M(x,y) , 则 = = , 且|EO|=|FO|知,|EA|=|FA|,

所以 4+a2=2a+4,a=2 或 0(舍) ,即 A(2,0) ,



(3)由

消去 y 得(1+k2)x2+4x﹣4=0,
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∴ 又 0=

, ,









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2016 年 9 月 6 日

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