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都是“定义域”惹的祸



都是“定义域”惹的祸
函数三要素中,定义域是十分重要的,研究函数的性质时应首先考虑其定义域.在求解函数有 关问题时,若忽视定义域,便会直接导致错解.下面我们举例分析错从何起. 一、求函数解析式时 例 1.已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求函数 f ( x) 的解析式 . 错解:令 t ?

x ? 1 ,则 x ? t ? 1 , x ? (t ? 1) 2 ,

? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,? f ( x) ? x 2 ? 1 x ?1 得 t ? 1 , ? f (t ) ? t ? 1的定义域为 t ? 1 ,即函数 f ( x) 的解析式应为 f ( x) ? x ? 1 ( x ? 1 )
2 2

剖 析 : 因 为 f ( x ? 1) ? x ? 2 x 隐 含 着 定 义 域 是 x ? 0 , 所 以 由 t ?

这样才能保证转化的等价性. 正 解 : 由 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 令 t ? 二、求函数最值(或值域)时

x ? 1 得 t ? 1 , ? x ? ?t ? 1? 代 入 原 解 析 式 得
2

,即 f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1 ) . f (t ) ? t 2 ? 1 ( t ? 1 ) 例 2.若 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x, 求 x 2 ? y 2 的最大值.

3 2 x ? 3x ①,代入 x 2 ? y 2 得 2 9 1 1 9 2 x 2 ? y 2 ? ? x 2 ? 3x ? ? ?x ? 3? ? ,∴当 x ? 3 时, x 2 ? y 2 的最大值为 . 2 2 2 2
错解:由已知有 y ? ?
2

剖析:上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合,同时也未挖掘出约束条件

3x ? 2 y 2 ? 6 x 中 x 的限制条件. 3 2 2 正解:由 y ? ? x ? 3 x ? 0 得 0 ? x ? 2 , 2 1 1 9 2 ? x 2 ? y 2 ? ? x 2 ? 3x ? ? ?x ? 3? ? , x ? ?0,2? ,因函数图象的对称轴为 x ? 3 ,∴当 2 2 2 x ? ?0,2? 是函数是增函数,故当当 x ? 2 时, x 2 ? y 2 的最大值为 4 .
2

? ? = ? 2 ? log x ? ? 2 ? log x = ? log 增函数,故函数 y ? ? ? f ? x ?? ? ? f ? x ? 在 x ? 9 时取得最大值为 33.
错解: y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2 2 2
2 2 3 3

例 3.已知函数 f ? x ? ? 2 ? log3 x ?1 ? x ? 9? ,则函数 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x A.33 B.22 C.13 D.6
2
2 3

? ? 的最大值为(
2



x ? 3? ? 3 在 ?1 ? x ? 9? 上是

2

正解:由已知所求函数 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2 2 2
2

? ? 的定义域是 ?1 ? x
2

?1 ? x ? 9 ?
2

?9

得1 ? x ? 3 ,

2 2 y?? ? f ? x ?? ? ? f ? x ? = ? 2 ? log 3 x ? ? 2 ? log 3 x = ? log 3 x ? 3? ? 3 在 1 ? x ? 3 是增函数,故函数 2

2 y?? ? f ? x ?? ? ? f ? x ? 在 x ? 3 时取得最大值为 13.

?2 ? x ? 4? ,求 y ? ? f ?1 ?x ??2 ? f ?1 ?x 2 ?的最大值和最小值. x ?2 ?1 错解:由 f ?x? ? 3 ?2 ? x ? 4? 得 1 ? y ? 9 .∴ f ?x? ? 2 ? log3 x?1 ? x ? 9? .
例 4.已知 f ?x? ? 3
x ?2

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∴y? f

?x ??2 ? f ?1 ?x 2 ? ? ?2 ? log 3 x ?2 ? 2 ? log 3 x 2 ? log 3 2 x ? 6 log 3 x ? 6 2 ? ?log3 x ? 3? ? 3. ∵ 1 ? x ? 9 ,∴ 0 ? log3 x ? 2 .∴ ymax ? 22 , y min ? 6 . 2 剖析: ∵ f ?1 ?x ? 中 1 ? x ? 9 , 则 f ?1 ?x 2 ? 中 1 ? x ? 9 , 即1 ? x ? 3 , ∴本题的定义域应为 ?1,3?.
?1

?

∴ 0 ? log3 x ? 1 .

正解: (前面同上) y ? ?log3 x ? 3? ? 3 ,由 1 ? x ? 3 得 0 ? log3 x ? 1 .
2

∴ ymax ? 13 , y min ? 6 . 例 5.求函数 y ? 4x ? 5 ? 2x ? 3 的值域. 错解:令 t ?
2

2x ? 3 ,则 2 x ? t 2 ? 3 ,∴ y ? 2 t 2 ? 3 ? 5 ? t ? 2t 2 ? t ? 1

?

?

?7 ? ? 1? 7 7 ? 2? t ? ? ? ? .故所求函数的值域是 ? ,?? ? . ?8 ? ? 4? 8 8 2 剖析:经换元后,应有 t ? 0 ,而函数 y ? 2t ? t ? 1 在 ?0,??? 上是增函数,随着 t 增大而无穷 增大.所以当 t ? 0 时, y min ? 1 .故所求函数的值域是 ?1,??? .
三、求反函数时 例 6.求函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 错解:函数 y ? ? x ? 4x ? 2
2

(0 ? x ? 2) 的值域为 y ? ?2,6?,

(0 ? x ? 2) 的反函数.

又 y ? ?( x ? 2) 2 ? 6 ,即

( x ? 2) 2 ? 6 ? y ? x ? 2 ? ? 6 ? y ,? 所求的反函数为

y ? 2 ? 6 ? x ?2 ? x ? 6? .
剖析:上述解法中忽视了原函数的定义域 ,没有对 x 进行合理取舍,从而得出了一个非函数表 达式. 正解:由 y ? ? x ? 4x ? 2 (0 ? x ? 2) 的值域为 y ? ?2,6?,
2

因 ( x ? 2) 2 ? 6 ? y ,又

x ? 2 ? 0 ? x ? 2 ? ? 6 ? y ,? 所求的反函数为 y ? 2 ? 6 ? x ?2 ? x ? 6? .
四、求函数单调区间时 例 7.求函数 f ( x) ? lg(4 ? x 2 ) 的单调递增区间. 错解:令 t ? 4 ? x ,则 y ? lg t ,它是增函数. ? t ? 4 ? x 在 (??,0] 上为增函数,由复合函
2 2

数的单调性可知,函数 f ( x) ? lg(4 ? x 2 ) 在 (??,0] 上为增函数,即原函数的单调增区间是 (??,0] . 剖析:判断函数的单调性,必须先求出函数的定义域,单调区间应是定义域的子区间. 正解:由 4 ? x ? 0 ,得 f ( x) 的定义域为 (?2,2) .? t ? 4 ? x 在 (?2,0] 上为增函数,由可复
2 2

合函数的单调性可确定函数 f ( x) ? lg(4 ? x ) 的单调增区间是 (?2,0] .
2

例 8.求 y ? log0.7 x ? 3x ? 2 的单调区间.
2

?

?

错解:令 t ? x ? 3x ? 2 , y ? log0.7 t , x ? ? ? ?, ? 时, t ? x ? 3x ? 2 为减函数, 2
2 2

? ?

3? ?

?3 ? x ? ? ,?? ? 时, t ? x 2 ? 3x ? 2 为增函数,又 y ? log0.7 t 为减函数,故以复合函数单调性知原函 ?2 ? 3? ? ?3 ? 数增区间为 ? ? ?, ? ,减区间为 ? ,?? ? . 2? ? ?2 ? 剖析:在定义域内取 x ? 1 , y 值不存在,显然上面所求不对,根本原因正是疏忽了定义域,单
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2 调区间必须在函数定义域内.由 x ? 3x ? 2 ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 2 ,故增区间为 ?? ?,1? ,减区间

为 ?2,??? .

例 9.指出函数 y ? x2 ? 2ln x 的单调增区间. 错解:∵

y ? x2 ? 2ln x , ∴ y? ? 2 x ?

的单调增区间为 ? ??, ?1? , ?1, ??? . y ? x2 ? 2 l n x 五、判断函数的奇偶性时 例 10.判断 f ?x ? ? ?1 ? x ?

2 , ∴ 当 y? ? 0 时 , x ? 1 或 x ? ?1 , ∴ 函 数 x

剖析:此题错在没有考虑函数的定义域 ? 0, ??? ,故本题的答案为 ?1, ?? ? .

1? x 的奇偶性. 1? x

1? x 错解:∵ f ?? x ? ? ?1 ? x ? ? 1? x
数.

?1 ? x?2 ?1 ? x? ? ?1 ? x?
1? x

1? x ? f ?x ? , ∴ f ?x ? 为偶函 1? x

剖析:事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件,即首先定义域必须是关于原点的对称区 间.而此函数的定义域为 ?? 1,1? ,不满足上述条件,即应为非奇非偶函数.

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