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高中数学之数列内容精华归纳



第一部分:数列(定义、公式、表示方法、分类)
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序” ,而不强调有“规律” .因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它 们就是不同的数列. ⑵在数列中同一个数可以重复出现. ⑶项 a n 与项数 n 是两个根本不同的概念. ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列 2.通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即 an ? f (n) .

或 an ? f (an?1 , an?2 ) ,那么这个式子叫做数列 ?an ? 的递推公式. 如数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 2an ? 1,其中 an ? 2an ? 1 是数列 ?an ? 的递推公式. 4.数列的前 n 项和与通项的公式 ① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ; ② a n ? ?

3.递推公式: 如果已知数列 ?an ? 的第一项 (或前几项) , 且任何一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前几项) 间的关系可以用一个式子来表示, 即 an ? f (an?1 )

? S1 ( n ? 1) . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ? a n . ②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 an?1 ? an . ③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, ?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数 M 使 an ? M , n ? N ? . ⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 an 使得 an ? M . 1、已知 an ?

1 n (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) ; 25 n ? 156
2

2、数列 {an } 的通项为 a n ?

an ,其中 a , b 均为正数,则 an 与 a n?1 的大小关系为___(答: an ? a n?1 ) ; bn ? 1

3、已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围(答: ? ? ?3 ) ;4、一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意

a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是

() (答:A)

第二部分:等差数列(定义、判断方法、性质等)
1、 等差数列的定义:如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。即

? ?

a n ? an?1 ? d (n ? N * , 且n ? 2) .(或 a n ? 1 ? an ? d (n ? N *) ).
2、 (1)等差数列的判断方法: ①定义法: a n ? 1 ? an ? d (常数) ? ?a n?为等差数列。 ② 中项法: 2 a n ?1?a n ? a n ? 2 ? ?a n?为等差数列。 ③通项公式法: a n ? an ? b (a,b 为常数) ? ?a n?为等差数列。 ④前 n 项和公式法: s n ? A n 2 ? Bn (A,B 为常数) ? ?a n?为等差数列。

如设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差数列。 n

(2)等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。公式变形为: a n ? an ? b . 其中 a=d, b= a1 -d. 如 1、等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? 的取值范围是______(答: (答: 2 n ? 10 );2、首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差

8 ? d ?3) 3
d

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d ? A n 2 ? Bn d 。公式变形为:s n (3)等差数列的前 n 和: S n ? , S n ? na1 ? ,其中 A= 2 ,B= a 1 ? .注意:已知 n,d, a1 , a n , 2 2 2

s n 中的三者可以求另两者,即所谓的“知三求二”。
如 数列 {an } 中,an ? an ?1 ?
2

3 1 15 (n ? 2, n ? N * ) ,an ? ,前 n 项和 Sn ? ? ,则 a1 =_,n =_(答:a1 ? ?3 ,n ? 10 ); (2)已知数列 {an } 2 2 2

?12n ? n 2 (n ? 6, n ? N * ) ? 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn (答: Tn ? ? 2 ). * ? ?n ? 12n ? 72(n ? 6, n ? N )
(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2

提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中 的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d …

(公差为 d ) ;偶数个数成等差,可设为…, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,…(公差为 2 d ) 3.等差数列的性质: ( 1 ) 当 公 差 d ? 0 时 , 等 差 数 列 的 通 项 公 式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是 关 于 n 的 一 次 函 数 , 且 斜 率 为 公 差 d ; 前 n 和

Sn ? na1 ?
(a 1 -

S S n(n ? 1) d d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 等差数列{a n }中, n 是 n 的一次函数,且点(n, n )均在直线 y = x + 2 2 2 2 n n

d )上 2

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)对称性:若 ?a n?是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当

m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p .
如 1、等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____(答:27) ; 2、在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a 10 | , S n 是其前 n 项和,则 A、 S1 , S2 ? S10 都小于 0, S11 , S12 ? 都大于 0 都小于 0, S20 , S21 ? 都大于 0 C、 S1 , S2 ? S5 都小于 0, S6 , S7 ? 都大于 0 B、 S1 , S2 ?S19

D、 S1 , S2 ?S20 都小于 0, S21 , S22 ? 都大于 0 (答:B)

(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即 a k , a k ? m , a k ? 2m ,...( k , m? N *) 成等差.若 {an } 、{bn } 是等差数列,则 {kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非
* 零常数)、{ap?nq }( p, q ? N ) 、Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n(公差为 n d ) . ,…也成等差数列,而 {a n } 成等比数列;若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg a} n
2

a

是等差数列.



等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为

。 (答:225)

(5)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时,

s n ? n(a n ? a n ?1) ; s 偶? s 奇 ? nd ;


s 偶 a n ?1 . ? s 奇 an

项数为奇数 2n ? 1 时,

s 2n ?1?(2n ?1) a n ; s 偶? s 奇? ? a1

s 偶 n ?1 。 ? s奇 n

如 1、在等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2) ; 2、项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). (6)单调性:设 d 为等差数列 ?a n?的公差,则 d>0 ? ?a n?是递增数列;d<0 ? ?a n?是递减数列;d=0 ? ?a n?是常数数列 (7)若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且

An a (2n ? 1)an A2 n ?1 ? f ( n) ,则 n ? ? ? f (2n ? 1) . Bn bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

如设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若

a 6n ? 2 Sn 3n ? 1 ,那么 n ? ___________(答: ) ? 8n ? 7 bn Tn 4n ? 3

(8)设 a l ,a m ,a n 为等差数列中的三项,且 a l 与 a m ,a m 与 a n 的项距差之比 (9)在等差数列{ a n }中,S n = a,S m = b (n>m),则 S m ? n =

a ? ?a n l ?m = ? ( ? ≠-1) ,则 a m = l . m ?n 1??

n?m (a-b). n?m

8、已知 ?a n?成等差数列,求 s n 的最值问题:

an ① 若 a1 ? 0 ,d<0 且满足 ? ?

?

? 0,

? ?an ?1 ? 0

,则 s n 最大;

?a n ? 0, ,则 ②若 a1 ? 0 ,d>0 且满足 ? s n 最小. ? ? ?a n ?1 ? 0

“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不
an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) 等式组 ? ;法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注 ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?
*

意数列的特殊性 n ? N 。上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如 1、等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答:前 13 项和最大,最大值为 169) ; 2、若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 ,

a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是

(答:4006)

(10)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 . 注 意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm .

三、等比数列
1、等比数列的有关概念:如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。

? ?

a 即 a n ? q(n ? * , n ? 2) (或 n ?1 ? q(n ? N *) N an a n ?1
2、等比数列的判断方法:定义法

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n?1 ? n ? q(q为常数) an an an?1

(n ? 2) 。
如 1、一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____(答:

5 ) ; 6

2、数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是等比数列。 3、等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。 如 设等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和公比 q . (答: n ? 6 , q ? 4、等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ? 44)

1 或 2) 2

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。如 等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答: 1? q 1? q

提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能 判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 5、等比中项:如果 a、G、b 三个数成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,即 G= ? ab .提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在 等比中项,且有两个 ? ab 。如已知两个正数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______(答:A>B) 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 项和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中 的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,

a a , , a, aq, aq 2 …(公比为 q ) ; 2 q q

但偶数个数成等比时,不能设为…

a a , , aq, aq3 ,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q2 。如有四个数,其中前三个数 3 q q

成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 6、等比数列的性质: (1)对称性:若 ?a n?是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积 .即当 m ? n ? p ? q 时,则有 am .an ? a p .aq ,特别地,当

m ? n ? 2 p 时,则有 am .an ? a p .
512) ;

2

如 1、在 等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 , 公比 q 是整数,则 a10 =___(答:

2、各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ?

(答:10) 。

(2) 若{ a n }是公比为 q 的等比数列,则{| a n |}、{a 2 n }、{ka n }、{

1 1 2 }也是等比数列,其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }。若 {an }、 {bn} 成 q an

等比数列,则 {anbn } 、 {

an } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列,且公比 q ? ?1 ,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也是等比数列。当 q ? ?1 ,且 n 为 bn

偶数时,数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…是常数数列 0,它不是等比数列. 若 ?a n?是等比数列,且各项均为正数,则 loga a n 成等差数列。若项数为 3n 的等比数列(q≠-1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S 1 与 T 1 ,次 n 项和与次 n 项积分别为 S 2 与 T 2 ,最后 n 项和与 n 项积分别为 S 3 与 T 3 ,则 S 1 ,S 2 ,S 3 成等比数列,T 1 ,T 2 ,T 3 亦成等比数列 如 1、已知 a ? 0 且 a ? 1 ,设数列 {xn } 满足 log a xn ?1 ? 1 ? log a xn (n ? N *) ,且 x1 ? x2 ? ? ? x100 ? 100 ,则 x101 ? x102 ? ? ? x200 ? . (答:

?

?

100a100 ) ;
2、在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值为______(答:40) (3) 单调性:若 a1 ? 0, q ? 1 ,或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 ,或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 则 {an } 为递减数列;若 q ? 0 ,则 {an } 为 摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 ,这是等比数列前 n 项和公式的一个特征,据此很容易根据 Sn , 1? q 1? q
(答:-1)

判断数列 {an } 是否为等比数列。如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r =

(5) Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? a1 ? qS偶 . (7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分 条件。 如设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:①若 a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;②若
(答:②③)

n Sn ? a n 2 ? b n ? a、 b ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。这些命题中,真命题的序号是

⑧等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;等比数列中,Sm+n=Sn+q Sm=Sm+q Sn;

n

m

四、难点突破
1.并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已知一个数列的前几项,这个数列的通项公式更不是唯一的. 2.等差(比)数列的定义中有两个要点:一是“从第 2 项起” ,二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数” .这里的“从第 2 项起”是为了使 每一项与它前面一项都确实存在,而“同一个常数”则是保证至少含有 3 项.所以,一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3 项. 3.数列的表示方法应注意的两个问题:⑴{ a n }与 a n 是不同的,前者表示数列 a 1 ,a 2 ,…,a n ,…,而后者仅表示这个数列的第 n 项;⑵数列 a 1 , a 2 ,…,a n ,…,与集合{ a 1 ,a 2 ,…,a n ,…,}不同,差别有两点:数列是一列有序排布的数,而集合是一个有确定范围的整体;数列的项有明确 的顺序性,而集合的元素间没有顺序性. 4.注意设元的技巧时,等比数列的奇数个项与偶数个项有区别,即:

⑴对连续奇数个项的等比数列,若已知其积为 S,则通常设…,aq ⑵对连续偶数个项同号 的等比数列,若已知其积为 S,则通常设…,aq ..

?2

, aq , aq

?1

, a,aq,aq ,…; , aq,aq ,….
3

2

?3

?1

5.一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为 0,因此,在研究等比数列时,要注意 a n ≠0,因为当 a n = 0 时,虽有 a 2 n = a n ?1 · a n ?1 成 立,但{a n }不是等比数列,即“b = a · c”是 a、b、 c 成等比数列的必要非充分条件;对比等差数列{a n }, “2b = a + c”是 a、b、 c 成等差数列 的充要条件,这一点同学们要分清. 6.由等比数列定义知,等比数列各项均不为 0,因此,判断一数列是否成等比数列,首先要注意特殊情况“0” .等比数列的前 n 项和公式蕴含着分 类讨论思想,需分分 q = 1 和 q≠1 进行分类讨论,在具体运用公式时,常常因考虑不周而出错.
2



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