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高二数学中期试题



高 2013 级数学小练习

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高二数学周练试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列求导正确的是( ) A. (

ln x ln x ? 1 )? ? x x

B. ( xe? x )?

? e? x (1 ? 2x2 ) D. ( x ? ln x)? ?

2

2

C. (6cos x)? ? 6sin x

x ?2 2x
) D.-2 ) D.3

2.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则 a 的值为( A.1 B .2 C.-1

3.已知 f ( x) ? x3 ? ax 在 [1, ??] 上是增函数,则 a 的最大值是( A.0 B .1 C .2

4.已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 的切线方程为( A. y ? 2 x ? 1 ) B. y ? x
2

C. y ? 3 x ? 2

D. y ? ?2 x ? 3

5.已知函数 y ? f ( x) ? ? x ? 2x ? 3 在区间 [ a, 2] 上的最大值为 A. ?

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

15 ,则 a 等于( ) 4 1 3 D. 或 ? 2 2

6 .已知 f ( x) 的导函数 f ?( x ) 的图象如图所示,那么 f ( x) 的图象最有可能是 ( )

7.已知 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为(
3 2



A. ?1 ? a ? 2

B. ?3 ? a ? 6

C. a ? ?1或a ? 2

D. a ? ?3或a ? 6

8.在三棱锥 P-ABC 中, ABC 为等边三角形, PA ? 平面 ABC,且 PA=AB,则二面角 A- PB-C 的平面角的正切值为( )

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A. 6

B. 3

C.

6 6

D.

6 2

9.如图 3-3-13,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 弦值是( )

A1 B1 ,则 BE1 与 DF1 所成角的斜 4

A.

15 17

B.

1 2

C.

8 17

D.

3 2

10.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a3 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )…( x ? a8 ) ,

f ?(0) 等于(

) B.29 C.212 D.215

A.26 二、填空题(共 20 分)

11.如图,把长宽分别为 4、3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面 角,则此时顶点 B 和 D 的距离为 。

12、△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠CBA=∠ DBC=60?,则 AD 与平面 BCD 所成角为 . 13.设 f ( x) 是偶函数,若曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线的斜率为 1,则该曲线在点

(?1, f (?1)) 处的切线的斜率为
14.已知点 P 在曲线 y ? 取值范围是
x



4 上, a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的 e ?1
。 。

15. 如图是函数 f ( x) 及 f ( x) 在点 P 处切线的图象, 则 f (2) ? f ?(2) ?

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
3 2 16. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1, f (?1) )

处的切线方程 6 x ? y ? 7 ? 0 。 (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间。

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17. 如图,在正三棱锥 ABC ? A 1B 1C1 中 ,

AA1 ? 6 ,异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为

? ,求该 6

三棱柱的体积. A1 B1 C1

A B

C

18. 设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值。 (1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围。 (2)若对于任意的 x ? [0,
2

3 2 19. 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x ? ax与g ( x) ? bx ? c 的图象的一个公共点,两函

数的图象在点 P 处有相同的切线。 (1)用 t 表示 a , b, c ; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。
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20. (12 分)已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 。 1? x

(1)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

21. (13 分) 如图 3-3-19, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC= 3 , AA1=2,?ACB ? 90 , M 是 AA1 的中点,N 是 BC1 的中点。 (1)求证:MN∥ 平面 A1B1C1; (2)求点 C1 到平面 MBC 的距离; (3)求二面角 B-C1M-A1 的大小。

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空间向量与立体几何单元测试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.在空间四边形 ABCD 中, AB ? a, BC ? b, AD ? c ,则 CD ? ( A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. a ? b ? c ) ) D. b ? a ? c

2.设 P 是 ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2 BP ,则( A. PA ? PB ? 0 B. PC ? PA ? 0

C. PB ? PC ? 0

PA ? PB ? PC ? 0 D.

3 .已知在空间四边形 ABCD 中,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中点,则

1 AB ? ( BD ? BC ) 等于( 2
A. AG

) B. CG C. BC D.

1 BC 2

4.如图 3-3-12,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 A1D,AC 上, 且 A1E=

2 1 A1 D ,AF= AC , 则( 3 3

) B.EF 是 A1D,AC 的公垂线 D.EF 与 BD1 异面

A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 C.EF 与 BD1 相交

5.在三棱锥 P-ABC 中, ABC 为等边三角形, PA ? 平面 ABC,且 PA=AB,则二面角 A- PB-C 的平面角的正切值为( )

A. 6

B. 3

C.

6 6

D.

6 2
的值为( )

6.在空间四边形 OABC 中,OB=OC, ?AOB ? ?AOC ?

?
3

, BC ,则 cos OA
D.0

A.

1 2

B.

2 2

C. ?

1 2

7.如图 3-3-13,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1=

A1 B1 ,则 BE1 与 4

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DF1 所成角的斜弦值是(



A.

15 17

B.

1 2

C.

8 17

D.

3 2


8. 将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后, 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 (

A.

3 3

B.

6 3

C. ?

1 2

D.

1 2


9.正方体 ABCD-A1B1C1D 的棱长为 a , AM ?

1 AC1 ,N 为 B1B 的中点,则 MN 为( 3
C.

A.

21 a 6

B.

6 a 6

15 a 6

D.

15 a 3

10.如图 3-3-14 所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E, F, G 分别是 DD1, AB, CC1 的中点, 则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是 ( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.已知在空间四边形 ABCD 中, AB=a ? 2c, CD ? 5a ? 6b ? 8c ,对 边 AC,BD 的中点分别为 E,F,则 EF ? 。

12.如图 3-3-15,把长宽分别为 4、3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 直二面角,则此时顶点 B 和 D 的距离为 。 。

13.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1-B1 的大小为 14.如图 3-3-16,四边形 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD。给出下列数量积: ①PA BD ;②PD AB ;③PC BD ;④PB BC 。 其中结果一定为 0 的有 。

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三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分)已知 A(3,3,1) ,B(1,0,5) ,C(

3 ,1,2) 。 4

(1)求线段 AB 中点 D 的坐标; (2)证明: CD ? AB ,且 AC ? BC ; (3)求到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、z 满足的条件。

16. (12 分)已知正方体的一个顶点为 O,OA、OB、OC 是有一个公共点 O 的 古个面上的对角线,OQ 为体对角线,建立如图 3-3-17 所示的空间直角坐标系。

A O ? B O C? (1) 求O

与 OQ 的关系; (2) 沿O A、 O BO C 、

方向分别作用 10N、

20N、30N 的力,求这些力的合力的大小。

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17. (13 分)如图 3-3-18 所示,已知四边形 ABCD、EADM 和 MDCF 都是边长为 a 的正方形,点 P,Q 分别是 ED、AC 的中点。 求: (1) PM 与 FQ 所成的角; (2)P 点到平面 EFB 的距离; (3)异面直线 PM 与 FQ 的距离。

18. (13 分)如图 3-3-19,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= 3 ,AA1 =2, ?ACB ? 90 ,M 是 AA1 的中点,N 是 BC1 的中点。 (1)求证:MN∥ 平面 A1B1C1; (2)求点 C1 到平面 MBC 的距离; (3)求二面角 B-C1M-A1 的大小。

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空间向量与立体几何单元测试参考答案
1.B 解析: CD ? CB ? BA ? AD ? ?BC ? AB ? AD ? ?b ? a ? c 。 2.B 解析:如图 D-3-19,因为 BC ? BA ? 2 BP ,所以 点 P 为线段 AC 的中点,故选 B。 3.A 解析:如图 D-3-20,则

1 ( BD ? BC ) ? BG , 2

1 ? AB ? ( BD ? BC ) ? AB ? BG ? AG 。 2
4.B 解析:如图 D-3-21,建立空间直角坐标系 Dxyz , 设正方体的棱长为 1,则求得 EF ? ( , , ? ) ,

1 1 3 3

1 3

A1D ? (?1,0, ?1), AC ? (?1,1,0) 。 EF A1D ? 0, EF AC ? 0,? EF ? A1D且EF ? AC 。

? EF 是 A1D, AC 的公垂线、
5.A 解析:设 PA=AB=2,建立如图 D-3-22 所示的坐标系,平面 PAB 的一个法向量是

mn 3 ? m ? (1,0,0) , ,1,1) 。 平面 PBC 的一个法向量是 n ? ( 则 cos m,n ? m n 3

tan m n ? 6 ,即二面角 A-PB-C 的正切值为 6 。
6.D 解析: OA BC ? OA (OC ? OB) ? OA OC ? OA OB

3 7 3 ? 。 7 21 1? 3

? OA OC cos

?
3

? OA OB cos

?
3

?

1 OA ( OC ? OB ) ? 0 。 2

7.A 解析:建立空间直角坐标系利用坐标法求解。 8.D 解析:如图 D-3-23,O 为 AC 的中点,则 BO ? AC, DO ? AC 。

??BOD ?

?
2

,即为直二面角

B-AC-D 的平面角,易证 BD=AD=AB=CD。? AB CD ? AB (BD ? BC)

? AB BD ? AB BC ? AB BD ? AB BD cos

2? . 又 AB CD ? AB CD cos AB, CD , 3

第 9 页共 4 页

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? cos AB, CD ? cos

1 2? 1 ? ? . 从而异面直线 AB、CD 所成的角的余弦值为 . 2 3 2

9.A 解析:建立空间直角坐标系,用坐标法求解。 10.D 解析:以 AB、AD、AA1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立直角坐标系,则

A1E ? (0,1, ?1), GF ? (?1, ?1, ?1). 所以 A1E GF ? 0 ,即 cos( A1E, GF ) ? 0,
? A1E 与 GF 所成的角是

? 。 2

11. 3a ? 3b ? 5c 解析:如图 D-3-24,取 BC 的中点 m, 连结 EF,EM,MF。 则

EF ? EM ? MF ? ?

1 (5a ? 6b ? 8c ) 2

1 1 (a ? 2c ) ? (5a ? 6b ? 8c ) ? 3a ? 3b ? 5c , 2 2

12.

337 5

解析:如图 D-3-25,作 BM ? AC 于 M,作 DN ? AC 于 N。

二面角 B-AC-D 为直二面角,? 异面直线 BM 与 DN 所成的角为 90° 。 易求得 BM ? DN ?
2 12 7 , MN ? . ? BD ? ( BM ? MN ? ND)2 ? BM 2 ? MN 2 ? ND2 5 5

?

144 49 144 337 337 ? ? ? . ? BD ? . 25 25 25 25 5

13.120° 解析:建立空间直角坐标系,用坐标法求解。 14.① ② ④ 解析:选 AP, AB, AD 为正交基底来表示 BD, PD, PB, PC, BC 即可。 15. (1)解设 O 为坐标原点。

D 为 AB 的中点,则有

3 1 1 3 (OA ? OB) ? (4,3, 6) ? (2, ,3).? D (2, ,3). 2 2 2 2 5 1 5 1 (2)证明: CD ? ( , ,1), AB ? ( ?2, ?3, 4) ,? CD AB ? ? (?2) ? ? (?3) ? 4 ? 0. 4 2 4 2

OD ?

? CD ? AB.

9 81 161 AC ? (? , ?2,1), AC ? ? 4 ?1 ? . 4 16 4

1 1 161 。? AC ? BC . BC ? (? ,1, ?3), BC ? ?1? 9 ? 4 16 4
(3)解: P( x, y, z ) 到 A、B 两点距离相等,即 PA ? PB ,即

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( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( z ? 5) 2 。
整理即得 x、y、z 满足的方程为 4 x ? 6 y ? 8 z ? 7 ? 0. 16.解: (1)设正方体的棱长为 1,由图中坐标系可得: A (1, 1, 0) , B (1, 0, 1) , C (0, 1, 1) , Q (1, 1, 1) 。 ?O A? O BO ? C

?

, 2 ) , (O Q ,) 1 , 1 , 1 ( ?

?OA ? OB ? OC ? 2OQ( . 2) OA、OB、OC 是有一个公共点 O 的正方体三个面上的对角线。
?OA 、 OB、 OC 两两夹角均为 60° 、 OB、 OC 方向分别作用 10N、20N、30N 的力, 。又 沿 OA
则这些力的合力 ? 可设 OA ? OB ? OC ? (OA ? OB ? OC )2 ? 2500, ? OA ? OB ? OC ? 50 , 的大小为 50N。 17.解:建立空间直角坐标系,使得 D(0,0,0) ,A( a ,0,0) ,B( a, a,0 ) ,C(0, a ,0)
2

a a a a , 0). 2 2 2 2 a a a a a a a 3 2 (1) PM ? (? , 0, ), FQ ? ( , ? , ?a) ,? PM FQ ? (? ) ? ? 0 ? ? (? a ) ? ? a , 2 2 2 2 2 2 2 4 3 ? a2 2 6 PM , FQ 3 4 且 PM ? ,故得两 a, FQ ? a 。? cos( PM , FQ) ? ? ?? 2 2 PM FQ 2 2 6 a? a 2 2
M(0,0, a ) ,E( a,0, a ) ,F( 0, a, a ) ,则由中点坐标公式,得 P ( , 0, ), Q( , 向量所成的角为 150° (2)设 n ? ( x, y, z ) 是平面 EFB 的单位法向量,即 n ? 1, n ? 平面 EFB,所以 n ? EF ,且

? ?x ? 2 2 2 ? ? x ? y ? z ? 1, ? ? ? 又 EF ? (?a, a,0) , EB ? (0, a, ?a) ,则 ?? ax ? ay ? 0, 求得其中的一个解为 ? y ? ? ?ay ? az ? 0, ? ? ?z ? ? ? 3 3 3 3 a a a. ?n ? ( , , ).PE ? ( ,0, ), 设所求距离为 d ,则 d ? PE n ? 3 3 3 3 2 2

n ? EB 。

3 , 3 3 , 3 3 , 3

(3)设设 e ? ( x1 , y1 , z1 ) 是 PM 与 FQ 的公垂线的一个单位方向向量,又

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? ? x12 ? y12 ? z12 ? 1, ? a a a a a ? a PM ? (? , 0, ), FQ ? ( , ? , ?a) ,则 ?? x1 ? z1 ? 0, 求其中的一个解为 2 2 2 2 2 ? 2 a ?a x1 ? y1 ? az1 ? 0, ? ?2 2
e ? (?
3 3 3 3 3 a ? a. , , ? ). 而 MF ? (0, a,0) ,设所求距离为 m ,则 m ? MF e ? 3 3 3 3 3

18.解:以 C 为原点,分别以 CB, CA, CC1 为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则由已知条件,相关各点的坐标如下:

A(0, 3, 0), B( 3, 0, 0), C (0, 0, 0), C1 (0, 0, 2), B1 ( 3, 0, 2), A1 (0, 3, 2), M (0, 3,1), N (
3 , ? 3, 0) , 2

3 , 0,1). 2

(1)证明: MN ? (

1 A1 B1 ? ( 3, ? 3, 0),? MN ? ( A1C1 ? A1 B1 ). AC 1 1 ? (0, ? 3,0), 2
又 MN ? 平面 A1B1C1,? MN ∥ 平面 A1B1C1。 (2)解: BC1 ? (? 3,0,2), CB ? ( 3,0,0), CM ? (0, 3,1). 设平面 MBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则由

? ? ? x ? 0, ? n ? CB, 得? 令 y ? 1 ,可得平面 MBC 的一个法向量为 n ? (0,1, ? 3). ? ? ? 3 y ? z ? 0. ? n ? CM , ?

? 点 C1 到平面 MBC 的距离为 d ?

BC1 n n

?

?2 3 3 ?1

? 3.

(3)解:易求得平面 A1C1M 的一个法向量为 a ? ( 3,0,0) 。 平面 BC1M 的一个法向量为 b ? (2,1, 3).

cos a, b ?

2 3 2 ? ? ,? a, b ? 。 2 4 3?2 2

? 二面角 B-C1M-A1 的大小为

3? 。 4

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