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幂函数图像与性质



幂函数 1、幂函数 (1)定义:一般地,形如_________ (a ? R) 的函数称为幂函数,其 中 a 为常数。 几种常见幂函数的图像: ① y ? x; ② y ? x ; ③ y ? x 2 ; ④ y ? x ?1; ⑤ y ? x 3 ; (2)幂函数的性质 ①所有幂函数在_________都有定义,并且图像都过点________; ② a ? 0 时,幂函数的图像通过_________,并且在区间 ? 0, ?? ? 上是 _________, 特别的, 当 a ? 1 时, 幂函数的图像________, 当0 ? a ? 1 时,幂函数的图像________。 ③ a ? 0 时, 幂函数的图像在区间 ? 0, ?? ? 上是_________,在第一象 限内,当 x 从右边趋向原点时,图像在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半 轴,当 x 趋向 ?? 时,图像在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴。 ? (4)幂函数 y ? x 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象 由下至上,指数 . y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至 下,指数 ? . 二.常见幂函数的性质:
y?x
y ? x2 y ? x3 y ? x1/ 2 y ? x?1
1 2

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 三、例题解析 例 1. 已 知 函 数
f ( x) ? k 有两个不

?2 ? ,x ? 2 f ( x) ? ? x 若 关 于 x 的 方 程 ?( x ? 1)3 , x ? 2 ? 同的实根,则 k 的取值

-1-

范围是 ___________

例 2.若曲线 y ? x 2 在点(a, a 2) 处的切线与两个坐标轴围城的三 角形的面积为 18,a=____

?

1

?

1

例 3 已知函数

f ( x ) ? (m 2 ? m ? 1) x ?5 m?3, m 为何值时, f ( x ) :

(1)是正比例函数, (2)是反比例函数, (3)是二次函数, (4)是幂函数

例 4 若点 (

1 2,2) 在幂函数 f ( x ) 的图像上,点 (2, ) 在幂函数 g( x) 的图 2
? f ( x ), f ( x ) ? g( x ) ,试求函数 h( x ) 的最大值以及 ? g ( x ), f ( x ) ? g ( x ) ?

像上,定义 h( x ) ? 单调区间。

四:巩固练习
-2-

1.已知幂函数 y ? x

p q

(p,q∈N+且 p 与 q 互质)的图象如图所示,则

A.p、q 均为奇数且

p <0 q p >0 q

B.p 为奇数,q 为偶数且

p <0 q p <0 q

C.p 为奇数,q 为偶数且 2.给定一组函数解析式:

D.p 为偶数,q 为奇数且

①y ? x 4 ; ②y ? x 3 ; ③y ? x 2 ; ④y ? x 3 ; ⑤y ? x 2 ; ⑥y ? x 3 ; ⑦y ? x 3 ,
如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()
? 1 1

3

2

?

3

?

2

3

A.⑥③④②⑦①⑤ B.⑥④②③⑦①⑤

-3-

C.⑥④③②⑦①⑤ D.⑥④③②⑦⑤①
3、已知 ?1 ? A (0.2)
a

a ? 0 ,则(

) B (2)
a

1 ? ( )a ? (2)a 2

1 ? (0.2)a ? ( )a 2 1 ? ( )a ? (0.2)a 2


C(

1 a ) ? (0.2)a ? (2)a 2

D (2)

a

4、幂函数的图像过点 (3, A

3) ,则它的单调递增区间是(


? ?1, ?? ?



? 0, ?? ?

? ??, ?? ?



? ?? ,0 ?
a? 的值为: 6

5.若点(a,9)在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan= (A)0 (B)
3 3

(C)1

(D) 3

1 ? ? 6.设 ? ? ?? 1,1, ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的 2 ? ?

所有 ? 值为_________

-4-



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