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江苏省赣榆高级中学第二学期高二数学学情检测数学(文)试题


赣榆高级中学第二学期高二数学学情检测
(选修历史)
一.填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1. 已知 U ? ? y y ? log
1 ? ? x , x ? 1?, P ? ? y y ? , x ? 2 ? ,则 C U P ? x ? ?

2



答案: ? , ?? ?
?2 ?

?1

?

2.复数

ai 3?i

( a ? R ) 的实部是 1,则它的虚部是



答案:-3
2 2 3.已知 a , b 都是实数,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的_________条件.

答案:充分不必要 4. 已知函数 f ( x ) ? ? 答案: ?? 3 , ?? ? 5.给出命题:若函数 y ? f ( x ) 是幂函数,则函数 y ? f ( x ) 的图象不过第四象限.在它的逆 命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是___________. 答案:1 6.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有_________个点. 答案: n ? n ? 1
2

? x ? 1, x ? 0 ? ? x ? 1, x ? 0

, 则不等式 x ? ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 3 的解集





。。。

。 。 。 。 。 。 。 。。。。。。。 。 。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)
a 11 a7 ? __________.

7.已知等比数列 ?a n ? 为递增数列,且 a 3 ? a 7 ? 3 , a 2 ? a 8 ? 2 ,则 答案:2 8.二次函数 f ( x ) ? ax ? 2 x ? c ( x ? R ) 的值域为[0,+ ? ),则
2

a ?1 c

?

c ?1 a

的最小值为



答案:4 9.已知函数 f ( x ) ? mx ? nx 的图象在点 ( ? 1, 2 ) 处的切线恰好与直线 3 x ? y ? 0 平行,若
3 2

f ( x ) 在区间 ?t , t ? 1? 上单调递减,则实数 t 的取值范围



答案: ?? 2 , ? 1? 10.已知命题 p : ? m ? R , m ? 1 ? 0 ,命题 q : ? x ? R , x ? mx ? 1 ? 0 恒成立.若 p ? q 为
2

假命题,则实数 m 的取值范围为________________. 答案: m
? ? 2或 m ? ? 1

11.已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为 2 x ? y ? 0 ,则该双曲线的离心率 为 .
5 2

答案: 5 或

12.函数 f ( x ) ? x 3 ? 答案: m ? 1

m 2

x ? 2 x ? 5 在 ( 0 ,1) 内有极小值,则 m 的取值范围___________.
2

13. 已知函数 f ( x ) ? ?

? ? x 2 ? ax ? ax ? 1

( x ? 1) ( x ? 1)

, 若存在 x1 , x 2 ? R ,x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 使

成立,则实数 a 的取值范围是___________.
答案: a ? 2 . 14. a ? b ? c ? 0 , 2 a 2 ? 设 若
17 10 2
1 ab ? 1 a (a ? b)
2 则 ? 10 ac ? 25 c 的最小值是 4, a ? b ? c ?

_.

答案:

二.解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分)已知集合 A ? { x | ( x ? 2)( x ? 2 a ? 5) ? 0} , 函数 y ? lg 定义域为集合 B . ⑴若 a ? 4 ,求集合 A ? B ; ⑵已知 a ? ?
3 2
x ? (a ? 2)
2

2a ? x



.且“ x ? A ”是“ x ? B ”的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

解:⑴当 a ? 4 时, A ? ?x ( x ? 2 )( x ? 13 ) ? 0 ? ? ?x 2 ? x ? 13 ? .???????2分
? x ? 18 ? B ? ?x ? 0 ? ? ?x 8 ? x ? 18 ? .???????4分 ? 8? x ?

∴ A ? B ? ?x 8 ? x ? 13 ? .???????6分 ⑵∵ a ? ?
3 2

,∴ 2 a ? 5 ? 2 ,∴ A ? ?x 2 ? x ? 2 a ? 5 ? .???????8分

2 又 a ? 2 ? 2 a ,∴ B ? ?x 2 a ? x ? a ? 2 ? .???????10 分

2

∵“ x ? A ”是“ x ? B ”的充分不必要条件,∴ B ? A ,
3 ? ?a ? ? 2 ? ∴ ?2a ? 2 ,???????12 分 ? 2 a ? 2 ? 2a ? 5 ? ?

解之 ?

3 2

? a ? ? 1 .???????14 分

16. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

x ? a | x ? 1 | , a 是实数.

(1)若函数 f ( x ) 有零点,求 a 的取值范围; (2)当 a ? ? 1 时,求函数 f ( x ) 的值域. 16.(1)函数 f ( x ) 的定义域为 [0, ? ? ) .???????1分 由函数 f ( x ) 有零点,即方程 x ? a | x ? 1 |? 0 有非负实数解,???????2分
x | x ?1|

可得 a ? ?

在 x ? [0, ? ? ) 上有解,???????3分

因为 x ? 1 ≥ 2 x ≥ 0 ,所以 0 ≤
1

x | x ?1|



1 2



所以 a 的取值范围是 [ ? , 0 ] .
2

????????8 分

(2)当 a ? ? 1 时,
f (x) ? x ? | x ? 1 |? x ? ( x ? 1) ? ? ( x ? 1 2 ) ?
2

3 4

, x ? [0, ? ? ) , ??????14 分

函数 f ( x ) 的值域为 ( ? ? , ? ] .
4

3

第(1)用数形结合方法求解,参照给分. 17. (本题满分 14 分)某工厂去年新开发的某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价 为 10 元,固定成本为 8 元.今年工厂第一次投入 100 万元的科技成本,并计划以后每年比 上一年多投入 100 万元,预计产量每年递增 10 万只,投入 n 次后,每只产品的固定成本为
g (n) ? k n ?1

( k 为常数, n ? N ) .若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年纯利润

为 f ( n ) 万 元(年纯利润=年收入-年固定成本-年科技成本) . ⑴求 k 的值,并求出 f ( n ) 的表达式; ⑵问从今年起,第几年纯利润最高?最高纯利润为多少万元? 17.解: (1)由题意当 n=0 时,g(0)=8,可得 k=8.????? ????????2 分

所以 f ( n ) ? (100 ? 10 n )( 10 ?

8 n ?1

) ? 100 n ,

即 f ( n ) ? 1000 ?

80 ( n ? 10 ) n ?1

, n ? N .?????????????????7 分

(2)由 f ( n ) ? 1000 ?

80 ( n ? 10 ) n ?1

? 1 000 ? 80 ( n ? 1 ?

9 n ?1

)

? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520 , ???????????????????11 分
9 n ?1

当且仅当 n ? 1 ?

,即 n=8 时取等号,????????????????13 分

所以第 8 年工厂的纯利润最高,最高为 520 万元.???????????????14 分 18. (本题满分 16 分)设 ?a n ? 为递增等差数列, S n 为其前 n 项和,满足 a 1 a 3 ? a 5 ? S 10 ,
S 11 ? 33 .

⑴求数列 ?a n ? 的通项公式 a n 及前 n 项和 S n ; ⑵试求所有的正整数 m ,使
a m ?1 a m ? 3 a m?2

为正整数.

解: (1)设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ,公差为 d ,依题意有
a 1 ( a 1 ? 2 d ) ? ( a 1 ? 4 d ) ? 10 a 1 ? 45 d ;??????????????3 分 11 a 1 ? 55 d ? 33 ???????????? ????????????6 分

可以解得 a1 ? ? 7 , d ? 2 ?????????????????8 分 ∴ a n ? 2 n ? 9 , S n ? n ? 8 n ??????????????????10 分
2

(2)

a m ?1 a m ? 3 am?2

?

( 2 m ? 7 )( 2 m ? 3 ) 2m ? 5
4 2m ? 5

? 2m ? 5 ?

4 2m ? 5

????????13 分

要使

a m ?1 a m ? 3 am?2

为整数,只要

为整数就可以了,

所以满足题意的正整数 m 只有 2?????????????16 分 19. (本题满分 16 分)已知椭圆中心在原点,上顶点为 A (0,1) ,右焦点为 F (1, 0 ) ,右准线为
l , l 与 x 轴交于 P 点,直线 A F 交椭圆与点 B .

⑴求椭圆的方程;

⑵求证: P F 是 ? A P B 的平分线; ⑶在 l 上任意取一点 Q ,求证:直线 A Q , F Q , B Q 的斜率成等差数列. y A F O B l P x

第 19 题图

19.(1)因为椭圆中心在原点,上顶点为 A (0,1) ,右焦点为 F (1, 0 ) , 所以 b ? 1 , c ? 1 , a 2 ? 2 ,所以椭圆的方程为 分 (2)准线方程为 x ? 2 ,直线 A B 的方程为 y ? ? x ? 1 ,代入 得 3 x 2 ? 4 x ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ?
4 3
0 ? (? ) 3 ? 1 ? ? k AP , 4 2 3 1
x
2

x

2

? y ? 1 ????????????4
2

2

? y ?1
2

2



??????????????6 分

B(

4 3

,?

1 3

) , k AP ? ?

1 2

, k BP ?
2?

所以 P F 是 ? A P B 的平分线.
t ?1 2

?????????????10 分
t? 1
3t ? 1 3 ? , 4 2

(3)设 Q (2, t ) ( t ? R ) , k A Q ?

, k FQ ? t , k BQ ?
2?

3

因为 k A Q ? k B Q ?

t ?1 2

?

3t ? 1 2

? 2t = 2 k FQ ,

所以直线 A Q , F Q , B Q 的斜率成等差数列.
3 2

??????????????16 分
2

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? a x ? 2, a ? R . (1)若 a ? 0 时,试求函数 y ? f ( x ) 的单调递减区间; (2)若 a ? 0 ,且曲线 y ? f ( x ) 在点 A 、 B ( A 、 B 不重合)处切线的交点位于直线 x ? 2 上, 证明: A 、 B 两点的横坐 标之和小于 4; (3)如果对于一切 x1 、 x 2 、 x 3 ? [0,1] ,总存在以 f ( x1 ) 、 f ( x 2 ) 、 f ( x 3 ) 为三边长的三角形, 试求正实数 a 的取值范围.


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