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人教版高中数学必修1 第二章对数函数及其性质 同步教案




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星火教育一对一辅导教案 学生姓名 授课教师 性别 上课时间 年 月 年级 日 学科 第( )次课 共( )次课 数学 课时:2 课时

教学课题

人教版 必修 1 第二章 对数函数及其性质 同步教案
知识目标:初步理解对数函数的概念;掌握对数函数图象及其性质 能力目标:培养学生动手作图能力及逻辑推理能力 情感态度价值观:通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函数 的性质,培养数形结合的思想方法

教学目标

教学重点与 难点

对数函数图象及其性质的灵活应用;对数函数与函数的基本性质的综合应用

教学过程 知识梳理 1.对数的概念 如果 N 叫做对数的 ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 。 ,其中 a 叫做对数的 ,

2.对数函数图像与性质

注:对数函数 y ? log a x与y ? log 1 x(a ? 0且a ? 1) 的图像关于 x 轴对称。
a

3.同真数的对数值大小关系如图

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在第一象限内,图像从左到右相应的底逐渐增大, 即0 ? c ? d ?1? a ? b

4.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系,它体现了数学的转化思想,也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时,应抓住定义的“形式” , 像 y ? log x 2, y ? log2 2 x, y ? 3ln x 等函数均不符合形式

y ? loga x(a ? 0且a ? 1) ,因此,它们都不是对数函数
③ 画对数函数 y ? loga x 的图像,应抓住三个关键点 ( a,1), (1.0), ( , ?1) 例题精讲 【题型一、定义域与值域】 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ? log a x 2 ; (2) y ? log a (3 ? x) ;

1 a

【题型二、比较大小】 【例 2】比较大小: (1) ln 3.4, ln 8.5 ; (2) log 0.3 2.8, log 0.3 2.7 ;

(3) log a 5.1, log a 5.9 .

【例 3】比较大小 (1) log 2 3.4与log 2 8.5 (3) log7 6与log6 7 (2) log2 3与log3 3 (4) log a b ? b ? 1 ? b ? R ?与log a
2

?

?

1 2

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【方法技巧】比较大小常用的方法有:①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法, 在比较两个幂的大小时,除上述一般方法外,还应注意以下情况: 1) 对于底数相同,真数不同的两个对数的大小比较,直接利用对数函数的单调性来判断。 2) 对于底数不同,真数相同的两个对数的大小比较,可利用对数函数的图像来判断。 3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较,可以利用中间值来比较 4) 对于三个及以上的数进行大小比较,则应先根据值的大小, (特别是 0 和 1)进行分组,再比较各组的大小。 5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时,要注意对底数进行讨论。 【题型三、定义域或值域为 R 的问题】 【例 4】已知函数 f ( x) ? log a ? mx 2 ? (m ? 1) x ? ? 4

? ?

1? ?

(1) 若定义域是 R,求 m 的取值范围; (2) 若值域是 R,求 m 的取值范围。

【方法技巧】若 y ? loga ?? ( x)? 的定义域为 R,则对任意实数 x ,恒有 ? ( x) ? 0 。 (1)特别地,当 ? ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 时,要使定义域为 R,则必须 a ? 0且? ? 0 若 y ? loga ?? ( x)? 的值域为 R,则 ? ( x) 必需取遍 ? 0 , ? ?? 内所有的数。 (2)特别地,当 ? ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 时,要使值域为 R,则必须 a ? 0且? ? 0
2

【题型四、对数函数与函数的基本性质】 【例 5】已知函数 f ( x) ? loga ? 3 ? ax ? (1)当 x ? ?0, 2? 时,函数 f ( x ) 恒有意义,求实数 a 的取值范围。 (2)是否存在这样的实数 a ,使得函数 f ( x ) 在区间 ?1 , 2? 上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的 值,如果不存在,请说明理由。

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【例 6】知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞)都有 |f(x)|≥1 成立,试求 a 的取值范围.

【方法技巧】这是一道探索性问题,注意函数、方程、不等式之间的相互转化,存在性问题的处理,一般是先假 设存在,再结合已知条件进行转化求解,如推出矛盾,则不存在,反之,存在性成立。 【知识拓展】 对数函数凹凸性:函数 f ( x) ? log a x, (a ? 0, a ? 1) , x1 , x2 是任意两个正实数. f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f( 1 2); 当 a ? 1 时, 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f( 1 2). 当 0 ? a ? 1 时, 2 2 巩固训练 1、求函数 y ? log 2 (3 ? x) 的定义域.

2. 比较下列各题中两个数值的大小. (1) log 2 3和 log 2 3.5 (2) log 0.3 4和 log 0.2 0.7 (3) log 0.7 1.6和 log 0.7 1.8 (4) log 2 3和 log 3 2 .

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3. 比较下列各组数的大小. (1)log3 2 与 log5 6
3 5

(2)log1.10.7 与 log1.20.7 (3)已知 log
1 2

b<log

1 2

a<log

1 2

c,比较 2 ,2 ,2 的大小关系.

b

a

c

4.函数 y ? lg(ax ? ax ? 1) 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是_____________.
2

5.函数 y ? lg( x ? ax ? 1) 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是_____________.
2
2 6.已知 f ( x) ? log a ax ? x ( a ? 0且a ? 1) 在区间 ? 2 , 4? 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

?

?

7.已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞, 求实数 a 的取值范围.

2

1- 3 ]上是单调递减函数.

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课后作业 【基础巩固】 1. 当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a ? x 与 y ? log a x 的图象是( ).

2. 函数 y ? 2 ? log 2 x ( x ≥ 1) 的值域为( A. (2, ??) B. (??, 2) C. ? 2, ?? ? 3. 不等式的 log 4 x ? A. (2, ??) 1 B. ( , ??) 2 4. 比大小: (1)log 67 D. ?3, ?? ?

).

1 解集是( 2 B. (0, 2) 1 D. (0, ) 2
7

).

log

6 ; (2)log 31.5

log 2 0.8. . .

5. 函数 y ? log ( x -1) (3 - x) 的定义域是

6. 右图是函数 y ? log a1 x , y ? log a2 x y ? log a3 x , y ? log a4 x 的图象,则底数之间的关系为 7. 已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log 3 m< log 3 n ; (2) log 0.3 m> log 0.3 n; (3) log a m> log a n (a>1)

8. 求下列函数的定义域: (1) y ? log 2 (3x ? 5) ; (2) y ? log 0.5 4 x ? 3 .

1 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞,按这种规律 2 发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 1010 个?(参考数据: lg 3 ? 0.477,lg 2 ? 0.301 ).

9. 现有某种细胞 100 个,其中有占总数

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【能力提升】 1. 求下列函数的定义域 (1) y ?

x2 ? 4 lg ? x 2 ? 2 x ? 3?

(2) y ? loga x ? 2

2. 已知 f ( x) ? log a ax 2 ? x ( a ? 0且a ? 1) 在区间 ? 2 , 4? 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

?

?

3. 已知函数 f ( x ? 3) ? lg
2

x2 , x2 ? 6

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性。

4. 已知函数 f ( x) ? log 3

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R ,值域为 ?0, 2? ,求 m, n 的值。 x2 ? 1

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