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8.1(1)向量的坐标表示及其运算



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8.1(1)向量的坐标表示及其运算(1) 向量、坐标表示、坐标运算 教学目标: 1.了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解 等概念; 会用坐标表示向量; 会用两向量的坐标形式的和、 差及实数与向量的积等运算解决相关问题. 2. 经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单 位向量的线性组合这一正交分解的过程, 以及经历如何通 过向量的正交分解的本质概括抽象出

向量的坐标表示的 过程,初步形成抽象思维的能力;理解平面向量与一对有 序实数对的一一对应关系, 理解向量的坐标表示方法及其 运算法则;体会数形结合的思想方法. 描 述 3.感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化 的规律,加深对辩证唯物主义观点的体验;发展从数学的 角度分析和解决问题的能力, 以及通过积极参与数学学习 和问题解决的过程,增强学习的主体意识,形成数学的应 用意识,养成严谨的思维习惯. 教学重点及难点 教学重点是如何写向量的坐标以及向量坐标形式的 运算及其应用; 教学难点是对向量的正交分解的过程的理 解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过程 的理解. 高 中二 年级 >数学 学 科 语 种 汉语 第一学期>8.1(1) 媒体格式 教学设计.doc 学习者 学生 资源类型 文本类素材 教育类型 高中教育>高中二年级 作 者 胡丹英 单位 上海洋泾中学 地 址 潍坊路 111 号 E-mail hudyss@sohu.com 标 题 关键词

1

8.1(1)向量的坐标表示及其运算(1)
一.教学内容分析 按现行上海市中小学数学课程标准,本章内容是在初中学习了向量的基本 概念、向量的加法、减法、实数与向量的积等基础之上的后继学习.但与初中 有所不同的是,初中教材对向量的学习是以“形”为主,主要从“形”的角度 展开,而本章内容则主要是以“数”为主,从“数”的角度进行论述.当然, 由于向量本身所具有的数形结合的特点,本章教材在以“数”为主旨处理教学 内容的同时并没有弱化向量的“形”的方面的特征,而是二者相得益彰,互为 依赖、互为补充. 以“数”为主旨研究向量,其核心手段是向量及其运算的坐标表示.向量 的坐标表示,实际上是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,向量的加 法、 减法、 实数与向量的积、 向量的数量积等就完全可以用它们的坐标的加法、 减法、数乘、数量积等运算来进行,使向量运算完全代数化,将数与形紧密结 合起来.这样,就使得很多问题,可以转化为熟知的数量的运算进行解决.向量 及其运算的坐标表示,一方面为用代数方法处理几何问题提供了通道,另一方 面也为向量概念推广到高维空间指明了途径,同时,它也是高中数学中描述与 处理如立几、解几、三角等诸多问题的一个有力的工具,在高考中也占有一个 重要的地位. 作为本章的第一课时,本节课的主要内容是向量的坐标表示及其运算.它 是本章重要的基础性与前提性内容,它引入了将向量问题代数化的基本手段与 方法——向量的坐标表示. 本节内容课本上的基本处理方法是在引入一些相关的基础性的概念之后, ? ? 通过任意向量都可以正交分解为基本单位向量 i , j 的线性组合,在向量的正交 分解的基础上抽象概括出向量的坐标表示形式,并依据向量的正交分解的本质 得到向量坐标形式下的运算法则. 本节课要着力解决三个问题:一是要解决引入向量的坐标形式的必要性的 问题,以引起学生学习的动机,二是要解决如何引入向量的正交分解及如何由 此抽象出向量的坐标形式或者说是如何让学生理解向量坐标的本质的问题,三 是要解决引入向量坐标形式以后如何以坐标形式进行运算的问题.作为本节课 (本章的第一个课时)来说,第二个问题是重中重之中,因为如果学生不能理 解向量的坐标是怎么来的, 它的本质是什么, 就会对后继学习带来一定的困难. 因此,我们在课上要对这一点特别的重视. 二.教学目标设计 1.了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念;会用坐标表示 向量; 会用两向量的坐标形式的和、 差及实数与向量的积等运算解决相关问题. 2. 经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一 正交分解的过程,以及经历如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的
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坐标表示的过程,初步形成抽象思维的能力;理解平面向量与一对有序实数对 的一一对应关系,理解向量的坐标表示方法及其运算法则;体会数形结合的思 想方法. 3.感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律,加深对辩证唯 物主义观点的体验;发展从数学的角度分析和解决问题的能力,以及通过积极 参与数学学习和问题解决的过程, 增强学习的主体意识, 形成数学的应用意识, 养成严谨的思维习惯. 三.教学重点及难点 教学重点是如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用;教学难 点是对向量的正交分解的过程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐 标表示的过程的理解. 四.教学流程设计
情境问题

向量的正交分解 返回到情境问题

位置向量的 正交分解

任意向量的 正交分解

向量的坐标表示

位置向量的 坐标表示

任意向量的 坐标表示

坐标表示的运算

知起点与终点的 向量的坐标表示

运用与深化

小结与作业

五.教学过程设计

一.情境引入
我班健美操队四名队员 A、B、C、D 在一个长 10 米,宽 8 米的矩形表演区 域 EFGH 内进行健美操表演.
3

(1)若在某时刻 t1 ,四名队员 A、B、C、D 保持如图 1 所示的平行四边形 队形.队员 A 位于点 F 处,队员 B 在边 FG 上距 F 点 3 米处,队员 D 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 5 米处.你能确定此时队员 C 的位置吗?

E 8m F A D B C

H

E C 8m D B A F 10m 图2

H

10m 图1

G

G

[说明] 此时队员 C 在位于距 EF 边 5 米距 FG 边 5 米处.这个图形比较特殊, 学生很快就会得到答案,这时教师引入第二个问题. (2)若在某时刻 t 2 ,四名队员 A、B、C、D 保持如图 2 所示的平行四边形 队形.队员 A 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 1 米处, 队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处, 队员 D 位于距 EF 边 4 米距 FG 边 5 米处.你能确定此时队员 C 的位置吗? [说明] 不要求学生写出结果,只引导学生思考.这个图形更为一般一些, 学生解决的可能不是很顺,这时,教师就可以说,这一节我们就来学习一个新 的内容:向量的坐标表示及其运算,学习了这个内容之后,同学们只要花上两 分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了,引起学生学习的兴趣与探 究的欲望.

二.学习新课
1. 向量的正交分解 我们称在平面直角坐标系中,方向与 x 轴和 y 轴正方向分别相同的的两个 ? ? 单位向量叫做基本单位向量,分别记为 i , j ,如图,称以原点 O 为起点的向量 为位置向量,如下图左, O A 即为一个位置向量.
??? ?

思考 1:对于任一位置向量 O A ,我们能用基本单位向量 i , j 来表示它吗?

??? ?

? ?

4

如上图右,设如果点 A 的坐标为 ? x , y ? ,它在小 x 轴,y 轴上的投影分别 为 M,N,那么向量 O A 能用向量 O M 与 O N 来表示吗?(依向量加法的平行四 ? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? ???? 边形法则可得 O A ? O M ? O N ) O M 与 O N 能用基本单位向量 i , j 来表示吗? , (依向量与实数相乘的几何意义可得 O M
? ???? ? ? xi, O N ? y j ??? ? ???? ???? ? ? ? O A ? O M ? O N ? xi ? y j ???? ?
??? ? ???? ? ????

) ,于是可得:
??? ?

由上面这个式子, 我们可以看到: 平面直角坐标系内的任一位置向量 O A 都 ? ? 能表示成两个相互垂直的基本单位向量 i , j 的线性组合,这种向量的表示方法 我们称为向量的正交分解. 2.向量的坐标表示 ? 思考 2:对于平面直角坐标系内的任意一个向量 a ,我们都能将它正交分 ? ? 解为基本单位向量 i , j 的线性组合吗?如下图左.

显然,如上图右,我们一定能够以原点 O 为起点作一位置向量 O A ,使 ??? ? ? ? O A ? a .于是,可知:在平面直角坐标系内,任意一个向量 a 都存在一个与它 ??? ? 相等的位置向量 O A .由于这一点, 我们研究向量的性质就可以通过研究其相应 的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量 ? ? ? i , j 的线性组合, 所以平面内任意的一个向量 a 都可以正交分解为基本单位向量
? ? i, j

??? ?

的线性组合.即:
? ?

? a

=O A = xi ?
? ?

??? ?

?

? y j

上式中基本单位向量 i , j 前面的系数 x,y 是与向量 a 相等的位置向量 O A 的 终点 A 的坐标.由于基本单位向量 i , j 是固定不可变的,为了简便,通常我们将 系数 x,y 抽取出来,得到有序实数对(x,y).可知有序实数对(x,y)与向量 a ??? ? ? 的位置向量 O A 是一一对应的.因而可用有序实数对(x,y)表示向量 a ,并称 ? (x,y)为向量 a 的坐标,记作: ? a =(x,y) ? ? ??? ? [说明](x,y)不仅是向量 a 的坐标,而且也是与 a 相等的位置向量 O A 的 ? 终点 A 的坐标! 当将向量 a 的起点置于坐标原点时, 其终点 A 的坐标是唯一的,
5

?

??? ?

?

所以向量 a 的坐标也是唯一的.这样, 我们就将点与向量、 向量与坐标统一起来, 使复杂问题简单化. ? ? ? 显然,依上面的表示法,我们有: i ? (1, 0 ), j ? (0,1), 0 ? (0, 0 ) . 例 1. (课本例题) 如图, 写出向量 a , b , c 的 坐标. ? 解:由图知 a ? ? 1, 2 ? 与向量 b 相等的位置向量为 O A , ? ??? ? 可知 b ? O A ? ? 1, 2 ? 与向量 c 相等的位置向量为 O B , ? ??? ? 可知 c ? O B ? ? 1, ? 2 ? [说明] 对于位置向量 a ,它的终点的坐标 ? ? 就是向量的坐标;对于起点不在原点的向量 b , c ,我们是通过先找到与它相等 的位置向量,再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么,有没有不通过位 置向量,直接就写出任意向量的坐标的方法呢?答案是肯定的,而且很简便, 但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算: 3.向量的坐标表示的运算 我们学过向量的运算,知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算, 那么,在学习了向量的坐标表示以后,我们怎么用向量的坐标形式来表示这些 运算呢? ? ? 设 ? 是一个实数, a ? ( x1 , y 1 ), b ? ( x 2 , y 2 ).
? ? ? ? ? ? ( x1 , y 1 ) ? x1 i ? y 1 j , b ? ( x2 , y2 ) ? x2 i ? y2 j ? ? 所以 a ? b ? ( x1 , y1 ) ? ( x 2 , y 2 ) ? ? ? ? ? x1 i ? y 1 j ? x 2 i ? y 2 j ? ? ? ? ? x1 i ? x 2 i ? y 1 j ? y 2 j ? ? ? ? x1 ? x 2 ? i ? ? y 1 ? y 2 ? j

?

? ? ?

?

??? ?

?

??? ?

?

由于 a

?

? ?

? ? ? ?

? ?

? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? ? ? ? ? ? ? a ? ? ( x1 , y 1 ) ? ? x1 i ? y 1 j ? ? x1 i ? ? y 1 j ? ? ? x 1 , ? y 1 ?

?

?

于是有: ( x1 , y1 ) ? ( x 2 , y 2 )

? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ?

? ( x1 , y 1 ) ? ? ? x1 , ? y 1 ?

[说明]上面第一个式子用语言可表述为:两个向量的和(差)的横坐标等于 它们对应的横坐标的和(差),两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵 坐标的和(差),可笼统地简称为:两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和
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(差); 同样,第二个式子用语言可表述为:数与向量的积的横坐标等于数与向量 的横坐标的积,数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积,也可笼统 地简称为:数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积. 4.应用与深化 下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量,如何直接写出任意向量的坐 标的问题: 例 2.如下图左,设 P ? x1 , y 1 ? 、 Q ? x 2 , y 2 ? 是平面直角坐标系内的任意两点, 如何用 P、Q 的坐标来表示向量 P Q ?
????

???? ???? ??? ? 解:如上图右,向量 P Q ? O Q ? O P

? ? x 2 , y 2 ? ? ? x1 , y 1 ? ? ? x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 ? ???? P Q ? ? x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 ?

从而有 [说明]上面这个式子告诉我们: 平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等 于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差,纵坐标也等于它终点的纵坐标与它 起点的纵坐标的差,可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”. 例 3.(课本例题)如图,平面上 A、B、C 三点的坐标分别为 ? 2 ,1 ? 、? ? 3, 2 ? 、

? ? 1, 3 ? .

???? ??? ? (1)写出向量 A C , B C 的坐标;
B(-3,2)

y C(-1,3) D A(2,1)

(2) 如果四边形 ABCD 是平行四边形, 求 D 的坐标.
???? 解: (1) A C ? ? ? 1 ? 2, 3 ? 1 ? ? ? ? 3, 2 ? ??? ? B C ? ? ? 1 ? ? ? 3 ? , 3 ? 2 ? ? ? 2,1 ?

O

x

(2)在上图中,因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 D C

????

??? ? ? AB
7

设点 D 的坐标为 ? x D , y D ? ,于是有 ? ? 1 ? 又 故
??? ? A B ? ? ? 3 ? 2, 2 ? 1 ? ? ? ? 5,1 ?
x D , 3 ? y D ? ? ? ? 5,1 ?
??1 ? xD ? ?5 ? 3 ? yD ? 1

??? ? xD ,3 ? yD ? ? AB

? ?1 ?

由此可得 ?

解得 ?

? xD ? 4 ? yD ? 2

因此点 D 的坐标为 ? 4 , 2 ? . 练习: (1)请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时 刻 t 2 ,健美操队员 C 的位置问题.即:在某时刻 t 2 ,四名队员 A、B、C、D 保持 如图所示的平行四边形队形.如下图左,队员 A 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 1 米 处,队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处,队员 D 位于距 EF 边 4 米距 FG 边 5 米处.你能确定此时队员 C 的位置吗?

E C 8m A F 10m D B

H

y E D(4,5) B(6,3) C H

G

F O

A(2,1)

G

x

解:以点 F 为坐标原点,以边 FG 为 x 轴,以边 FE 为 y 轴,建立如上图右 所示直角坐标系.则依题意有 A(2,1),B(6,3),D(4,5),设 C(x,y),则由 ABCD 是 平行四边形可得:
???? ??? ? ???? A C ? A B ? A D ? ( 4, 2 ) ? ( 2, 4 ) ? (6, 6 ) ???? 又 A C ? ( x , y ) ? ( 2,1) ? ( x ? 2, y ? 1)

故 ( x ? 2, y ? 1) ? (6, 6 ) 于是 x=8, y=7,即 C(8,7). 答:队员 C 位于距 EF 边 8 米、距 FG 边 7 米处. 例 4、已知:平面内两点 P,Q 的坐标分别为(-2,4),(2,1), ?? ? ???? 求: P Q 的单位向量 a ???? 解:因为 P Q =(4,3)
0

???? ???? PQ 3? ?4 ? ???? ? ? , ? ? ? P Q ? 5 5? ?5 PQ

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三.巩固练习

1. 如图,写出向量 a , b , c 的坐标. ? 2.已知 a ? ( ? 1, 2 ) , 若其终点坐标是(2,1), 则其起点的坐标是 ;若其起点坐 标 是 (2,1), 则 其 终 点 的 坐 标 是 . ? ? 3.已知向量 a ? ? ? 2, 3 ? 与 b ? ? 1, ? 5 ? ,求 的坐标. 解 : 1. 由 题 意 : ? ? ? a ? ? 2,1 ? , b ? ? 1, ? 1 ? , c ? ? 2,1 ? ? ? 1, ? 1 ? ? ? 2 ? 1,1 ? ( ? 1) ? ? ?1, 2 ? 2. 设 起 点 的 坐 标 是 (x,y) , 则 (2,1)-(x,y)=(-1,2), 解 得 : (x,y)=(3,-1),即起点的坐标是(3,-1); 设终点的坐标是(x,y),则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得:(x,y)=(1,3), 即起点的坐标是(1,3). ? ? 3. 3 a ? b =3 ? ? ? 7 ,1 4 ? ? ? 1, ? 5 ? ? ? ? 7 ,1 4 ?
? ? b ? 3a
? 3? ?2, 3 ? ? ? 7, ?14 ? ? ? ? ? [另法]: b ? 3 a = ? 3 a ? b = ? ? ? 7 ,1 4 ? ? ? 7 , ? 1 4 ?
? ? ? ? 3a ? b 及b ? 3a

? ? ?

= ? 1, ? 5 ?

?

?

四.课堂小结:
本节课我们讲了哪些内容?(请学生作答) 1.向量的正交分解(是如何对向量进行正交分解的?) 2.向量的坐标表示(是用什么表示向量的坐标的?) 3.向量的坐标运算(运算法则是什么?)

五.作业布置
六.教学设计说明及反思 在本节课的设计上,我是先用一个实际的情境问题引入,引起学生学习的 兴趣,同时也在最后通过应用向量坐标这个工具对于这个问题的简便解决以及 对于这一问题的进一步深化,使学生体会到引入向量坐标形式这个工具的必要 性,并培养学生数学的应用意识,体会到数学是有用的,是有价值的;另外, 在新授课内容的设计上,主要采用了以知识内容本身的逻辑关系而形成的继承 关系为顺序的直线型的设计,主要有四个板块:一是向量的正交分解,二是向 量的坐标表示,三是向量的坐标运算,四是应用与深化.其中向量的正交分解 是从介绍基本单位向量与位置向量的概念入手,然后通过先处理位置向量的正 交分解,再处理任意向量的正交分解;向量的坐标表示也是先处理位置向量的 坐标表示然后再处理可化为位置向量的向量的坐标表示,最后在研究了坐标形
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式的运算之后才以例题的形式处理任意向量的坐标表示,这样设计的思路与课 本上先交代任意向量都可以作一个与之相等的位置向量,然后只要研究位置向 量就能得到原来向量的性质的思路略有不同,这样设计的出发点主要是希望能 够给学生的学习创造一个按知识自身的逻辑顺序而层层递进的、螺旋上升的学 习过程,使学生能够步步为营的在充分弄清前一个问题的基础上进入下一个问 题,从而达到有效分散学生在学习中的难点的目的.在应用与深化这一板块上, 我主要设计了五个问题,第一个问题是例 1,置于向量的坐标表示这一板块之 中,其目的是为了在初次接触坐标表示时,加深对位置向量与可化为位置向量 的坐标的理解,以及舒缓一下学生在较长时间的数学纯理论学习中所聚集的紧 张或疲劳情绪,为下面的学习作点准备;第二个问题是例 2,解决任意向量的 坐标表示问题,这也是这一节课必须要解决的一个重点问题;第三个问题是例 3,其目的是通过对任意向量的坐标表示公式的应用,强化对这一公式的记忆 与掌握,同是也为下一问题即引入问题的解决作知识与方法上的铺垫;第四个 问题是解决引入的情境问题并作进一步深化;第五个问题是对向量坐标表示运 算公式的应用.同时,最后又设置了三个小题,作为课内练习,机动使用. 整个一节课,如果用一句话概括基本的设计思路,那就是:低起点(使学 生容易入手) 、小步走(使学生容易理解) 、重视过程(重视知识的发生过程及 重视学生的学习过程) 、强化训练(训练是掌握与提高的有效途径).

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