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四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试文数试题及答案(超清word版)


四川省绵阳市 2017 届高三第一次诊断性考试 文数试题 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x ? Z | x 2 ? 5x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {1,2} B. {2,3} C. {1,2,3} D. {2,3,4} ) )

2.已知命题 p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p 为( A. ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0
2

B. ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 D. ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0
2

3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织, 日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺 数为( A.8 ) B.9 C.10 D.11

?x ? y ? 0 ? 4.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?y ? 0 ?
A. 0 B. 1 C. 2 D.



3 2
) D.既不充分也

x 2 5.设命题 p : 2 ? 2 ,命题 q : x ? 1 ,则 p 是 q 成立的(

A.充分不必要条件 不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

6.要得到函数 f ( x) ? sin 2x ? 3 cos2x( x ? R) 的图象,可将 y ? 2 sin 2 x 的图象向左平移 ( A. )

? 个单位 6

B.

? 个单位 3

C.

? 个单位 4

D.

? 个单位 12

-1-

7.三次函数 f ( x) ? ax ?
3

3 2 x ? 2 x ? 1 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行,则 f ( x) 在 2
) C.

区间 (1,3) 上的最小值是( A.

8 3

B.

11 6

11 3

D.

5 3

8.2016 年国庆节期间,绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物, 他有三张商场的优惠券, 商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价, 三张优惠券的优惠方式不同,具体如下: 优惠券 A :若商品标价超过 100 元,则付款时减免标价的 10%; 优惠券 B :若商品标价超过 200 元,则付款时减免标价的 30 元; 优惠券 C :若商品标价超过 200 元,则付款时减免超过 200 元部分的 20%. 若顾客想使用优惠券 C ,并希望比使用优惠券 A 或 B 减免的钱款都多,则他购买的商品的标 价应高于( A.300 元 ) B.400 元 C.500 元 D.600 元

2 9.已知 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? , sin 2? ? 2 sin ? ,则(



A. cos ? ? 2 cos? C. cos 2? ? 2 cos 2?

B. cos

2

? ? 2 cos2 ?

D. cos 2? ? 2 cos 2? ? 0

10. 已 知 定 义 在 [0,??) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 当 x ? [0,1) 时 ,

f ( x) ? ? x 2 ? x ,设 f ( x) 在 [n ? 1, n) 上的最大值为 an (n ? N * ) ,则 a4 ? (
A. 2 B. 1 C.



1 16

D.

1 32

-2-

11.在 ?ABC 中, cos A ? A. 2 2 B. 2 3

1 , AB ? 4 , AC ? 2 ,则 ? A 的角平分线 AD 的长为( 8
C. 2 D. 1



12. 若函数 f ( x) ? x 4 ? 4 x3 ? ax2 ? 4 x ? 1 的图象恒在 x 轴上方,则实数 a 的取值范围 是 ( ) B. (1,??) C. (

A. (2,??)

3 ?1 ,??) 2

D. (

2 ?1 ,??) 2

二、填空题(每题 4 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若向量 a ? (1,0) , b ? (2,1) , c ? ( x,1) 满足条件 3a ? b 与 c 垂直,则 x ? 14.在公差不为 0 的等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,则 .

a5 ?

.
2

15.函数 f ( x) ? x ?

ax ? b ?

1 ( a , b 是正实数)只有一个零点,则 ab 的最大值为 4

.

3 16. f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意的 x ? [2t ? 1,2t ? 3] ,不

等式 f (3x ? t ) ? 8 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是

.

-3-

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在区间 [ ?

?
2

) 的图象(部分)如图所示.

1 1 , ] 上的最大值与最小值. 2 2

18.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn ? 2an ? 1(n ? N * ) , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? log2 an?1 ,求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn . bnbn?1

-4-

19.已知 ?ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S . (1)求 tan 2 A 的值; (2)若 cos C ?

3 ,且 | AC ? AB |? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 5

20.已知函数 f ( x) ? x sin x ? cos x . (1)若 f ( x) ? k 对任意的 x ? (0, ? ) 恒成立,求实数 k 的取值范围; (2) 判断在 f ( x) 区间 (2,3) 上的零点个数, 并证明你的结论 (参考数据: . 2 ? 1.4 , 6 ? 2.4 )

-5-

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? x 2 ? 1, g ( x) ? e x ? e . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若对于任意的 x ? (1,??) , m g( x) ? f ( x) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

-6-

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方 程为 ? sin 2 ? ? 4 cos? . (1)求曲线 C 的直角坐标方程;

? x ? 1? ? ? (2)若直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1? ? ?
A, B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值.

2 t 5 ( t 为参数) ,设点 P(1,1) ,直线 l 与曲线 C 相交于 1 t 5

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | ?a(a ? R) . (1)若 a ? 1 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)若方程 f ( x) ? x 有三个实数根,求实数 a 的取值范围.

-7-

四川省绵阳市 2017 届高三第一次诊断性考试 文科数学参考答案 一、选择题 1、A 2、D 3、B 4、C 5、B 6、A 7、D 8、B 9、C 10、A 11、C 12、A

二、填空题 13、1 14、13 15、

1 16

16、 t ? ?3 或 t ? 1 或 t ? 0

三、解答题 17、

试题解析:(1)由图得: A ? 2 . 由

T 2? 5 1 1 ? ? ? ? ,解得 ? ? ? .??????3 分 4 4? 6 3 2

1 ? ? ? ? 由 f ( ) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 ,可得 ? ? ? 2k? ? ,解得 ? ? 2k? ? , 3 3 3 2 6
又? ?

?
2

,可得 ? ?

?
6

,∴ f ( x) ? 2 sin(?x ?

?
6

) .????????????6 分

1 1 ? ? 2? (2) ∵ x ?[? , ] ,∴ ?x ? ?[? , ] , 2 2 6 3 3
∴ ? 3 ≤ 2 sin(?x ?

?
6

) ≤2,即 f ( x) 的最大值是 2,最小值是 ? 3 .???12 分

考点:求三角函数解析式,三角函数性质 【方法点睛】已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B(A ? 0, ? ? 0) 的图象求解析式

ymax ? ymin y ? ymin . , B ? max 2 2 2? (2)由函数的周期 T 求 ?, T ? . ?
(1) A ? (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 ? .

-8-

18、

试题解析:(1)令 n ? 1,S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ,解得 a1 ? 1 .???????????2 分 由 S n ? 2an ? 1 ,有 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 , 两式相减得 an ? 2an ? 2an ?1 ,化简得 an ? 2an ?1 (n≥2) , ∴ 数列 {an } 是以首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴ 数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ?1 .?????????????????6 分 (2) bn ? log2 an?1 ? log2 2 n ? n , ∴

1 1 1 1 ? ? ? , bn bn ?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n ) ?1? ? ∴ Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? .??12 分 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1
考点:由和项求通项,裂项相消求和

19、 【解析】

1 2 ???? ??? ? ??? ? 2tan A 4 AC ? AB ? BC ? a ? 2 ,这 ? ? 据二倍角正切公式得 tan 2 A ? ( 2 )由向量减法得 1 ? tan 2 A 3
试题分析: (1)先根据向量数量积及三角形面积公式得 bc cos A ? bc sin A ,即 tanA=2,再根 样结合(1)就已知两角一边,利用正弦定理可求另一边,最后根据面积公式求三角形面积

??? ? ???? 1 试题解析:(1) 由已知 AB ? AC ? S 有 bc cos A ? bc sin A ,可得 tanA=2, ????2 分

2

∴ tan 2 A ?

2tan A 4 ? ? .????????????????????4 分 1 ? tan 2 A 3

-9-

考点:向量数量积及三角形面积公式,二倍角公式

20、 【答案】 (1) k ? ?1 (2)有且只有 1 个零点

(2)判定函数零点个数从两个方面,一是函数单调性,二是函数零点存在定理,先求函数导 数 f ?( x) ? x cos x ,确定函数在(2,3)上是减函数,即函数在(2,3)上至多一个零点.再研究 区间端点函数值的符号: f (2) ? 2 sin 2 ? cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ? sin 2 ? 2 sin(2 ?

?
4

) ? sin 2 ? 0 ,

f (3) ? 3 sin 3 ? cos 3 ? 0 ,由零点存在性定理,得函数在(2,3)上至少一个零点,综上可得函

数在(2,3)上有且仅有一个零点 试题解析:(1) f ?( x) ? sin x ? x cos x ? sin x ? x cos x , ∴ x ? (0 , ) ,f ?( x) ? 0 , x ? ( ,? ) ,f ?( x) ? 0 , 2 2 即 f ( x) 在 (0 , ) 递增,在 ( ,? ) 递减,故 f ( x) min ? min? f (0) ,f (? )?. 2 2 又 f (0) ? 1,f (? ) ? cos ? ? ?1 , (2) f ?( x) ? sin x ? x cos x ? sin x ? x cos x ,

?

?

?

?

- 10 -

3) 时, f ?( x) ? x cos x ? 0 , ∴函数 f ( x) 在(2,3)上是减函数.???8 分 ∴ x ? (2 ,

又 f (2) ? 2 sin 2 ? cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ? sin 2 ? 2 sin(2 ? ∵ 3 sin 3 ? 3 sin

?
4

) ? sin 2 ? 0 ,??10 分

11? ? ? ? 6? 2 ? 3 sin ? 3 sin( ? ) ? 3 ? ? 0.75 , 12 12 3 4 4 11? ? ? ? 6? 2 cos 3 ? cos ? ? cos ? ? cos( ? ) ? ? ? 0.95 , 12 12 3 4 4

∴ f (3) ? 3 sin 3 ? cos 3 ? 0 , 由零点存在性定理, f ( x) 在区间(2,3)上有且只有 1 个零点.????12 分 考点:函数零点,利用导数研究不等式恒成立

21、 【答案】 (1)增函数(2) m ?

3 e

2 ? ?) ,又 f ?( x) ? 1 ? 2 x ? 2 x ? 1 , 试题解析:(1) 因为函数 f ( x) 的定义域为 (0 , x x

∵x>0,2x2+1>0,

? ?) 上是增函数. ?????????3 分 ∴ f ?( x) ? 0 , f ( x) 在定义域 (0 ,
(2) mg ( x) ? f ( x) ? m(e x ? e) ? ln x ? x2 ? 1 ? 0 , 令 h( x) ? m(e x ? e) ? ln x ? x 2 ? 1 , 则 h?( x) ? me x ?

1 3 ? 2 x ,令 h?(1) ? 0,即 me ? 3 ? 0 ,可解得 m= . e x

- 11 -

①当 m≤0 时,显然 h?( x) ? me x ? ∴ h( x) <h(1)= 0,不满足条件.

1 ? ?) 上单调递减, ? 2 x ? 0 ,此时 h( x) 在 (1 , x
?????????????????6 分

3 1 ②当 0 ? m ? 时,令 p( x) ? me x ? ,q( x) ? 2 x . x e 1 3 ? ?) 上单调递增,∴ p( x)min ? p(1) ? me ? 1 ? ? e ? 1 ? 2 . 显然 p( x) ? me x ? 在 [1, e x
? ?) 单调递增,于是 q( x) min ? 2 .∴ p( x)min ? q( x)min . 由 q ( x) ? 2 x 在 [1,
于是函数 p( x) ? me x ?

1 的图象与函数 q ( x) ? 2 x 的图象只可能有两种情况: x

若 p( x) 的图象恒在 q( x) 的图象的下方,此时 p( x) ? q( x) ,即 h?( x) ? 0 ,

? ?) 单调递减,又 h(1) ? 0 ,故 h( x) ? 0 ,不满足条件. 故 h( x) 在 (1 ,
若 p( x) 的图象与 q( x) 的图象在 x>1 某点处的相交,设第一个交点横坐标为 x0, 当 x ? (1,x0 ) 时, p( x) ? q( x) ,即 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (1,x0 ) 单调递减, 又 h(1) ? 0 ,故当 x ? (1,x0 ) 时, h( x) ? 0 .∴ h( x) 不可能恒大于 0,不满足条件.??9 分

考点:利用导数求函数单调区间,利用导数求参数取值范围

- 12 -

22、 【答案】 (1) y 2 ? 4 x (2) 4 15

试题解析:(1)由曲线 C 的原极坐标方程可得 ? 2 sin2 ? ? 4? cos? , 化成直角方程为 y 2 ? 4 x .?????????????????????4 分 (2)联立直线线 l 的参数方程与曲线 C 方程可得 (1 ?

1 5

t ) 2 ? 4(1 ?

2 5

t) ,

整理得 t 2 ? 6 5t ? 15 ? 0 , ????????????????????7 分 ∵ t1 ? t2 ? ?15 ? 0 ,于是点 P 在 AB 之间, ∴ PA ? PB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 4 15 .???????????10 分 考点:极坐标方程化为直角坐标方程,直线参数方程几何意义

23、 【解析】 试题分析: (1)根据绝对值定义,将不等式转化为三个不等式组,最后求它们解集的并集得 原不等式解集(2)将方程转化为对应函数 a ? x ? x ?1 ? x ? 1 ,再根据绝对值定义将其转化为

? x ? 2,x ? ?1, ? 分段函数 a ? x ? x ? 1 ? x ? 1 ? ?? x, ? 1 ? x ? 1, 最后结合分段函数图像确定实数 a 的取值范 ? x ? 2,x ? 1, ?
围. 试题解析:(1)∵ a ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 1, ∴当 x≤-1 时, f ( x) ? ?1,不可能非负. 当-1<x<1 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,由 f ( x) ≥0 可解得 x≥ ? 当 x≥1 时, f ( x) ? 3 >0 恒成立.

1 1 ,于是 ? ≤x<1. 2 2

1 ? ?) .???????????????5 分 ∴不等式 f ( x) ≥0 的解集 [? , 2

- 13 -

考点:绝对值定义

- 14 -



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