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高中数学《§2.4 等比数列》学案



§2.4 等比数列(1)
学习目标 1 理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质; 2. 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力; 3. 体会等比数列与指数函数的关系. 教学重点 等比数列的定义及通项公式 教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P48 ~ P51,找出疑惑之处) 复习 1:等差

数列的定义?

复习 2:等差 数列的通项公式 an ? 等差数列的性质有:



二、新课导学 ※ 学习探究 观察:①1,2,4,8,16,… 1 1 1 1 ②1, , , , ,… 2 4 8 16 ③1,20, 20 2 , 203 , 20 4 ,… 思考以上四个数列有什么共同特征?

新知: 1. 等比数列定义:一般地,如果 一个数列从第

项起,

一项与它的 ,通常用字母

一项的

那么这个数列就叫做 等比数列.这个常数叫做等比数列的 (q≠0) 2. 等比数列的通项公式:

常数, a 表示(q≠0),即: n = a n ?1

等于

1

a2 ? a1


2

a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1



a4 ? a3q ? (a1q )q ? a1



… …

∴ an ? an?1q ? a1 ?

等式成立的条件

3. 等比数列中任意两项 a n 与 am 的关系是:

※ 典型例题

4 1 ,公比是- ,求它的第 1 项; 9 3 (2)一个等比数列的第 2 项是 10, 第 3 项是 20,求它的第 1 项与第 4 项.
例 1 (1) 一个等比数列的第 9 项是

小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式 an ? a1qn?1 . 例 2 已知数列{ a n }中,lg an ? 3n ? 5 ,试用定义证明数列{ a n }是等比数列.

小结:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数 n,

a n ?1 是一个不为 0 的常数就行了. an

※ 动手试试 练 1. 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%. 这种物质的半衰 期为多长(精确到 1 年)?

2

练 2. 一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比 q ? ( A.

).

3 2

B.

3 5 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列定义; 2. 等比数列的通项公式和任意两项 a n 与 am 的关系. ※ 知识拓展 在等比数列 {an } 中, ⑴ 当 a1 ? 0 ,q >1 时,数列 {an } 是递增数列; ⑵ 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 ,数列 {an } 是递增数列; ⑶ 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 时,数列 {an } 是递减数列; ⑷ 当 a1 ? 0 ,q >1 时,数列 {an } 是递减数列; ⑸ 当 q ? 0 时,数列 {an } 是摆动数列; ⑹ 当 q ? 1 时,数列 {an } 是常数列. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当 堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ?an ? 为等比数列, a1 ? 12 , a2 ? 24 ,则 a3 ? ( A. 36 B. 48 C. 60 D. 72

).

3

9 1 2 2. 等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,这个数列的项数 n=( ). 3 8 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知数列 a,a(1-a), a(1 ? a)2 ,…是等比数列,则实数 a 的取值范围是(
A. C.

).

a≠1 a≠0

B. a≠0 且 a≠1 D. a≠0 或 a≠1
2a1 ? a2 = 2a3 ? a4

4. 设 a1 , a 2 , a3 , a 4 成等比数列,公比为 2,则 5. 在等比数列 {an } 中, 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q= 课后作业 在等比数列 {an } 中, ⑴ a4 ? 27 ,q=-3,求 a 7 ;

.

.

⑵ a2 ? 18 , a4 ? 8 ,求 a1 和 q;

⑶ a4 ? 4 , a7 ? 6 ,求 a9 ;

⑷ a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6 ,求 a3 .

4

§2.4 等比数列(2) 学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念; 2. 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 教学重点 等比中项的理解与应用 教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P51 ~ P54,找出疑惑之处) 复习 1:等比数列的通项公式 an ? = . 公比 q 满足的条件是 复习 2:等差数列有何性质?

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,则

G b ? ? G2 ? ab ? G ? a G

新知 1:等比中项定义 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 称为 a 与 b 的等比中项. 即 G= (a,b 同号). 试试:数 4 和 6 的等比中项是 .

问题 2: 1.在等比数列{ a n }中, a52 ? a3 a7 是否成立呢?

2 2. an ? an?1an?1 (n ? 1) 是否成立?你据此能得到什么结论?

5

2 3. an ? an?k an ?k (n ? k ? 0) 是否成立?你又能得到什么结论?

新知 2:等比数列的性质 在等比数列中,若 m+n=p+q,则 am an ? a p ak . 试试:在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5, a9 a10 ? 100 ,那么 a18 ? .

※ 典 型例题 例 1 已知 {an }, {bn } 是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你 的结论. 例
an bn

自选 1

自选 2

an ? bn {an ? bn } 是

2 3 ? ( )n 3 ?5 ? 2 n ?1 4 ?10 ? ( )n ?1 3


否等比

变式:项数相同等比数列{ a n }与{ bn },数列{

an }也一定是等比数列吗?证明你的结论. bn

小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列. 例 2 在等比数列{ a n }中,已知 a4 ?a7 ? ?512 ,且 a3 ? a8 ? 124 ,公比为整数,求 a10 .

6

变式:在等比数列{ a n }中,已知 a7 ?a12 ? 5 ,则 a8 ?a9 ?a10 ?a11 ?

.

※ 动手试试 练 1. 一个直角三角形三边成等比数列,则( A. 三边之比为 3:4:5 B. 三边之比为 1: 3 :3 5 ?1 C. 较小锐角的正弦为 2 5 ?1 D. 较大锐角的正弦为 2

).

练 2. 在 7 和 56 之间插入 a 、 b ,使 7、 a 、 b 、56 成等比数列,若插入 c 、 d , 使 7、 c 、 d 、56 成等 差数列,求 a + b + c + d 的值.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比中项定义; 2. 等比数列的性质. ※ 知识拓展

7

公比为 q 的等比数列 {an } 具有如下基本性质: 1. 数列 {| an |} ,{an 2 } ,{can } (c ? 0) ,{anm } (m ? N * ) ,{an k } 等,也为等比数列,公比分别为 | q |, q2 , q, qm , qk . a bn } , { n } 也等比. 若数列 {bn } 为等比数列,则 {an ? bn 2. 若 m ? N * ,则 an ? am ? qn?m . 当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式. 3. 若 m ? n ? k ? l , m, n, k , l ? N * ,则 am ?an ? ak ?al . 4. 若 {an } 各项为正,c>0,则 {log c a} n 是一个以 log c a1 为首项, log c q 为公差的等差数列. 若 {bn } 是以 d 为 公差的等差数列,则 {cbn } 是以 cb1 为首项, c d 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列 时,这个数列是非零的常 数列. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ?an ? 为等比数列中, an ? 0 , a2 a4 ? 2a3a5 ? a52 ? 16 ,那么 a3 ? a5 ? (

).

A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8 2. 若-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1) =( ). 9 A.8 B.-8 C.± 8 D. 8 3. 若正数 a,b,c 依次成公比大于 1 的等比数列,则当 x>1 时, log a x , log b x , log c x ( ) A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列 4. 在两数 1,16 之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于 5. 在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a5 ?a6 ? 9 , 则 log3 a1 + log3 a 2 +…+ log3 a10 ? .

.

课后作业 1. 在 ?an ? 为等比数列中, a1 ?a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 的值.

8

2. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d≠0,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,求

a1 ? a3 ? a9 a2 ? a4 ? a10

9



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