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圆锥曲线与方程



第八章
第 35 课时

圆锥曲线与方程
椭圆的定义和标准方程

一、选择题 x2 y2 1.椭圆 + =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|等于( 25 9 3 A.2 B.4 C.8 D. 2 解析:连接 MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10, 1 |M

F2|=10-|MF1|=8,如图,|ON|= |MF2|=4. 2 答案:B x2 y2 4 2.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( ) 9 4+k 5 19 19 A.-21 B.21 C.- 或 21 D. 或 21 25 25 5 - k c 4 4 19 解析:若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k,由a= 即 = 得 k=- ; 5 3 5 25 k-5 4 c 4 若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5,由a= ,即 = ,解得 k=21. 5 4+k 5

)

x2 y2 3. 已知如下图,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P,F1、F2 为椭圆的焦点,若∠F1PF2=θ,则△PF1F2 的 a b 面积等于( )

答案:C

θ θ A.a2tan B.a2cot 2 2 θ θ C.b2tan D.b2cot 2 2 解析: 在 △PF1F2 中,由余弦定理得: 2|PF1|· |PF2|· cos θ= |PF1|2+ |PF2|2- |F1F2|2= (|PF1| + |PF2|)2- 2 2 2 2|PF1|· |PF2|-|F1F2| =(2a) -2|PF1|· |PF2|-(2c) (其中 c2=a2-b2). 1 ∴|PF1|· |PF2|· (1+cos θ)=2b2,∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|· sin θ 2 2 θ 1 2b = · · sin θ=b2tan . 2 1+cos θ 2 答案:C x2 y2 5 4. 椭圆 + =1 的右焦点为 F,设 A(- , 3),P 为椭圆上的动点,则|AP|+ 5|PF|取得最小值时 5 4 2 点的坐标是( ) 5 A.( , 3) B.(5,0) C.(0,2) D.(0,-2)或(0,2) 2 答案:A 二、填空题 x2 y2 5. 椭圆 + =1 的焦点为 F1、 F2, 点 P 为其上的动点, 当∠F1PF2 为钝角时, 点 P 横坐标的取值范围 是 9 4 ________. 解析:已知 a2=9,b2=4,∴c= 5.

x2 y2 3 5 3 5 3 5 以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=5,又 + =1,因此 x=± ,当- < x< 时, 9 4 5 5 5 ∠F1DF2 为钝角. 3 5 3 5 答案:- <x< 5 5 x2 y2 6.已知 F1,F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,P(3,4)为椭圆上一点,且 PF1⊥PF2,则椭圆 a b 的方程为________. 解析:F1(-c,0),F2(c,0),由 PF1⊥PF2 知,PF1· PF2=0,即(3+c,4)· (3-c,4)=0, 2 2 整理得 9-c +16=0,因此 c=5,又|PF1|+|PF2|=2a,即 (3+5) +42+ (3-5)2+42=6 5, x2 y2 ∴a=3 5,b2=a2-c2=20,所求椭圆方程为 + =1. 45 20 x2 y2 答案: + =1 45 20 x2 y2 7.F1、F2 是椭圆 C: + =1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为________. 8 4 2 2 2 解析:a=2 2,c=2,e= ,设 P(x0,y0),则|PF1|=2 2+ x0,|PF2|=2 2- x0.∵PF1⊥PF2, 2 2 2 ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 2 2 即(2 2+ x0)2+(2 2- x0)2=16, 解得 x0=0, 故在椭圆上存在两点, 即短轴的两端点使 PF1⊥PF2. 2 2 答案:2 三、解答题 x2 8.设 P 是椭圆 2+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值. a 解答:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则|PQ|= x2+(y-1)2. 又因为 Q 在椭圆上,所以 x2=a2(1-y2).|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1 1 2 1 =(1-a2)y2-2y+1+a2=(1-a2)(y- )- +1+a2. 1-a2 1-a2 1 因为|y|≤1,a>1,若 a≥ 2,则| |≤1, 1-a2 a2 a2-1 1 当 y= ;若 1<a< 2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 2. 2时,|PQ|取最大值 1-a a2-1 2 2 x y 9.能否在椭圆 + =1 上找到一点 M,使 M 到左准线的距离为 M 到两焦点 F1、F2 的距离的等比中项, 4 3 若能, 求出点 M 的坐标,若不能,请说明理由. x2 y2 1 解答:解法一:根据椭圆方程 + =1 知 a=2,b= 3,c=1,e= .设 M 到左准线的距离为 d, 4 3 2 由已知 d2=|MF1||MF2|, |MF1| 根据椭圆的第二定义 d =e,即 d=2|MF1|. ∴4|MF1|=|MF2|.① 又|MF1|+|MF2|=4,② 4 解①②联立方程组得|MF1|= <a-c,∴M 点不存在. 5 1 解法二:由解法一知 4|MF1|=|MF2|,设 M 点坐标为(x,y),则 4(a+ex)=a-ex,又 a=2,e= , 2 3a 12 ∴x=- =- ?[-2,2],则满足条件的点 M 不存在. 5e 5

1 10.在面积为 1 的△PMN 中,tan ∠PMN= ,tan ∠PNM=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、N 为 2 焦点且过点 P 的椭圆方程. 解答:以 MN 所在的直线为 x 轴,线段 MN 的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的直角坐 标系.

x2 y2 设所求椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 分别设 M、N 和 P 点坐标为(-c,0),(c,0)(c>0)和(x0,y0). ∵tan α=tan(π-∠PNM)=-tan∠PNM=2, 5 1 x0= c, ? 3 ?y0=2(x0+c), ∴由题设知:? 解得: 4 ? ?y0=2(x0-c). y0= c. 3

? ? ?

5c 4c 即 P( , ). 3 3

4 1 4 3 在△MNP 中,MN=2c,MN 上的高为 c,∴S△MNP= ×2c× c=1,∴c= . 3 2 3 2 2 15 15 又|PM|= (x0+c)2+y2 ,|PN|= (x0-c)2+y2 . 0= 0= 3 3 4x2 y2 1 15 ∴a= (|PM|+|PN|)= ,从而 b2=a2-c2=3,故所求椭圆方程为 + =1. 2 2 15 3 x2 y2 1.若动点 P(x,y)在曲线 + 2=1(b>0)上变化,则 x2+2y 的最大值为( 4 b 2 b b2 ? ? ? 4 +4 (0<b<4) ? 4 +4 (0<b<2) A.? B.? )

? ?2b (b≥4)
2 2

? ?2b (b≥2)

x y y y2 2 2 解析:由 + 2=1,得 x =4(1- 2),-b≤y≤b,∴x +2y=4(1- 2)+2y 4 b b b b2 2 b2 4 2 4 =- 2y +2y+4=- 2(y- ) + +4, b b 4 4 b2 b2 当-b≤ <b,即 0<b<4 时,x2+2y 的最大值为 +4; 4 4 b2 2 当 ≥b,即 b≥4 时,x +2y 的最大值为 2b. 4 答案:A x2 y2 2.已知 F1、F2 分别为椭圆 + =1 的左、右焦点,椭圆内一点 M 的坐标为(2,-6),P 为椭圆上的一 100 64 个动点,试分别求: 5 (1)|PM|+ |PF2|的最小值;(2)|PM|+|PF2|的取值范围. 3 50 解答:(1)椭圆右准线 l:x= ,过点 P 作 PN⊥l 于点 N,如图所示, 3 |PF2| 3 则由椭圆的第二定义知 =e= , |PN| 5 5 5 于是,|PN| = |PF2|,所以,|PM|+ |PF2| = |PM| + |PN|≥d(M,l), 3 3 其中 d(M,l)表示点 M 到准线 l 的距离, 44 易求得 d(M,l)= . 3

b C. +4 4

D.2b
2 2

5 44 所以,|PM|+ |PF2|的最小值为 (此时点 P 为过点 M 且垂直于 l 的线段与椭圆的交点). 3 3 (2)由椭圆的定义知|PF2|+|PF1|=2a=20,故|PM|+|PF2| = |PM|-|PF1|+20. ①|PM|-|PF1|≤|MF1| =10, 故|PM|+|PF2|≤30(当且仅当 P 为有向线段 MF1 的延长线与椭圆的交点时取“=”); ②|PF1|-|PM|≤|MF1| =10, 故|PM|+|PF2|=20-(|PF1|-|PM|)≥10(当且仅当 P 为有向线段 MF1 的反 向延长线与椭圆的交点时取 “=”).综上可知,|PM|+|PF2|的取值范围为[10,30].



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