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必修四1-3 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 练习题


1.3 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
一、填空题 3 1.已知 cos(π +x)= ,x∈(π ,2π ),则 tan x=________. 5 3π ? 3 3 ? 解析 由 cos(π +x)=-cos x= ,得 cos x=- <0,所以 x∈?π , ?. 2 ? 5 5 ? 4 4 此时 sin x=- ,故 tan x= . 5 3 答案 4 3 .

2 . 已知 f(cosx)=cos2x,则 f(sin75 )= 解析 ∵s in75 =sin(90 -15 )=cos15 , ∴f(sin75 )=f(cos15 )=cos (2 ?15 )=cos30 ? 答案
3 2

3. 2

3.设 tan(5π +α )=m,则 解析 ∵ = = = α -3π + -α -

α -3π + -α - π -α π +α

π -α π +α

的值为________.

-4π +π +α -cos α -sin α +cos α π +α -cos α -sin α -cos α = -sin α +cos α -sin α +cos α sin α +cos α tan α +1 = ,又 tan(5π +α )=m, sin α -cos α tan α -1

∴tan(π +α )=m,tan α =m, ∴原式= 答案

m+1 . m-1

m+1 m-1
sinα -3cosα 的值是________. sinα +cosα

4.若 tanα =2,则

-1-

解析 原式分子与分母同除以 cosα 得: 答案 - 1 3

tanα -3 2-3 1 = =- . tanα +1 2+1 3

2π ? ?π ? 2 ? 5.已知 cos? -α ?= ,则 sin?α - ?=________. 6 3 ? ? ? 3 ? 2π ? ? π ?π ?? ? 解析 sin?α - ?=sin?- -? -α ?? 3 ? ?? ? ? 2 ?6 2 ?π ?π ?? ?π ? =-sin? +? -α ??=-cos? -α ?=- . 3 ?? ?6 ? ?2 ?6 答案 - 2 3 3π ? 8 ? ,α ∈?π , ?,则 tan α =_____ ___. 2 ? 17 ? 8 8 ,即 cos α =- . 17 17

6.已知 cos(π -α )=

解析 cos(π -α )=-cos α =

3π ? ? 又 α ∈?π , ?,∴sin α <0. 2 ? ? 所以 sin α =- 1-cos α =- 故 tan α = 答案 15 8 sin α 15 = . cos α 8
2

15 . 17

1 π π 7.已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值是________. 8 4 2 3 解析 1-2sin α cos α =(sin α -cos α )2= , 4 π π 3 又∵ <α < ,sin α >cos α .∴cos α -sin α =- . 4 2 2 答案 - 3 2

π? ? ?π ? 8.若 x∈?0, ?,则 2tan x+tan? -x?的最小值为________. 2? ? ?2 ?

-2-

π? ? 解析 因为 x∈?0, ?,所以 tan x>0. 2? ? 1 ?π ? ?π ? 所以 2tan x+tan? -x?=2tan x+ ≥2 2,所以 2tan x+tan? -x?的最 2 2 tan x ? ? ? ? 小值为 2 2. 答案 2 2 1 9.已知 sin x+sin y= ,则 sin y-cos2x 的最大值为________. 3 1 1 解析 因为 sin x+sin y= ,所以 sin y= -sin x. 3 3 1 2 又-1≤sin y≤1,所以-1≤ -sin x≤1,得- ≤sin x≤1. 3 3 1 因此,sin y-cos2x= -sin x-(1-sin2x) 3 2 =- -sin x+sin2x 3 1? 11? 2 ? ? =?sin x- ?2- ?- ≤sin x≤1?, 2? 12? 3 ? ? 2 4 所以当 sin x=- 时,sin y-cos2x 取最大值 . 3 9 答案 4 9

10.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=________. 解析 sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° =sin21°+sin22°+…+sin245°+…+sin2(90°-2°)+sin2(90°-1°) ? 2? =sin21°+sin22°+…+? ?2+…+cos22°+cos21° ?2? =(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+ 1 89 =44+ = . 2 2 答案 89 2 1 2

-3-

11.已知 2tan α ·sin α =3,-

π? π ? <α <0,则 cos?α - ?的值是________. 6? 2 ?

2sin2α 解析 依题意得 =3,即 2cos2α +3cos α -2=0, cos α 1 π π 解得 cos α = 或 cos α =-2(舍去).又- <α <0,因此 α =- , 2 2 3 π? π ? ? π π? 故 cos?α - ?=cos?- - ?=cos =0. 6 3 6 2 ? ? ? ? 答案 0 π? 7 ? 12.设 α ∈?0, ?,sin α +cos α = ,则 tan α =________. 4 5 ? ? 7 解析 将 sin α +cos α = ,① 5 两端平方得:sin α cos α = 12 ,② 25

? ?sin 由①②得:? ? ?cos
又因为 0<α <

3 α = , 5 4 α = , 5

? ?sin 或? ? ?cos

4 α = , 5 3 α = . 5

π ,所以 sin α <cos α , 4

? ?sin 所以? ? ?cos
答案 3 4

α = α =

3 5 4 5

3 ,故 tan α = . 4

13.化简:

sin(540 ? x) cos(360 ? x) 1 ? ? ? sin(? x) tan(900 ? x) tan(450 ? x)tan(810 ? x) sin(180 ? x) 1 ? ? cosx tan(? x) tan(90 ? x)tan(90 ? x) sin(? x)

.

解析 原式 ?

? sinx ? tan x ? tan x(? 1 ) ? sinx. tanx ? tanx

-4-

答案 sinx 二、解答题 14.化简: - (1) α + +α + + -α - -α + +α -α

; 1 . tan765°

(2)sin120°·cos330°+sin(-690°)·cos(-660°)+tan675 °+ 解析 (1)原式=

sinα -sinα -tanα tanα =- =-1. tanα +cosα -cosα tanα (2) 原 式 = sin(180° - 60°)·cos(360° - 30°) + sin(720° - 1 690°)·cos(720°-660°)+tan(720°-45°)+ + =sin60°cos30°+sin30°cos60°+tan(-45°)+1=1. 15.设 f(cosx) =cos5x. 1 求:(1)f(cos ? ) ; (2) f ( ) ;(3)f(sinx). 6 2 解析 (1)在 原式中,令 x ? ? ? 得 f(cos ? ) ? cos 5? 6 6 6 =cos( ? ? ? ) ? ? cos ? ? ? 3 . 6 2 6 (2)∵cos ? ? 1 ? 3 2 ∴在原函数式中,令 x ? ? ? 得 3 1 f ( ) ? f ( cos ? ) ? cos (5 ? ? ) ? cos(2 ? ? ? ) ? cos ? ? 1 . 3 2 3 3 3 2 (3)∵sinx=cos ( ? ? x)? 2 ∴用 ? ? x 代原函数式中的 x,得 2 f(sinx)=f,求 f(x)的值域; π? 1 ? (2)若 x∈?0, ?,且 sin 2x= ,求 f(x)的值. 6? 3 ? π? ? 解析 (1)f(x)=sin x+cos x= 2sin?x+ ?.因为 x∈, 4? ? 所以 x+ 所以- π ?π 5π ? ∈? , ?, 4 ? 4 ?4

π? 2 ? ≤sin?x+ ?≤1,所以 f(x)的值域为. 4? 2 ?

-5-

4 2 2 (2)因为 =(sin x+cos x) =1+2sin xcos x=1+sin 2x= , 3 且 f(x)>0,所以 f(x)= 2 3 . 3

π 1 18.已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 (1)求 sin x-cos x 的值; (2)求 1 的值. cos x-sin2x
2

思路分析

(思路一):由已知条件与平方关系联立方程组求解;(思路二):先求

sin x-cos x 再与已知条件联立方程组 求解. 解析 (1)法一 联立方程,得 1 5 ① ②

?sin ? ?sin

x+cos x= , x+cos2 x=1,

2

1 由①得 sin x= -将其代入②,整理得 5 25cos x-5cos x-12=0.
2

? ?sin π 因为- <x<0,所以? 2 ? ?cos
7 所以 sin x-cos x=- . 5

x=- , x= ,
4 5

3 5

1 法二 由 sin x+cos x= , 5 ?1? 得(sin x+cos x)2=? ?2, ?5? 即 1+2sin xcos x = 1 , 25 24 . 25

所以 2sin xcos x=-

-6-

因为(sin x-cos x)2=sin2x-2sin xcos x+cos2x =1-2sin xcos x=1+ 24 49 = ① 25 25

π 且- <x<0,所以 sin x<0,cos x>0, 2 所以 sin x-cos x<0.② 7 由①②可知,sin x-cos x=- . 5 (2)由已知条件及(1)可知

? ?sin ? ? ?sin

x+cos x= , x-cos x=- ,
7 5

1 5

? ?sin 解得? ? ?cos

x=- , x= .
4 5

3 5

3 所以 tan x=- . 4 1 sin2x+cos2x tan2x+1 所以 2 = = cos x-sin2x cos2x-sin2x 1-tan2x ? 3?2 ?- ? +1 25 ? 4? = = . 7 ? 3? 1-?- ?2 ? 4? 【点评】 要善于挖掘隐含条件,要具有方程的思想意识,还有一些综合问题,需 要构造方程来解决,在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.

-7-


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