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云南省巧家县第二中学2015届高三数学专题复习 函数概念



高三数学复习之函数概念、图象、性质
1.一条曲线是函数图象的必要条件是:图象与平行于 y 轴的直线至多只有一个交点。一个函数 存在反函数的充要条件是:定义域与值域须一一对应,反应在图象上平行于 X 轴的直线与图 象至多有一个交点。单调函数必存在反函数吗?(是的,任何函数在它的一个单调区间内总有 反函数) ; 函数 f(x)=x2-tx+2 在上有反函数,则 t 的一切可

取值的范围是______ 解析:对于“连续”函数而言,函数有反函数即单调;f(x)=x2-tx+2 在上单调即区间

t t t 在对称轴 x= 2 的一侧,∴ 2 ≥2 或 2 ≤1,即]t≤2 或 t≥4。
2.求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域,即要求出原函数的值域。求反函数的表达式 的过程就是解(关于 x 的)方程的过程。注意:x=f-1(y)一定是唯一的。

y ? ln
函数

x ?1 , x ? ?1,?? ? x ?1 的反函数为

y?
(A)

e x ?1 ex ?1 e x ?1 ex ?1

, x ? ?0,???
(B)

y?

ex ?1 e x ?1 ex ?1 e x ?1

, x ? ?0,???

y?
(C)

, x ? ?? ?,0?
(D)

y?

, x ? ?? ?,0?

x ?1 2 x ?1 y ? ln ? ? x ? 1 , ?? x ? 1 ∈(0,+ ? ) 解析:∵ ,∴ x ? 1 =1+ x ? 1 >1(关注分离常数) ,∴

ex ?1 x ?1 x ?1 ey ?1 y? x , x ? ?0,??? y ? ln x? y x ? 1 得 x ? 1 = e y ,不难解出 e ?1 e ? 1 , x , y 互换后得 又由
(互换是“全面”的,表达式上换,定义域、值域也要换)故选 B。 3.原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;原函数与反函数的图象 关于 y=x 对称;若函数 y=f(x)的定义域为 A,值域为 C,a ? A,b ? C,f =b; f-1=a 已知函数
f ( x) ? 1 x ? a 的反函数

f

?1

( x) 的图象的对称中心是(0,2) ,则 a=____

解析:原函数 的反函数 f
?1

f ( x) ?

1 x ? a 是有反比例函数(奇函数)平移而来,其图象关于(a,0)对称,∴它

( x) 的图象应关于(0,a)对称,即 a=2

已知 f(x)=x2+2x+3,(x>-1),则 f-1(3)= 。 解析:此题不宜求反函数(麻烦) ,注意到 3 是反函数 y=f-1(x)的自变量,就是原函数 y=f(x)的 函数值,令 x2+2x+3=3,得 x=0 或 x=-2,又 x>-1,∴x=0,此即反函数的函数值 f-1(3)(原函数的 自变量) 。 已知 f(x)=2sinxcosx+2 3 cos2x- 3 ,x ? ,求 f-1(1)的值。 4.奇函数对定义域内的任意 x 满足 f(-x)+f(x)=0;偶函数对定义域内的任意 x 满足 f(-x)-f(x)=0;注意:
-1-

使用函数奇偶性的定义解题时,得到的是关于 x 的恒等式而不是方程。若函数 f(x)是奇函数或 偶函数,则 f(x)定义域必关于原点对称;反之,函数定义域不关于原点对称,该函数既非奇函 数也非偶函数。若 f(x)是奇函数且 f(0)存在,则 f(0)=0;反之不然。 函数 f(x)= loga|x-b|是偶函数的充要条件为 解析:思路一:函数 f(x)=loga|x-b|是由偶函数 y=loga|x|平移所得,∴函数 f(x)=loga|x-b|的图 象关于直线 x=b 对称,而它自身又是偶函数,图象又关于 y 轴(x=0)对称,∴b=0。 思路二:f(x)=loga|x-b|是偶函数则 loga|-x-b|= loga|x-b|恒成立,即|x+b|=|x-b|恒成立,∴b=0。

4x ? b x 设 f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函数,g(x)= 2 是奇函数,那么 a+b 的值为( )
1 C.- 2 1 D. 2

A.1

B.-1

5. 偶函数图象关于 y 轴对称,推广:函数 f(x)对定义域内的任意 x 都有 f(a-x)=f(a+x) ? 函数 f(x)的图象关于 x=a 对称,再推广: 函数 f(x)对定义域内的任意 x 都有 f(a+x)=f(b-x), ? f(x)的

a?b 图象关于 x= 2 对称。奇函数图象关于原点对称,关推广:函数 f(x)对定义域内的任意 x 都有
f(a-x)=-f(a+x) ? 函数 f(x)的图象关于(a,0)对称。注意:两个函数图象之间的对称问题不同 于函数自身的对称问题。函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 的对称曲线是函数 y=f(2a-x)的图象, 函数 y=f(x)的图象关于点( a ,0)的对称曲线是函数 y=-f(2a-x)的图象。 , 若函数 y=f(x-1)是偶函数,则 y=f(x)的图象关于 对称 解析:思路一:y=f(x-1)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,向左平移 1 个单位后得到函数 y=f(x) 的图象,对称轴也随之平移至 x=-1,即函数 y=f(x)的图象关于 x=-1 对称; 思路二: y=f(x-1)是偶函数, 则有 f(-x-1)=f(x-1),由轴对称的等价定义知函数 y=f(x)的图象关于 x=-1 对称。 若函数 f(x)=(x-a)3 满足 f(1+x)=-f(1-x),则 f(2)= . 解析:由 f(1+x)=-f(1-x)知,函数 y=f(x)的图象关于(1,0)对称,事实上函数 f(x)=(x-a)3 的图象 关于(a,0)对称,∴a=1,于是 f(x)=(x-1)3,f(2)=1。 函数 y=f(a+x)与函数 y=f(a-x)的图象 A.关于 y 轴对称 B.关于直线 x=a 对称 C.关于点 M(a,0)对称 D. 关于点 M(-a,0)对称 6. 若函数 f(x)满足:f(x+a)= f(x-a), 则 f(x)是以 2a 为周期的函数。注意:不要和对称性相混淆。 若 函 数 f(x) 满 足 : f(a+x)=-f(x)(a ≠ 0) , 则 f(x) 是 以 2a 为 周 期 的 函 数 。 类 似 的 条 件 还 有

f ( x ? a) ?

1 1 , f ( x ? a) ? ? f ( x) f ( x) 等。

2 已 知 函 数 y ? f ( x)(x ? R) 满 足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 且 当 x ? ?? 1,1? 时 , f ( x) ? x , 则

y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象的交点个数为
A、2 B、3 C、4



) D、5

-2-

解析: 由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 知函数

y 1 x -1 O 1 5 图 如

y ? f ( x) 的周期为 2,作出其图象
右,当 x=5 时,f(x)=1,log5x=1; 当 x>5 时,f(x)=1∈,

y ? log5 x 的 log5x>1, y ? f ( x) 与

象不再有交点,故选 C。 设奇函数 f(x)的定义域为 R,且对任意实数 x 满足 f(x+1)= -f(x),若当 x∈时, f(x)=2x-1,则

log 1 6
2 f( )= . 7.判断函数的单调性可用有关单调性的性质(如复合函数单调性的“同增异减”法则) ,研究 三次或三次以上的多项式函数的单调性多用导数;证明函数单调性只能用定义或导数,不能 用关于单调性的任何性质,用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解。记住并会证

y ? x?
明:函数

a , ( a ? 0) x 的单调性。了解单调性定义的变形:对区间内的任意 x,y 都有

f ( x) ? f ( y ) ?0 x? y ,则函数 f(x)在递增(小于 0 则递减) 。
y ? x?
证明函数

a , ( a ? 0) x 在(0, a ] 上递减,在 [

a , ? ? )上递增。

解析:记 f ( x) =

x?

a x ,思路一:用定义证明,任取 0< x1 < x2 ≤ a , f ( x1 ) ? f ( x2 )=

a a a a x1 - x2 + x1 - x 2 =( x1 - x2 )(1- x1 x 2 ),∵0< x1 < x2 ≤ a ,∴ 0 ? x1 x2 ? a , x1 x 2 >1, a a y ? x ? , ( a ? 0) xx x ∴( x1 - x2 )(1- 1 2 )>0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ),∴函数 在(0, a ] 上递减.
在[

a / 2 f ( x ) a , ? ? )上递增的证明留给读者自己完成。思路二:用导数, =1- x ,

a a / 2 2 若 x ∈(0, a ] ,则 x ≥1, f ( x) =1- x ≤0,∴函数 f ( x) 在(0, a ] 上递减. y ? x?
函数 A.a≥10

a ?1 , (a ? 1) x 在区间(0,3)上单调递减,则 a 的取值范围为
B.1<a≤10 C.a≥4 D.1<a<4

-3-

y ? x?
解析:函数

a ?1 , (a ? 1) x 在区间(0, a ? 1 ] 上递减,∴(0,3)是(0, a ? 1 ] 的

子集,即 3≤ a ? 1 ,∴ a ≥10。

x?a 求函数 f(x)= x ? b 在(-1, ? ? )单调递减的充要条件.
(如果把区间的左端变为“闭” ,结果如何?) 8.函数图象的几种变换:平移变换、伸缩变换遵循“图进标退”原理 :即曲线(函数图象)向 上(右)平移 m(m>0)个单位,则方程(表达式)中的 y(x)应变为 y-m(x-m); 曲线(函数图象)

x y 横(纵)坐标变为原来的 n 倍,则方程(表达式)中的 x(y)应变为 n ( n )。对称(翻折)变
换,如函数 y=f(-x)的图象是由 y=f(x)的图象沿 y 轴翻折得到,y=-f(x)的图象是由 y=f(x)的图象沿 x 轴翻折得到, y=|f(x)| 的图象是由 y=f(x)的图象保留 x 轴上方的部分并翻折 x 轴下方的部分得 到,y=f(|x|)是由 y=f(x)的图象保留 y 轴右侧的部分,擦去左侧部分并将右侧的部分沿 y 轴翻折

y?
得到。记住两个函数图象:y=|x-a|的图象是“V 字形” , “尖顶”是(a,0) ; 是由一个反比例函数平移(分离常数)而来。 奇函数 y=f(x) (x≠0 ) ,当 x∈(0,+∞)时,f (x)=x-1 ,则函数 f(x-1)的图象是( Y Y Y Y

ax ? b cx ? d 的图象


-1

O O
1 X -1 1X -1

O 1 X

O
2

X

A B C D 解析:函数 y=f(x)的图象为 C 图,将 y=f(x)的图象向右平移 1 个单位即得到函数 f(x-1)的图象, 故选 D。 函数 f(x)=sin2x+2cos2x 的图象向右平移 m 个单位后为偶函数,则最小正数 m 的值为 ___________ 使得函数 y=x2+a|x|有四个单调区间的 a 的取值范围 。

简答

?
4. D; 5. A,6.

1 a?b f ( x) ? 1 ? 2 , 7. x ? b ,当 a>b 时在( ? b,?? )上递减,∴ ? b ≤-1, 3 ? 8 ,满足条件的函数图象在 y 轴的右侧要“拐弯” ,

即 a>b≥1; 若变为“闭”则 a>b>1;8. 即对称轴在 y 轴的右侧,a<0

-4-



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