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浙江杭州四中2015届第3次月考(理)



杭州四中 2014 学年高三年级第三次月考

理科数学试题卷
命题人:沈 亚 审核人:李伟华 2014 年 11 月 考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题卷,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前,在答题卷密封区内,填写卡号、姓名、试场号、座位号。 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效。 4.考试结束,只上交答题卷。 一、选

择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | x | ? 2, x ? R } , B ? {x |

x ? 2, x ?Z } ,则 A ? B ?
D. {0,1,2}

A. (0,2)

B. [0,2] C. {0, 2} ? ? 2. sin(? ? ) ? cos( ? ? )是? ? ? 的 6 6
A. 充要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.设正项等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若 S2015

? 2015 ,则

1 1 的最小值为 ? a2 a2014
D.8

A.1

B.2

C.4

3 ,则 cos 2? ? 3 5 5 5 5 A. B. C. ? D. ? 3 9 3 9 1 ) ? 4, 则f (2014) 的值为 5.已知函数 f ( x) ? a log 2 x ? b log 3 x ? 2且f ( 2014
4.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 6.已知 AB ? BC ? 0 , AB ? 1 , BC ? 2 , AD ? DC ? 0 ,则 BD 的最大值为
A.

A.-4

B.-2

C.0

D.2

2 5 5

B. 2

C.

5

D. 2 5

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 7.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ? y ? ?1, ?
A. ? ?1,3? B. ?13,3

?

?

C. ??5,11?

D. ? ?1,11?

8. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,在( -∞ , a )上是增函数,且函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,当

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x1 ? a, x2 ? a ,且 x1 ? a ? x2 ? a 时,有
A. f (2a ? x1 ) ? f (2a ? x2 ) C. f (2a ? x1 ) ? f (2a ? x2 ) B. f (2a ? x1 ) ? f (2a ? x2 ) D. ? f (2a ? x1 ) ? f ( x2 ? 2a)
A

9. 如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2 ,甲同学在 ?ABC 中用余弦定理解得

AC ? 8 ? 8cos108? , 乙同学在 Rt ?ACH 中 解得 AC ?
cos 72? 的值所在区间为 A. (0.1, 0.2) B. (0.2, 0.3)
C. (0.3, 0.4)

1 , 据此 可得 cos 72?

B

E

D. (0.4, 0.5)

C

H

D

10.用 max(a1 , a2 ,?, an ) , min(a1 , a2 ,?, an ) 分别表示 a1 , a2 ,?, an 中的最大与最小者,有下列结论: ① max(a, b) ? max(c, d ) ? max(a ? b, c ? d , a ? c, b ? d ) ; ② min(a, b) ? min(c, d ) ? min(a ? c, a ? d , b ? c, b ? d ) ; ③若 max(a, b) ? max(c, d ) ,则 a ? c, b ? d ; ④若 min(a, b) ? min(c, d ) ,则 a ? c, b ? d .其中正确结论的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

非选择题部分 (共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? ______. 2 a4

12.已知 f ( x) ? lg(? x2 ? 8x ? 7) 在 (m, m ? 1) 上是增函数,则 m 的取值范围是______.
13. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

1 2 ? ? n ? 5n ,则数列 ? n ? 中数值最大的项是第______项. a 2 ? n ?

14 . 偶 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 2) = f ( x ) , 且 当 x ? [0, 1] 时 , f ( x) ? ? x ? 1 , 则 关 于

x 的方程

?1? . 3] 上解的个数是 f ( x) ? ? ? 在 x ?[?3, ?2? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 15.已知正△ABC 的边长为 1, CP ? 7CA ? 3CB , 则 CP ? AB =______.
16.将方程 x ? tan x ? 0 的正根从小到大地依次排列为 a1 , a2 ,?, an ,? , 给出以下不等式:① 0 ? an?1 ? an ?

x

?
2





?
2

? an?1 ? an ? ? ;③ 2an?1 ? an?2 ? an ;

④ 2an?1 ? an?2 ? an ;其中,正确的判断是______.(请写出正确的序号)

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17. 设 a , b 均 为大于 1 的自然 数 , 函 数 f ( x) ? a( b? sin x ),g (x ? , 若 存在实数 m, 使得 ) b ? cosx

f ( m) ? g ( m),则 a ? b ? ______.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) 设集合 A ? {x |

6 ? 1, x ? R} , B ? {x | x2 ? mx ? m2 ? 7 ? 0, x ? R, m ? R} , x ?1

x2 C ? { y | y ? 2 , x ? R} x ?1
(Ⅰ)若集合 A ? B ? (?1, 2) ,求 m 的值; (Ⅱ)若 C ? B ? B ,求 m 的取值范围.

19. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 3a sin B ? 5c , tan B ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 BC 边的中点为 D , AD ?

5 3 . 11

19 ,求 ?ABC 的面积. 2

20. (本题满分 14 分) 如图,点 P 是单位圆在第一象限上的任意一点,点 A(?1,0) ,点 B(0,?1) , PA 与

y 轴 于 点 N , PB 与 x 轴 交 于 点 M , 设

PO ? x PM ? y PN , ( x, y ? R) , P(cos? , sin ? ) .
(Ⅰ)求点 M 、点 N 的坐标,(用 ? 表示); (Ⅱ)求 x ? y 的取值范围.

y
P

N
A

O

M

x

B

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21. (本题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? 4x ? 2 满足对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有
2

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? . f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?
(Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)试讨论函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上的零点的个数; (Ⅲ)对于给定的实数 a ,有一个最小的负数 M ? a ? ,使得 x ? ? ? M ? a ? , 0? ? 时, ?4 ? f ? x ? ? 4 都成立, 则当 a 为何值时, M ? a ? 最小,并求出 M ? a ? 的最小值.

22.(本题满分 15 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N ? , a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等差数列,其公 差为 2 k . (Ⅰ)证明 a4 , a5 , a6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)记 Tn ?

?an ? 的通项公式;
3 22 32 n2 ? ? L ? .证明 ? 2n ? Tn ? 2 ? n ? 2 ? . 2 a2 a3 an

杭州四中 2014 学年高三年级第三次月考

理科数学试题卷
命题人:沈 亚 审核人:李伟华 2014 年 11 月 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1-10 DDBCC CDACB 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.15 12. 1 ? m ? 3 13.6 14.3 15.-2 16. ②④ 17.4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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18. (Ⅰ)易知 A ? (?1,5) .......................................................................................2 分 由题意知 2 是方程 x2 ? mx ? m2 ? 7 ? 0 的根,得 m ? 1或m ? ?3 ,...................................4 分 检验 m ? ?3 不满足, m ? 1 满足,所以 m ? 1 .......................................................................7 分 (Ⅱ)易知 C ? [0,1) ...................................................................................................................9 分 因 C ? B ,所以 ?

? f (0) ? 0 得 ? 7 ? m ? 2 …………………………………14 分 ? f (1) ? 0

5 3 5 3 ,得 sin B ? ,........................................................1 分 11 14 又 2 3a sin B ? 5c ,代入得 3a ? 7c , a c ? 由 ,得 3sin A ? 7 sin C ,............................................................3 分 sin A sin C 3sin A ? 7sin( A ? B) , 3sin A ? 7sin A cos B ? 7 cos A sin B ....................5 分 2? 得 tan A ? ? 3 , A ? .....................................................................................7 分 3 19 2 2 (Ⅱ) AB ? BD ? 2 AB ?BD cos B ? ,........................................................................9 分 4 7 7 11 19 c 2 ? ( c) 2 ? 2c? c? ? , c ? 3 ,则 a ? 7 ...............................................12 分 6 6 14 4
19. (Ⅰ)由 tan B ?

S?

1 1 5 3 15 3 ...................................................................................14 分 ac sin B ? ? 3? 7 ? 2 2 14 4

20. 解: (Ⅰ)因为 PA 与 y 轴交与于点 N ,可设 N (0, t ), 由 P 、 N 、 A 三点共线,设 AN ? ? AP , ? ? R ①

又 A(?1,0) , P(cos? , sin ? ) , 所 以 AN ? (1, t ) , AP ? (cos? ? 1, sin ? ) , 代 入 ①, 有

1 ? ? (cos? ? 1), t ? ? sin ? ,
因为点 P 是单位圆在第一象限上的任意一点,所以 cos? ? 0, sin ? ? 0, 且 0 ? ? ?

?
2

,

sin ? sin ? ), ,此时 N (0, 1 ? cos ? 1 ? cos ? cos ? ,0) …………….6 分 同理 M ( 1 ? sin ?
所以 t ? 说明:可以用直线方程或比例等其他方法求解 (Ⅱ)由(1)知 PO ? (? cos? ,? sin ? ) ,

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cos ? ? sin ? cos ? PM ? ( ? cos ? ,? sin ? ) ? ( ,? sin ? ) , 1 ? sin ? 1 ? sin ? sin ? ? sin ? cos ? PN ? (? cos ? , ? sin ? ) ? (? cos ? , ) , ……..8 分 1 ? cos ? 1 ? cos ?
代入 PO ? x PM ? y PN ,得:

sin ? cos ? x ? (? cos ? ) y ,整理得 sin ? ? x ? (1 ? sin ? ) y ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? sin ? cos ? ? sin ? ? ? sin ? ? x ? y , 整理得 (1 ? cos? ) x ? cos? ? y ? 1 ? cos? 1 ? cos ? ? cos ? ? ?
②+③,解得:

② ③

x? y ?

2 ? sin ? ? cos? 1 ? 1? ? 1? 1 ? sin ? ? cos? 1 ? sin ? ? cos?

1 1 ? 2 sin(? ? ) 4

?

, ……10 分

由0 ?? ? 所以 1 ?

?
2

,知

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 , 2 4

2 sin(? ?

?
4

) ? (2,1 ? 2 ] ,

即 x ? y ? [1 ?

1 3 ,1 ? ) ,故 x ? y 的取值范围为 [ 2 , ) ………..14 分 2 2 1? 2

1

21. 解: (Ⅰ)∵ f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?
2

ax 2 ? bx1 ? c ? ax2 2 ? bx2 ? c ?x ?x ? ?x ?x ? ? a? 1 2 ? ? b? 1 2 ? ? c ? 1 2 ? 2 ? ? 2 ?

??


a 2 ∴必有 a ? 0 , ∴实数 a 的取值范围是 (0,??) . ……..4 ? x1 ? x2 ? ? 0 , 又∵ x1 ? x2 , 4
,所以 ? ? 0 。 由 a ? 0 , f (1) ? a ? 2 ? 0

(Ⅱ) ? ? 16 ? 8a ,由(Ⅰ)知: a ? 0

① 当 0 ? a ? 6 时,总有 f (?1) ? 0 , f (0) ? ?2 <0 , f (1) ? 0 , 故 0 ? a ? 6 时, f ( x) 在 ?? 1,1?上有一个零点;

?a ? 0 ? 4 ? ?1 ?? 1 ? ? ②当 a ? 6 时, ? ,即 a ? 6 时, f ( x) 在 ?? 1,1? 上有两个零点; 2a ? f (1) ? a ? 4 ? 2 ? 0 ? ? ? f (?1) ? a ? 4 ? 2 ? 0
③当 a ? 6 时,有 f (?1) ? 0 , f (0) ? ?2 <0, f (1) ? 0 , 故 a ? 6 时, f ( x) 在 ?? 1,1? 上有两个
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零点。 综上: 0 ? a ? 6 时, f ( x) 在 ?? 1,1?上有一个零点; a ? 6 时, f ( x) 在 ?? 1,1? 上有两个零 点。………….8 分

2? 4 ? (Ⅲ)∵ f ? x ? ? ax ? 4 x ? 2 ? a ? x ? ? ? 2 ? , a? a ?
2

2

显然 f ? 0? ? ?2 ,对称轴 x ? ? ①当 ?2 ?

2 ?0. a

4 ? 2 ? ? ?4 ,即 0 ? a ? 2 时, M ? a ? ? ? ? , 0 ? ,且 f ? ? M ? a ?? ? ? ?4 . a ? a ?

令 ax 2 ? 4 x ? 2 ? ?4 ,解得 x ?

?2 ? 4 ? 2a , a

此时 M ? a ? 取较大的根,即 M ? a ? ? ∵ 0 ? a ? 2 ,∴ M ? a ? ? ②当 ?2 ?

?2 ? 4 ? 2a ?2 , ? a 4 ? 2a ? 2

?2 ? ?1 .…………11 分 4 ? 2a ? 2

4 2 ? ?4 ,即 a ? 2 时, M ? a ? ? ? ,且 f ? ? M ? a ?? ? ? 4. a a

2 令 ax ? 4 x ? 2 ? 4 ,解得 x ?

?2 ? 4 ? 6a , a

此时 M ? a ? 取较小的根,即 M ? a ? ? ∵ a ? 2 ,∴ M ? a ? ?

?2 ? 4 ? 6a ?6 , ? a 4 ? 6a ? 2

?6 ? ?3 . 当且仅当 a ? 2 时,取等号. 4 ? 6a ? 2

∵ ?3 ? ?1 ,∴当 a ? 2 时, M ? a ? 取得最小值-3. …………15 分 22. (Ⅰ)由题设可知, a2 ? a1 ? 2 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 , a5 ? a4 ? 4 ? 12 ,

a6 ? a5 ? 6 ? 18 ,所以
……………4 分

a6 a5 3 ? ? .因此 a4 , a5 , a6 成等比数列. a5 a4 2

(Ⅱ)由题设可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N ? . 所以 a2k ?1 ? a1 ? ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? a2k ?3 ? ? L ? a3 ? a1 ?

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= 4k ? 4 ? k ?1? ? L ? 4 ?1 ? 2k ? k ?1? .因为 a1 ? 0 ,所以 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? . ……6 分 从而由 a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 2 k 得 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 .

? n2 ? 1 , n ? 2k ? 1, ? ? 2 所以,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 2 ?n , n ? 2k , k ? N ? ?2

n2 ? ?1? ? 1 (或 an ? ? , n ? N? .………….8 分 2 4
n

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k 2 . k ? N ? 下面对 n 分为奇数和偶数讨论. (1) 当 n 为偶数时,设 n ? 2 m ? m ? N? ? . 若 m ? 1 ,则 2n ? 若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? k2 ? ? ? ? a2 k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?2 n 2 2

n k2 22 3 k2 ,满足 ? 4 ? ? 2 ? 2 n ? ?2; ? ? 2 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

??
k ?1

m

? 2k ?
2k 2

2

? 2k ? 1? ? m 2 ? m?1 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? ?? ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? k ? 2 2k ? k ? 1? k ?1 k ? 2 ? 2k ? k ? 1?
n 2

m?1 3 1 ? 1?1 1 ?? 1? 1? ? 2m ? ? ?2 ? ? ? ?? ? 2m ? 2 ? m ? 1? ? ?1 ? ? ? 2n ? 2 ? n . 2? m? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? n k2 3 1 3 k2 ,所以 ? ? ? 2 n ? ? 2 , n ? 4, 6,8,L .……11 分 ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

所以 2n ?

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1 ? m ? N? ? .

k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? ? 2m ? 1? ? 4m ? 1 ? 1 ? 2n ? 3 ? 1 3 1 ?? ? ? 4m ? ? ? . ? a2 m ?1 2 n ?1 2 2m 2m ? m ? 1? 2 2 ? m ? 1? k ? 2 ak k ? 2 ak
n 2
2

所以 2n ?

n k2 3 1 3 k2 ,所以 ? ? ? 2 n ? ? 2 , n ? 3,5, 7,L . ? ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 .………15 分 2 k ? 2 ak

由(1),(2)可知,对任意 n ? 2 ,

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