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2015-2016学年高中数学 2.3数学归纳法教案 新人教A版选修2-2



【优化设计】2015-2016 学年高中数学 2.3 数学归纳法教案 新人教 A 版 选修 2-2 教学建议 1.教材分析 数学归纳法是一种直接证明的方法,仅适用于与正整数有关的数学命题的证明.本节通过类比 多米诺骨牌游戏,得出数学归纳法的两个步骤,然后通过两个例题介绍数学归纳法的应用. 重点:数学归纳法的原理及应用. 难点:数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系. 2.主要问题及教学建议 (1)关于数学归纳法所证结论的正确性. 建议教师就归纳推理的几种情形介绍一下. 不完全归纳:只考察了部分对象,结论不一定正确. 完全归纳(枚举法):考察了问题所涉及的所有对象,结论一定正确. 数学归纳法:通过有限个步骤的推理,证明了 n 取无限多个正整数时的情形,本质上相当于完全 归纳,结论是正确的. (2)对于假设的使用. 建议教师通过具体例子,说明证明过程中不用假设也能证出某些题目,但不是数学归纳法证明, 也 就不必再按数学归纳法的 步骤进行. 备选习题 n 1.证明:如果 x 是实数,且 x>-1,x≠0,n 为大于 1 的自然数,那么(1+x) >1+nx. 2 2 证明:(1)当 n=2 时,左边=(1+x) =1+2x+x ,右边=1+2x,因为 x≠0,所以不等式成立. k (2)假设当 n=k 时不等式成立,即(1+x) >1+kx. 那么当 n=k+1 时, k+1 k 左边=(1+x) =(1+x) (1+x), k 因为 x>-1,所以(1+x) (1+x)>(1+kx)(1+x) 2 =1+(k+1)x+kx >1+(k+1)x. 所以当 n=k+1 时,不等式成立. 由(1)(2)及数学归纳法可知所证不等式成立. 2n-1 * 2.用数学归纳法证明 6 +1(n∈N ) 能被 7 整除. 2-1 证明:(1)当 n=1 时,6 +1=7,能被 7 整除. * 2k-1 (2)假设当 n=k(k∈N ,k≥1)时,6 +1 能被 7 整除. 2(k+1)-1 那么当 n=k+1 时,6 +1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35. 2k-1 ∵6 +1 能被 7 整除,35 也能被 7 整除, ∴当 n=k+1 时,62(k+1)-1+1 能被 7 整除. 由(1)(2)知命题成立. n 2 * 3.试比较 2 与 n (n≥5,n∈N )的大小. 5 2 n 2 解:当 n=5 时,2 >5 ,即 2 >n . 6 2 n 2 当 n=6 时,2 >6 ,即 2 >n ;…… * n 2 猜想:当 n≥5,n∈N 时,2 >n . 下面用数学归纳法证明猜想成立: (1)当 n=5 时,猜想成立. * k 2 (2)假设当 n=k(k≥5,k∈N )时猜想成 立,即 2 >k ,那么,当 n=k+1 k+1 k 2 2 2 2 2 时,2 =2×2 >2k =k +k >k +(2k+1)=(k+1) ,即当 n=k+1 也成立. n 2 * 根据(1)和(2),可知当 n≥5 时,2 >n 对任何 n∈N 都成立(n≥5).


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