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2005上交自主招生数学



一、填空题 1.已知方程 x ? px ?
2

1 4 4 =0( p ? R )的两根 x1 , x2 满足 x1 ? x2 ? 2 ? 2 ,则 p= 2 p2

.

2.设 sin 8 x ? cos8 x ?

41 ? ?? , x ? ? 0, ? ,则 x= 128 ? 2

?
n ?1

.

? 1? 3.已知 n ? Z , 且 ?1 ? ? ? n?

1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2004 ?

2004

,则 n=

.

4.如图,将 3 个 12cm× 12cm 的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分,将这 6 部分接在一个边长为 6 2 的正六边形上,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图.则该多面体的体积为 .

5.已知 2 3 ? 3 ?

3x ?

3 y , x, y ? Q, 则(x,y)=
n ?1

. .

2 2 2 2 6.化简: 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? ? ?1?

? 2n ?

2

= .

7.若 z =1,且 z ?C,则 z +2 z +2z+20=
3 3 2

8.一只蚂蚁沿 l× 2× 3 长方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 . 9. 4 封不同的信放人 4 个写好地址的信封中,全装错的概率为 ,恰好只有一封信装错的率为 10.已知等差数列{an}中,a3+a7+a11+a19=44,则 a5+a9+a16= 二、解答题 11.已知方程 x3+ax2+bx+c=0 的三根分别为 a、b、c,且 a、b、c 是不全为零的有理数,求 a、b、c 的值. 12.是否存在三边为连续自然数的三角形,使得(l)最大角是最小角的两倍?(2)最大角是最小角的三倍? 若存在,分别求出该三角形;若不存在,请说明理由. 13.已知函数 y=

ax 2 ? 8x ? b 的最大值为 9,最小值为 1.求实数 a、b 的值 x2 ? 1

14.已知月利率为 y,采用等额还款方式,若本金为 1 万元,试推导每月等额还款金额 m 关于 y 的函数关系式(假 设贷款时间为 2 年). 15. 对于数列 ?an ? :1,3,3,3,5,5,5,5,5,?, 即正奇数 k 有 k 个,是否存在整数 r, s, t, 使得对于任意正整数 n, 都 有 an ? r[ n ? s ] ? t 恒成立([x]表示不超过 x 的最大整数)?

##Answer## 1.【简解】 x14 ? x24 = ( x12 ? x22 )2 ? 2x12 x22 = [( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ]2 ? 2( x1x2 )2 = [(? p) ? 2 ? (?
2

1 2 1 1 1 )] ? 2 ? (? 2 )2 = p 4 ? 2 ? 4 ≤2+ 2 ? p 4 ? 4 ≤ 2 2 2p 2p 2p 2p
1

2 ? 1 1 4 2 p 8 2 又p ? ≥ 2 = ,故只能等号成立 p= p ? 2 p ? ? 2 p4 2 p4 2
4

2.【简解】 sin x ? cos x = (sin 4 x ? cos4 x)2 ? 2sin 4 x cos4 x
8 8

= [(sin 2 x ? cos2 x)2 ? 2sin 2 x cos2 x]2 ? 2sin 4 x cos4 x = (1 ? 2sin 2 x cos2 x)2 ? 2sin 4 x cos4 x = 1 ? 4sin x cos x ? 2sin x cos x
2 2 4 4

=1- sin 2 x ? sin 2 x =
2 4

故填

? ? 或 6 3

1 8

41 3 ? 2 2 ,解得 sin 2 x = ,2x∈(0,π ),2x= 或 ? 128 4 3 3

3.【简解】 (1 ?

1 n ?1 n ? 1 n ?1 n ? ( n ?1) 1 ? ( n ?1) 1 2004 ) =( ) =( ) ) ) ,-(n+1)=2004,n=-2005 = (1 ? = (1 ? n n n ?1 n ?1 2004

4.【简解】几何体如图,可以看做一个大三棱锥-3 个小三棱锥,体积为 864

(另法)棱长为 12 的正方体体积的 1/2,结果 864 5.【简解】两边同除以 3 得到 2- 3 =
4

x ? y ,故(x,y)=(4,3)

6.【简解】n 为偶数时,原式=(2-4)(2+4)+(6-8)(6+8)+…+(-2)(4n-2) =-2(6+14+…+4n-2)=-2×

6 ? 4n ? 2 n ? =-2 n2 +2n 2 2

n 为奇数时,原式=4+(6-4)(6+4)+(10-8)(10+8)+……+2(4n-2) =4+2×

10 ? 4n ? 2 n ? 1 2 ? =2 n +2n 2 2
n ?1

总之,填 2 ? (?1)
3

n2 ? 2n
2 z3 +2z+20=21+ +2z=21+2( z +z)=21-2=19 z z

7.【简解】 z +2 z +2z+20=1+2

2

8.3 2 9.

81 3 , 256 64

10.33

11.【简解】x3+ax2+bx+c=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc,故

? a ? b ? c ? ?2 a ? ? ab ? bc ? ca ? b , ? abc ? ?c ?
c=0 时 a=1,b=-2 c≠0 时,ab=-1,代入得到 a=1,b=-1,c=-3 总之

?a ? 1 ?a ? 1 ? ? ?b ? ? 2 或 ?b ? ? 1 ?c ? 0 ? c ? ?3 ? ?
12. 【解析】设三边长为 n,n+1,n+2,最大角为 C,最小角为 A,则

sin C n ? 2 = , sin A n

cosA=

n?5 (n ? 2)2 ? (n ? 1)2 ? n2 = 2(n ? 2) 2(n ? 2)(n ? 1)
sin C n?5 n?2 =2cosA= = ,n=4,故存在三边长为 4,5,6 的三角形,最大角是最小角的 2 倍 sin A n?2 n

⑴C=2A 时,

sin C (n ? 5)2 n ? 2 2 ⑵C=3A 时, =3-4 cos A =3= ? n3 ? 4n2 ? 25n ? 8 ? 0 2 sin A n (n ? 2)
3 2 设 f ( x ) = x ? 4 x ? 25 x ? 8 , f ?( x) ? 3x2 -8x-25 在 x≥5 时 f ?( x ) >0,0<x≤4 时 f ?( x ) <0

故 f ( x ) 在 x≥5 上单调增,在 0<x≤4 上单调减,又 f(4)<0 ,f(8)<0

n3 ? 4n2 ? 25n ? 8 ? 0 无正整数解,故这样的三角形不存在
13.【简解】去分母整理得到 ( y ? a) x2 ? 8x ? y ? b ? 0 △=64-4(y-a)(y-b)≥0 ? y 2 -(a+b)y+ab-16≤0,其解为 1≤y≤9 1,9 是 y 2 -(a+b)y+ab-16=0 的两个解, ? a,b 是 t -10t+25=0 的两个解,a=b=5 14.【简解】m+m(1+y)+m(1+y)2+…+m(1+y)23=1(1+y)24,于是 m
2

?10 ? a ? b ?9 ? ab ? 16 ? ab ? 25

(1 ? y)24 ? 1 ? (1 ? y)24 (1 ? y) ? 1

y(1 ? y)24 m= (1 ? y)24 ? 1
15.【简解】对 n=1,2,3 时,可以看出 s=-1,t=1,r=2,对任意 n, an =2 [ ?1 ? n ] +1 故存在 s=-1,t=1,r=2 满足条件



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