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高一数学 函数单调性与最值(含解析)



函数单调性
引入
对于二次函数 = 2 ,我们可以这样描述“在区间(0,+∞)上,随着的增大,相应的 也随 2 2 着增大” ; 在区间 (0, +∞) 上, 任取两个1 , 2 , 得到 1 = 1 , 2 = 2 , 当1 < 2 时, 有 1 < 2 .这 2 时,我们就说函数 = 在区间(0,+∞)上是增函数.

一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义
一般地,设函数 的定义域为 : 如果对于定义域 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值1 ,2 ,当1 < 2 时,都有 1 < 2 , 那么就说函数在区间 D 上是增函数(increasing function) 如果对于定义域 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值1 ,2 ,当1 < 2 时,都有 1 > 2 , 那么就说函数在区间 D 上是减函数(decreasing function). 【例 1】下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- 1 x+1 D.f(x)=-|x|

3? 3 ? 【解析】 选 C 当 x>0 时, f(x)=3-x 为减函数; 当 x∈? f(x)=x2-3x 为减函数, 当 x∈? ?0,2?时, ?2,+∞? 1 时,f(x)=x2-3x 为增函数;当 x∈(0,+∞)时,f(x)=- 为增函数;当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为 x+1 减函数.故选 C. -2x 【例 2】判断函数 g(x)= 在(1,+∞)上的单调性. x-1 【解】任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,则 g(x1)-g(x2)= -2x1 -2x2 2?x1-x2? - = , x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1?

因为 1<x1<x2,所以 x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0,因此 g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 故 g(x)在(1,+∞)上是增函数. 【例 3】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x2+2x-3|; (3)y=-x2+2|x|+1.

?3x, x≥0, ? 【解】(1)∵f(x)=3|x|=? 图象如图所示. ? ?-3x, x<0.

f(x)在(-∞,0]上是减函数, 在[0,+∞)上是增函数. (2)令 g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出 g(x)的图象,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分,把它在 x 的图象翻到 x 轴上方就得到 f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示. 轴下方

由图象易得:函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞); 函数的递减区间是(-∞,-3],[-1,1]. 2 2 ? ? ?-x +2x+1,x≥0, ?-?x-1? +2,x≥0, ? ? (3)由于 y= 即 y= 2 2 ?-x -2x+1,x<0, ?-?x+1? +2,x<0. ? ? 画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1], 单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). 【例 4】求函数 y= x2+x-6的单调区间. 【解】令 u=x2+x-6,y= x2+x-6可以看作有 y= u与 u=x2+x-6 的复合函数. 由 u=x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2. ∵u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数, 而 y= u在(0,+∞)上是增函数. ∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞). 【例 5】证明:函数 = 3 + 在 R 上是增函数

【变式 1】利用函数单调性的定义,证明函数 = 在区间 0, +∞ 上是增函数。

【例 6】讨论函数 = +



> 0 的单调性,请作出当 a=1 时函数的图像。

【变式 2】讨论 =

2 ?1

?1 < < 1, ≠ 0 的单调性

2、函数的单调区间
如果函数 = 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 = 在这一区间具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 = 的单调区间. (1)区间端点的确认 函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点处的单调性没有意义。因此,书写函 数的单调区间时,若函数在区间端点处有意义,既可以写成闭区间,也可以写成开区间;若函数在区间端 点处无意义,则必须写成开区间。

(2)多个单调区间的写法 当同增(减)单调区间有多个时,区间之间不一定能写成并集。 【注意】一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“, ”连 接。

【例 7】求下列函数的单调区间: (1) = + 1 + ? 2 ; (2) = ? 2 + 2 + 3

【变式 3】 (1)作出函数 = 2 ? 6 + 9 + 2 + 6 + 9的图像,并指出函数 的单调区间 (2)求函数 = ? 2 + 4 + 5 的单调区间。

【例 8】求解下列问题: (1)求函数 =
1? 1+

的单调区间
1

(2)求函数 = 1 ?

3 ?2? 2

的单调区间

【练习 1】 1、设函数 f ( x ) 为定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ) 在 [0, ??) 为减函数,则 f (?2), f (?? ), f (3) 的大小顺 序 2、 y ? f ( x) 在(0,2)上是增函数, y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则 f ( ), f ( ), f ( ) 的大小关系 3、判断正误 (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( (2)函数 f(x)为 R 上的减函数,则 f(-3)>f(3)( ) ) )

1 2

5 2

7 2

(3)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”(

1 (4)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)( x

) )

(5)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞)( 4.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=x2-2x(x∈[2,4])的增区间为________.

5.若函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 k 的取值范围是________.

二、函数最值 1、函数最值定义
一般地,设函数 = 的定义域为,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 ∈ ,都有 ≤ (2)存在0 ∈ ,使得 0 = 那么,我么称 M 是函数 = 的最大值(maximum value) 请你模仿函数最大值的定义,给出函数 = 的最小值(minimum value)的定义。

1 ? ?x,x≥1, 【例 9】函数 f(x)=? 的最大值为________. 2 ? ?-x +2,x<1 1 【解析】当 x≥1 时,函数 f(x)= 为减函数,所以 f(x)在 x=1 处取得最大值,为 f(1)=1;当 x<1 时, x 易知函数 f(x)=-x2+2 在 x=0 处取得最大值,为 f(0)=2. 故函数 f(x)的最大值为 2.
1 1

【例 10】函数 = ?1在区间 , ( > 1)上的最大值是 1,最小值是3,则 + =

1

【变式 4】函数 =

? + 2, < 1

2

, ≥ 1

的最大值为

【例 11】写出函数 = 3 2 + 2 + 1的单调区间,并求其最值。

【练习 2】 1.判断正误 (1)所有的单调函数都有最值( ) )

1 1 (2)函数 y= 在[1,3]上的最小值为 ( x 3

2 2.(人教 A 版教材例题改编)已知函数 f(x)= (x∈[2,6]),则函数的最大值为________. x-1

2、二次函数的单调性与最值
【例 12】若函数 = 2 + 2 ? 1 + 2的单调区间是 ?∞, 4 ,则实数 a 的取值范围是

【变式 5】若函数 = 2 + 2 ? 1 + 2在区间 ?∞, 4 上单调递减,则实数 a 的取值范围是

【例 13】已知二次函数 = 2 ? 2 + 3 (1)当 ∈ ?2,0 时,求 的最值 (2)当 ∈ ?2,3 时,求 的最值 (3)当 ∈ , + 1 时,求 的最小值

【变式 6】设函数 = 2 ? 2 + 2, ∈ , + 1 , ∈ ,求函数 的最小值。

三、小结
1、设 x1,x2∈[a,b],如果 [a,b]上是单调递减函数. 2、确定单调性的方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再取值—作差—变形—确定符号—下结论. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. 3、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具 体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数单调区间,与已知单调区间比较求参数; ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值. f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? >0,则 f(x)在[a,b]上是单调递增函数,如果 <0,则 f(x)在 x1-x2 x1-x2

四、课后练习
一、选择题 1.下列说法中正确的有( )

①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数;②函数 y=x2 在 R 上是增函数; 1 1 ③函数 y=- 在定义域上是增函数;④y= 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞). x x A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

【解析】选 A 函数的单调性的定义是指定义在区间 I 上任意两个值 x1,x2,强调的是任意,从而①不

1 对;②y=x2 在 x≥0 时是增函数,x<0 时是减函数,从而 y=x2 在整个定义域上不具有单调性;③y=- 在 x 1 整个定义域内不是单调递增函数,如-3<5 而 f(-3)>f(5);④y= 的单调递减区间不是(-∞,0)∪(0,+ x ∞),而是(-∞,0)和(0,+∞),注意写法. 2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A.[1,2] C.[0,2] ) B.[-1,0] D.[2,+∞)

?x2-2x,x≥2, ? 【解析】选 A 由于 f(x)=|x-2|x=? 2 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. ? ?-x +2x,x<2.

3. (2015· 黑龙江牡丹江月考)设函数 f(x)定义在实数集上, 它的图象关于直线 x=1 对称, 且当 x≥1 时, f(x)=3x-1,则( ) 2? ?3? ?1? B.f? ?3?<f?2?<f?3? 3? ?2? ?1? D.f? ?2?<f?3?<f?3?

1? ?3? ?2? A.f? ?3?<f?2?<f?3? 2? ?1? ?3? C.f? ?3?<f?3?<f?2?

【解析】选 B 由题设知,当 x<1 时,f(x)单调递减,当 x≥1 时,f(x)单调递增,而 x=1 为对称轴, 3? ? 1? ? 1? ?1? 1 1 2 ?1? ?1? ?2? ?1? ?3? ?2? ∴f? ?2?=f?1+2?=f?1-2?=f?2?,又3<2<3<1,∴f?3?>f?2?>f?3?,即 f?3?>f?2?>f?3?. 4.?创新题?定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕ x),x∈[-2,2]的最大值等于( A.-1 C.6 ) B.1 D.12

【解析】选 C 由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2,当 1<x≤2 时,f(x)=x3-2.∵f(x)=x-2,f(x) =x3-2 在定义域内都为增函数.∴f(x)的最大值为 f(2)=23-2=6. 5.函数 y=|x-3|-|x+1|的( A.最小值是 0,最大值是 4 C.最小值是-4,最大值是 4 ) B.最小值是-4,最大值是 0 D.没有最大值也没有最小值

-4 ?x≥3? ? ? 【解析】选 C y=|x-3|-|x+1|=?-2x+2 ?-1≤x<3? 作出图象可求. ? ?4 ?x<-1? 6.(2015· 长春调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(-x)=0,且在(-∞,0)上单调递增,如果 x1+x2<0 且 x1x2<0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.可能为 0 C.恒小于 0 ) B.恒大于 0 D.可正可负

【解析】选 C 由 x1x2<0 不妨设 x1<0,x2>0. ∵x1+x2<0,∴x1<-x2<0. 由 f(x)+f(-x)=0 知 f(x)为奇 函数.又由 f(x)在(-∞,0)上单调递增得,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),所以 f(x1)+f(x2)<0.故选 C. 二、填空题

?1?? 7.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 f? ??x??<f(1),则实数 x 的取值范围是________. ?1?? ?1? 【解析】由题意知 f(x)为 R 上的减函数且 f? ??x??<f(1);则?x?>1,即|x|<1,且 x≠0.故-1<x<1 且 x≠0.
8.已知函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1,2]上具有单调性,则实数 a 的取值范围为________________. 【解析】函数 f(x)=x2-2ax-3 的图象开口向上,对称轴为直线 x=a, 画出草图如图所示. 由图象可知,函数在(-∞,a]和[a,+∞)上都具有单调性, 因此要使函数 f(x)在区间[1,2]上具有单调性, 只需 a≤1 或 a≥2,从而 a∈(-∞,1]∪[2,+∞).答案:(-∞,1]∪[2,+∞) 1,x>0, ? ? 9.设函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0,
2

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是________.

x ,x>1, ? ? 【解析】由题意知 g(x)=?0,x=1, ? ?-x2,x<1.

函数图象如图所示,其递减区间是 [0,1).

ax+1 10.设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是________. x+2a ax+2a2-2a2+1 2a2-1 【解析】f(x)= =a- ,∵函数 f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数. x+2a x+2a
?2a2-1>0, ?2a2-1>0, ? ? ∴? ?? ?a≥1.答案 ?-2a≤-2 ? ? ?a≥1

[1,+∞)

三、解答题 x1? 11.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0.
2

(1)求 f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 【解】(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0, x2 x1? 所以 f? ?x ?<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2),
2

所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). x1? ?9? 由 f? ?x ?=f(x1)-f(x2)得,f?3?=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2.
2

∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

2 12.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 【证明】(1)设 x1>x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵当 x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.

13.函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2. 【解】(1)设 x1<x2,∴x2-x1>0,∵当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数. (2)∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1?f(2)=2f(1)-1, f(3)=4?f(2+1)=4?f(2)+f(1)-1=4?3f(1)-2=4, ∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1), ∵f(x)在 R 上为增函数,∴a2+a-5<1?-3<a<2,即 a∈(-3,2).



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