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高中奥林匹克物理竞赛解题方法之八作图法



高中奥林匹克物理竞赛解题方法之八作图法 Page1
例1 如图 8—1 所示,细绳跨过定滑轮,系住一个质量为 m 的球,球靠在光滑竖直墙上,当拉动 ) 细绳使球匀速上升时,球对墙的压力将( A.增大 C.减小 解析

B.先增大后减小 D.先减小后增大

球在三个力的作用下处于平衡,如图 8—1—甲所示.当球上升时,θ 角增大,可

用动态的三角形定性

分析,作出圆球的受力图(如图 8—1—甲).从图可见,当球上升时,θ 角增大,墙对球的支持力增大,从而球对 墙的压力也增大. 故选 A 正确. 例2 用两根绳子系住一重物,如图 8—2 所示.绳 OA 与天花板间夹角θ 不变,

当用手拉住绳子 OB,使绳 OB 由水平方向转向竖直方向的过程中,OB 绳所受的拉力 将( ) A.始终减小 C.先减小后增大 解析 B.始终增大 D.先增大后减小

因物体所受重力的大小、方向始终不变,绳 OA 拉力的方向始终不变,又因为物体始终处于平

衡状态,所受的力必然构成一个三角形,如图 8—2—甲所示,由图可知 OB 绳受的拉力是先减小后增大. 可 知答案选 C 例 3 如图 8—3 所示,质量为 m 的小球 A 用细绳拴在天花板上,悬点为 O,小球靠在光滑的大球上, 处于静止状态.已知:大球的球心 O′在悬点的正下方,其中绳长为 l,大球的半径为 R,悬点到大球最高点的距离 为 h.求对小球的拉力 T 和小球对大球的压力. 解析 力的三角形图和几何三角形有联系,若两个三角形相似,则可以将力的三角形与几何三角形联系

起来,通过边边对应成比例求解.以小球为研究对象,进行受力分析,如图 8—3—甲所示,小球受重力 mg、 绳的拉力 T、大球的支持力 FN,其中重力 mg 与拉力 T 的合力与支持力 FN 平衡.观察图中的特点,可以看出 力的矢量三角形 ABC 与几何三角形 AOO′相似,即:

T mg ? l h?R
所以绳的拉力:T=

FN mg ? R h?R
l mg h?R ? FN ? R mg h?R

? 小球对大球的压力 FN
例4

如图 8—4 所示,质点自倾角为α 的斜面上方定点 O 沿光滑的斜槽从静止开始下滑,

为使质点在最短时间内从 O 点到达斜面,斜槽与竖直方向的夹角β 应等于多少? 解析 如图 8—4—甲所示,以经过 O 点的竖直线上的一点 O′为圆心,OO′为半径作圆,

并使该圆与斜面恰好相切于 A 点,与 OO′延长线交于 B 点.已知从 O 点由静止出发沿倾角不同 的光滑斜面下滑的质点,到达圆周上不同点所需时间相等,显然,质点沿 OA 方向从静止开始滑 到斜面上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短. 连接 O′A,由几何关系得:∠AO′B=α 所以所用时间最短时,斜槽与竖直方向的夹角β =α /2 所题也可用极限法求解,读者可试试.

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例5 一条小河,河水以 v1=5m./s 的速度匀速流动,一条小船在静水中的速度为 v2=4m/s.欲使小船渡河的航 程最短,小船的船头应指向何方向? 解析 若 v1< v2,可垂直渡河,船程最短.但本题 v1> v2,小船就不能垂直渡河.但欲使航程最短,则应使合速

度方向与河岸夹角最大. 根据矢量合成的三角形法,v1、v2、v 合 ,构成封闭三角形,作图如 8—5 所示,作有向线段 OA 表示河水流 速 v1,以表示 v2 的有向长度为半径,以 A 为圆心画圆,过 O 该圆的切线,切点为 B,作有向线段 AB,有向线段 AB 的方向就是所求的方向.由直角三角形 AOB,得: cos?

?

v2 4 ,所以θ =37° ? v1 5

即小船的船头应指向上游并沿与上游的河岸成 37°角的方向. 例6 一木箱重为 G,与地面动摩擦因数为μ ,现用斜向上的力 F 拉木箱使之沿水平地面

匀速前进,如图 8—6 所示. 求拉力 F 与水平方向夹角为何值时拉力最小?这个最小值多大? 解析 木箱受重力 G、弹力 N、摩擦力 f 及拉力 F 四个力的作用,但此题也可以把木箱看做

只受三个力作用,即重力 G、拉力 F 和摩擦力 f 与支持力 N 的合力 F′,设 F′与 N 的夹角 为 ? ,则 tan ?

?

f ? ? ,再应用矢量三角形求解 N

木箱受力情况如图 8—6—甲所示,已知 G 的大小和方向,F′的方向,显然,要使封闭的矢 量三角形中 F 值最小,只有由 G 的端点作 F′的作用线的垂线时,F 值最小,如图 8—6—乙所示, 此时 F 的最小值为 Fmin=Gsin( ? ) 其中 ? 例7

? arctan ? ,所以最小的拉力 F 与水平方向的夹角为 ? ? ? ? arctan ? .
y 轴上

如图 8—7 所示,一带电质点,质量为 m,电量为 q,以平行于 Ox 轴的速度 v 从

的 a 点射入图中第一象限所示的区域,为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v 射 出,可在适当的地方加一个垂直于 xy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形 区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计. 解析 当带电质点以垂直于磁场方向的速度 v 进入磁场,在磁场中将做匀速圆周运动,由此要从

a 点进入从 b 点射出其圆轨道为
1 4

1 4

圆弧,因而可用作图法求解.

过 a 点作平行 Ox 轴的直线,过 b 作平行 Oy 的直线,两直线相交于 c 点,如图 8—7—甲所示, 可见只要能保证带电质点的 圆轨道处在匀强磁场中,即可使带电质点从 b 点射出,由此可知,磁

场区域有一最小值,其最小半径为

v2 由 Bqv ? m 可得粒子在磁场中的偏转半径为 r ? m v r Bq

1 4

圆形轨道两个端点连线的一半,即:

所加磁场的最小半径为 R

?

2 2 mv r? 2 2 qB

例 8 图 8—8 中 AB 表示一横放的平面镜,P1P2 是水平放置的米尺(有刻度的一面朝 着平面镜) ,MN 是屏,三者互相平行,屏 MN 上的 ab 表示一条直缝(即 a、b 之间是透光 的).某人眼睛紧贴米尺上的小孔 S(其位置见图) ,可通过平面镜看到 米尺上的一部分刻度.试在本题的图上用三角板作图求出可看到

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的部分,并在 P1P2 上把这部分涂以标志 解析 根据物像位置镜面对称可知:人眼通过平面镜看到的米尺刻度范围,好像人眼在平面镜中的像直接去

看刻度范围,不过要受到挡板 MN 的像 M′N′的阻挡,所以先将眼睛在平面 镜中成像点 S′作出,再作出挡板 MN 在平面镜中的像 M′N′,如图 8—8—甲,其中 a ?b ? 是挡板上的缝 ab 在平面镜中的像,连接 S ?a ? 并延长交 AB、P1P2 于 c 、 d 两点,再作 S ? 和 b 的连线交 AB 于 E 点,并延 长后交 P1P2 于 F 点,则 dF 即为人眼通过平面镜和挡板后能看到的 刻度范围. 例9 光线透过空气中的平行平面厚玻璃板,问下图 9—9 所示

四种情形中哪一种是正确的? 解析 根据光的折射定律,光由光疏介质进入光密介质时,光

线要向着法线的方向偏析,相反时,向远离法线的方向偏折,且在传播中光路是可逆的. 由上分析可知, (2)图是正确的. 例 10 某人通过焦距为 10cm,直径为 4.0cm 的薄凸透镜观看方格纸,每个方格的边长为 0.3cm. 他使透镜的 主轴与方格纸垂直 AB, 透镜与纸面相距 10cm, 眼睛位于透镜主轴上离透镜 5.0cm 处. 问他至多能看到同一行上几 个完整的方可格? 解析 可以用光路的可逆性来做,若在 S 点放一点光源,则成像于 S′点,能照亮方格

纸上一定面积,其直径为 x ,如图 8—10 所示,根据光路的可逆性,来自面积 x 上的方格的 光经透镜折射后都能进入人眼,即能被人看到,由 1 ? 1 ? 1 可得 P ?

p

p?

? ?10cm ,由相似

f

三角形对应边成比例得 x ? 20 , 所以 x

d

10

? 8cm , n ?

x 8 ? ? 26 ,即最多能看到同一行 l 0.3

上 26 个完整的方格. 例 11 凸透镜 L1 与凹透镜 L2 同轴放置,L1 左侧媒质的折射率 n ,L2 右侧媒质的折射 率也是 n ,两透镜之间的价质折射率为 n 0,且 n < n 0.F1 是 L1 的物方焦点,F2 是 L2 的物方焦 点, F2? 是 L2 的像方焦点. 有一物点 S 位于 L1 的物方焦平面上,如图 8—11 所示.

(1)画出成像光路图,求出像点 S1 的位置.简述作图的依据; (2)若 L1 的物方焦距 F1=20 厘米,L2 的物方焦距 F2=10 厘米,物点 S 离光轴的距离为 2 厘米,问像点 S1 离光轴的距离为多少? 解析 放于焦平面上的点光源发出的光经凸透镜折射后平行于副光轴,平行于副光轴的平行光经凹透镜发散

后,反向延长线将交一凹透镜的副焦点,光路图如图 8—11—甲所示. (1)作法:①过 S 作过光心 O 点的光线,传播方向不改变. ②过 O′点作平行于 SO 的辅助线及过 F2 作垂 直于主轴的直线(焦平面) ,两线相交于 S1(副焦点).平行于副光轴的光线,经凹透镜折射后,折射线的反向延 长线将通过 S1 点,即 S1 为所求的像点.

(2)由图可知:

SF1 S1 F2

?

f1 f2

可以 S1 F2

? 1cm

即 S1 离主光轴的距离为 1cm.

针对训练
1.如图 8—13 所示,一个重为 G 的匀质球,放在光滑的斜面上,斜面倾角为α ,在斜面上有一光滑的斜木板挡住 球处于静止状态.如果挡板与斜面间的夹角β 缓慢增大到挡板呈水平状态, 此过程中挡板对球的弹力 N1 和斜面对

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球的弹力 N2 如何变化? 2.一重为 G 的物块放在倾角为α 的斜面上,物块与斜面间的摩擦因数 为μ ,今在物块上的作用力为 F,F 可与斜面成任意夹角,如图 8 —14 所示, 求拉动物块沿斜面上升所需力 F 的最小值及对应的θ 角. 3.如图 8—15 所示,小环 m1、m2 能沿着一轻绳光滑地滑动,绳的两 端固定于直杆 AB 的两端, 杆与水平线成角度θ , 在此杆上又套一轻小 环,绳穿过轻环,并使 m1、m2 在其两边,设环与直杆的接触是光滑的,当系统平衡时,直杆与轻环两边的绳夹角 为 ? ,试证: tan?

/ tan? ? (m1 ? m2 ) /(m1 ? m2 ).

4.一条在湖面上以恒定速度行驶的船上,有一与船固定的竖直光滑墙壁.有一个小球沿水平方向射到墙上. 相对于 岸,小球的速度大小为 v1 ,方向与墙的法线成 60°角,小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时 的速度方向垂直.问船的速度应满足什么条件.设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的. 5.F =400N 的力拖着小船,使它沿着河中心线运动.现甲、乙两人在河两岸共同拖船,已知甲拉力的方向与河中心 线的夹角为 30°, 要使两人共同产生的效果与 F 单独作用的效果相同, 乙拉力的最小值应为多少?方向如何? 6.如图 8—16 所示,一储油圆桶,底面直径与桶高均为 d.当桶内无油时,从某点 A 恰能看到桶底边缘上的某点 B.当桶内油的深度等于桶高一半时,在 A 点沿 AB 方向看去,看到桶底上的 C 点,C、B 相距 d/4.由此可得油 的折射率 n

?

;光在油中传播的速度 v

?

m/s.(结果可用根式表示)

7.要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像,可以在物体的后面放两个直立的大平面镜 AO 和 BO, 使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照相机,如图 8—17.图中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部,白色 半圆代表人的脸部,此人正面对着照相机的镜头;有斜线的半圆代表脑后的头发;箭头表示头顶上的帽子.图 8—17—甲为俯视图. 若两平面镜的夹角∠AOB=72°, 设人头的中心恰好位于角平分线 OC 上, 且照相机到人 的距离远大于人到平面镜的距离. (1)试在图 8—17—甲画出 P 的所有的像的位置并用空白和斜线分别表示人脸和头发,以表明各个像的方位. (2)在图 8—17—乙的方框中画出照片上得到所有的像(分别用空白和斜线表示人脸和头发,用箭头表示头顶上 的帽子). 8.图 8—18 中所示是一潜望镜壳体的示意图.MN 为光线的入口. 在上方 AB 处已放置一块与纸面垂直的平面镜, 它和与纸面垂直的竖直面之间的夹角为 45°.眼睛在观察孔 S 处观察,在 CD(与垂直面的夹角也是 45°)处放置 一块平面镜. 今要使观察到的视场不受 CD 处的平面镜的限制,则平面镜 CD 至少要有多大的线度才行?要求直接 在图上用作图法画出即可,但要说明作图的步骤. 9.图 8—19 中 MN 是薄透镜的主轴,S 是发光点,S′是它的像点. (1)用作图法求出薄透镜的位置,标在图上; (2)分别作光路图求出两个焦点的位置,标在图上. 再标明透镜的类别.

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10.如图 8—20 所示,某人的眼睛在 E 处通过放大镜 L 观察标尺 M,F1 和 F2 为 L 的焦点.他既能通过 L 看到 M 上 的一部分刻度,又能直接从镜外看到一部分刻度值的范围.在作图进用①、②……标明你画的光线,并写出作 图步骤. 11.如图 8—21 所示,凸透镜 L 的主轴与 x 轴重合,光心 O 就是坐标原点,凸透镜的焦距为 10 厘米.有一平面镜 M 放在

y ? ?2 厘米、 x ? 0 的位置,眼睛从平面镜反射的光中看到光点 A 的像位于 A2 处,A2 的坐标见图.

(1)求出此发光点 A 的位置; (2)写出用作图法确定 A 的位置的步骤并作图. 12.一平凸透镜焦距为

f

,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它 2

f

处,垂直于主轴放置

一高为 H 的物,其下端在透镜的主轴上,如图 8—22 所示. (1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实; (2)用计算法求出此像的位置和大小. 13.焦距均为

f

的两个凸透镜 L1、L2 与两个平面镜 M1、M2 放置在如图 8—23 所示的位置.

两透镜共轴,透镜的主轴与二平面镜垂直,并通过两平面镜的中心,四镜的直径相同, 在主轴上有一点光源 O. (1)画出由光源向右的一条光线 OA,在此光学系统中的光路; (2)分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置(O 点除外)?形成光 源 O 的能看到的像,哪些是实像?哪些是虚像? 14.已知两透镜组合系统如图 8—24 所示,物经整个系统成像,像的位置大小如图所示.试用作图 法求物经 L1 所成的像的位置与大小, 作出 L1 的焦点及系统的焦点位置.说明 L1 和 L2 是什么透镜? 15.有两个焦距分别为

f

1和

f

2 的凸透镜,如果把这两个透镜做适当的配置,则可使一垂直于光轴的小物体在原

位置成一等大、倒立的像,如图 8—25 所示,试求出满足上述要求的配置方案中各透镜的位置.

八、作图法
1.N1 先减小后增大,N2 减小 2. F

?

1 1? ? 2

[mg(sin? ? ? cos? )],? ? arctan?

3.证明过程略

4.船的行驶速度必须有沿 y 方向的分速度,亦即具有沿墙壁平面法线方向的分速度,其大小为

1 v1 ,而沿 x 方向的分速度不受限制,可取包括零在内的任意值。 2
5.200N,方向与河中心线夹角 60° 6.

10 3 10 , ? 108 2 5

7.
8.①先作出 MN 在 AB 镜中的虚像 M′N′;②再作出眼睛在 CD 处镜中的虚像 S′;③将 S′与 M′N′相连,

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与 CD 面交于 C′D′处。 C′D′即为所求的结果。 10. (1)作放大镜 L 端点和 E 点的连线并交 M 于 A 点。 (2)过 L 中心点作 LE 线的平行线 OO′。 (3)过 F1 作垂 直于主光轴的直线(焦平面)交 OO′直线于 B 点。 (4)连接 BL 交 M 于 C 点。 (5)作 A、B、C 三点关于主 光轴对称点,可通过作图得 A′、B′、C′。可见 AA′以外的刻度可直接看到,CC′之间的刻度可通过放 大镜 L 看到,AC、A′C′之间的刻度无法看到。 11. (1)x=-5cm,y=4cm (2)略 12. (1)

提示: (1)平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 的组合 LM,图中 O 为 L 的光心 O,AOF′为主轴,F 和 F′为 L 的两个焦点,AP 为物,作图时利用了三条特征光线。 (2)在透镜左方距离

2 f 3

处,大小为

1 H. 3 f 处主轴上)成虚像。 2 f 处主轴上)成虚像。 2

13. (2)向右发出的光线: F2? 处成实像;右方无限处成虚像,F2 处成实像;P 处(M1 左方 向左发出的光线:F1 处成实像;左方无穷远处成虚像;F′处成实像;Q 处(M2 右方 14.略 15.略



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