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2.3.2平面向量基本定理及坐标表示


平面向量基本定理 与坐标表示

A ( x , y ), B ( x , y ) 例1. 如图,已知 1 1 2 2 ??? ? 求 AB 的坐标。这是一个重要结论! y ??? ? ??? ? ??? ? 解:

AB ? OB ? OA ? (x2 , y2 ) ? ( x1, y1)

A
O

B
x

? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )

一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

  例1 如图,已知

y

D

A(-1,3),B(1,-3),C(4,1),A
??? ? ???????? AO,OD,CO的坐标。

D(3,4),求向量OA,OB,
C O x

??? ? ???

B

? ? 思考:已知 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ? ? ? ? ? 你能得出 a ? b, a ? b, ? a 的坐标吗?

? ? 平面向量的坐标运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个 ? 向量相应坐标的和(差)

? a ? (? x1, ? y1 )

实数与向量的积的坐标等于用这个实 数乘原来向量的坐标

? ? 练习:已知 a ? (2,1), b ? (?3, 4) ? ? ? ? ? ? 求 a ? b, a ? b,3a ? 4b 的坐标。

一般地,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),

如果a∥b,那么 x1y2-x2y1=0. 反过来,如果x1y2-x2y1=0
那么a∥b.

? ? ? ? 例3.已知 a ? (4,2), b ? (6, y) ,且 a ? b ,求y。

例4.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A、B、C三点之间的位置关系。

例1.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标 分别是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,
求点P的坐标。
y P2 P1 P P1 y P P2

O

x
(2)

O

x

推广:已知 P1 ( x1 , y1 ) ,P2 ( x2 , y2 ) ,P是直线 P1P2上的一点,且P1P=λPP2(λ≠-1) 求P点的坐标. P1 P ? ( x ? x1 , y ? y1 ) 解:设P(x,y),则 ?   

PP2 ? ( x2 ? x , y2 ? y )

??? ??? ? ∴P 1P =λ PP 2

?    ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ?( x2 ? x, y2 ? y)

? x ? x1 ? ? ( x2 ? x ) ?    ? ? y ? y1 ? ? ( y2 ? y )

x1 ? ?x 2 ? x ? ? ? 1? ? ?? y ? ? y 1 2 ?y ? ? ? 1? ?

有向线段 P 1P 2 的 中点坐标公式
x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 2

有向线段 P 1P 2 的 定比分点坐标公式 x1 ? ?x 2 ? x ? ? ? 1? ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? ? 1? ?

关于有向线段的定比分点含义:
P2 的任一 直线l上两点 P1 、P2 ,在l上取不同于 P1 、 点P,则P点与 P1 P2 的位置有哪几种情形?

P在 P P在P2 P1 的延长线上 1P 2 之间 P在 P 1P 2 的延长线上,
P1

? ?0

P

P2

存在一个实数λ,使 P1 P ? ? PP2,λ叫做点P分有 向线段 P1 P 所成的比. P叫做 P1 P 的定比分点 . 2 2 能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的 积的向量方向确定λ 的取值范围吗?

? ? ?1

P1

P2

P

P

?1 ? ? ? 0

P1

P2

( 1)如图,点B 分有向线段 AC 的比 3 为?1 ? _____ 2 ,点C分有向线段 BA 的比 2 ? 为?2 ? _____ ,点 A 分有向线段 的比为 BC 5 3 ?3 ? _____ ? A B
5

练习:

C

(2)连结A(4,1)和B(-2,4)两点的 直线,和x轴交点的坐标是 (6,0) ,和y轴交点 的坐标是 (0,3) .


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