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河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案



商丘市 2014—2015 学年度高三第一次模拟考试

数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|0<x<2},B={x||x|>1},则 A∩B= A. (0,1) B. (1,2) C.

(-∞,-1)∪(0,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 2.若复数 z 满足(1+i)z=2-z,则|z+i|= A.

1 2

B.

2 2

C.2
2

D. 2

3.已知命题 p: ?x ∈R,x-2>lgx,命题 q: ?x ∈R, x >0,则 A.命题 p∨q 是假命题 C.命题 p∨( ?p )是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 D.命题 p∧( ?p )是真命题

4.已知向量 a,b 满足|a|=1,a⊥b,则 a-2b 在 a 方向上的投影为 A.1 B.

7 7

C.-1

D.

2 7 7

5.已知锐角α 的终边上一点 P(sin40°,1+cos40°) ,则α 等于 A.10° B.20° C.70° D.80° 6.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的 B 等于 A.63 B.31 C.127 D.15

x2 y 2 1 (a>0,b>0)有 7.已知抛物线 y =4x 与双曲线 2 - 2 = a b
2

相同的焦点 F,点 A,B 是两曲线的交点,若( OA + OB ) · AF =0,则双曲线的 离心率为 A. 2 +2 B. 5 +1 C. 3 +1 D. 2 +1

uur

uuu r

uuu r

8.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为 A.4π B.8π C.12π D.16π

第 1 页 共 10 页

? y≥x, ? 9.设变量 x,y 满足约束条件: ? x+3y≤4, 则 z=|x-3y| ? x≥-2, ?
的最大值为 A.10 C .6 B.8 D.4

10.等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , S 2 n =4(a1+a3+…+ a2 n-1 ) ,a1a2a3=27,则 a6= A.27 B.8l 11.给出下列四个结论:
2 2

C.243

D.729

①若 a,b∈[0,1],则不等式 a +b ≤1 成立的概率为
3

? ; 4

②由曲线 y= x 与 y= 3 x 所围成的封闭图形的面积为 0.5; ③已知随机变量ξ 服从正态分布 N(3, ? ) ,若 P(ξ ≤5)=m,则 P(ξ ≤1)=
2

1-m; ④ ( x+

1 2 x

)8 的展开式中常数项为

35 . 8
C.3 D.4

其中正确结论的个数为 A.1 B.2 12.已知函数 f(x)满足 f(x)=f(

1 1 ) ,当 x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间[ ,3] x 3
C.[

内,曲线 g(x)=f(x)-ax 与 x 轴有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 A. (0,

1 ) e

B. (0,

1 ) 2e

ln 3 1 , ) 3 e

D.[

ln 3 1 , ) 3 2e

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题-第 21 题为必考题. 每个试题考生都必须做 答。第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋 友 1 本,则不同的赠送方法共有_______种. 14.若圆 C: x +y +2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆 所作的切线长的最小值是_____________。 15.已知函数 y=f(x-1)+ x 是定义在 R 上的奇函数,且 f(0)=-1,若 g(x)=1- f(x+1) ,则 g(-3)=______________
2

2

2

第 2 页 共 10 页

16 .已知数列 { an } 通项公式为 an =- n + p ,数列 { bn } 通项公式为 bn = 2

n-5

,设 cn =

?an (an ≤bn ), 若在数列{ cn }中, , 则实数 p 的取值范围是_______. c8 > cn(n∈N﹡,n≠8) ? ?bn (an>bn ),
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sinA+sinB=2sinC,a=2b. (Ⅰ)证明:△ABC 是钝角三角形; (Ⅱ)若 S ?ABC=

4 15 ,求 c 的值. 3

18. (本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如下: 1 2 日销售量 1.5 天数 频率 10 0.2 25 a 15 b

若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立. (Ⅰ)求 5 天中该种商品恰好有两天的销售量为 1.5 吨的概率; (Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为 2 千元,X 表示该种商品某两天销售利润的和(单 位:千元) ,求 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB⊥侧面 BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=60°。 (Ⅰ)求证:C1B⊥平面 ABC; (Ⅱ)设 CE =λ CC1 (0≤A≤1) ,且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为 30°,试求λ 的值.

uur

uuu r

20. (本小题满分 12 分) 已知直线 l 的方程为 y= 3 x-2 3 ,又直线 l 过椭圆 C:

x2 y 2 + =1 (a>b>0)的 a 2 b2

右焦点,且椭圆的离心率为

6 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 D(0,1)的直线与椭圆 C 交于点 A,B,求△AOB 的面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分)
第 3 页 共 10 页

已知函数 f(x)=x+alnx 在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直,函数 g(x)=f(x) +

1 2 x -bx. 2 7 ,求 g(x1)-g(x2) 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 x1,x2 (x1<x2)是函数 g(x)的两个极值点,若 b≥ 的最小值. 请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ACED 是圆内接四边形,AD、CE 的延 长线交于点 B,且 AD=DE,AB=2AC. (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P( -

? ) . 4

1 ? ,1) ,倾斜角α = ,圆 C 的极坐标方程为 ? = 2 cos(θ 2 6

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之积. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a+b=1,对 ? a ,b∈(0,+∞) , (Ⅰ)求

1 4 + ≥|2x-1|-|x+1|恒成立, a b

1 4 + 的最小值; a b

(Ⅱ)求 x 的取值范围。

第 4 页 共 10 页

商丘市 2014—2015 学年度第一次模拟考试 高三数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1)B (7)D (2)B (8)A (3)D (9)B (4)A (10)C (5)C (11)C (6)A (12)C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13)10; 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)因为 sin A ? sin B ? 2sin C ,由正弦定理得 a ? b ? 2c , (14)4; (15) 2; (16) (12,17) .

2 c ,……………………………3 分 3 4 2 2 16 2 c ?c ? c 2 2 2 b ?c ?a 1 9 9 所以 cos A ? ? ?? ?0, 2 2bc 4 2 ? c2 3
又 a ? 2b ,可得 b ? 所以 A 为钝角,故 ?ABC 为钝角三角形.……………6 分 (Ⅱ)由 cos A ? ?

1 15 ,得 sin A ? ,……………………9 分 4 4

所以 S?ABC ?

1 1 2 15 4 bc sin A ? ? c 2 ? ? 15 ,解得 c ? 4 .…12 分 2 2 3 4 3

(18)解: (Ⅰ) a ?

25 15 ? 0.5 , b ? ? 0.3 ,………………………2 分 50 50

依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p ? 0.5 , 设 5 天中该种商品有 Y 天的销售量为 1.5 吨,则 Y

B(5, 0.5) ,

P(Y ? 2) ? C52 ? 0.52 ? (1 ? 0.5)3 ? 0.3125 .…………5 分
(Ⅱ) X 的可能取值为 4,5,6,7,8 ,………………7 分 则 :

P( X ?
第 5 页 共 10 页

?

2

? 4

),

0

P( X ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2 ,

P( X ? 6) ? 0.52 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37
P( X ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3 ,

,

P( X ? 8) ? 0.32 ? 0.09 ,
所以 X 的分布列为:

X
P

4 0.04

5 0.2

6 0.37

7 0.3

8 0.09 ………10 分

X 的数学期望 E ( X ) ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.37 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.09 ? 6.2 .……12 分
(19)解: (Ⅰ)因为 AB ? 平面 BB1C1C , BC1 ? 平面 BB1C1C , 所以 AB ? BC1 ,…1 分 在 ?CBC1 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ? 60? , 由余弦定理得: BC12 ? BC 2 ? CC12 ? 2BC ? CC1 ? cos ?BCC1

? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos 60 ? 3 , 所以 BC1 ? 3 ,…3 分
故 BC 2 ? BC12 ? CC12 , 所以 BC ? BC1 ,…………5 分 又 BC

AB ? B ,∴ C1B ? 平面 ABC .……………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, AB, BC, BC1 两两垂直.以 B 为原点, BC, BA, BC1 所在直线 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 B(0,0,0), A(0,1,0), C(1,0,0), C1 (0,0, 3) , B1 (?1,0, 3) .………7 分 所以 CC1 ? (?1,0, 3) , 所以 CE ? (?? ,0, 3? ) , ∴ E(1 ? ? ,0, 3? ) , 则 AE ? (1 ? ? , ?1, 3? ) , AB1 ? (?1, ?1, 3) . …………8 分 设平面 AB1E 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , 则?

? ? n ? AE ? ?n ? AB1

, 得?

? ?(1 ? ? ) x ? y ? 3? z ? 0 ? ? x ? y ? 3z ? 0 ?
第 6 页 共 10 页



令 z ? 3 ,则 x ? 分 .

3 ? 3? 3 3 ? 3? 3 , y? , , 3) , ……… 9 ,∴ n ? ( 2?? 2?? 2?? 2??

∵ AB ? 平面 BB1C1C , BA ? (0,1,0) 是平面的一个法向量,………10 分

∴ cos ? n, BA ? ?

n ? BA n ? BA

? 1? (

3 ? 3? 2 3 2 ) ?( ) ? ( 3) 2 2?? 2??

3 2??

?

3 . 2

2 两边平方并化简得 2? ? 5? ? 3 ? 0 ,所以 ? ? 1 或 ? ?

3 (舍去) . 2

∴ ? ? 1 ……………12 分 (20)解: (Ⅰ)∵ a ? b ,∴椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点, ∵直线 l 与 x 轴的交点为 (2, 0) ,∴椭圆的焦点为 (2, 0) ,∴ c ? 2 ,…1 分 又∵ e ?

c 6 2 2 2 ,∴ a ? 6 ,∴ b ? a ? c ? 2 …………3 分 ? a 3

x2 y 2 ? ? 1 .……………4 分 ∴椭圆方程为 6 2
(Ⅱ) 直线 AB 的斜率显然存在,设直线 AB 方程为 y ? kx ? 1

? y ? kx ? 1 ? 2 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 ,得 (3k ? 1) x ? 6kx ? 3 ? 0 , ?1 ? ? 2 ?6
显然 ? ? 0 , x1 ? x2 ?

S?AOB ? S?AOD ? S?BOD

?6k 3 , x1 x2 ? 2 …………6 分 2 3k ? 1 3k ? 1 1 1 ? OD x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ……8 分 2 2

?

1 36k 2 12 6k 2 ? 1 ? ? 3 2 (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 (3k 2 ? 1)2
…10 分

2(3k 2 ? 1) ? 1 2 1 ? 3 ? 3 ? 2 2 2 2 (3k ? 1) 3k ? 1 (3k ? 1) 2 1 , 则 t ? ? 0,1? , S ?AOB ? 3 ?t 2 ? 2t ? 3 ?(t ? 1) 2 ? 1 , 令t ? 2 3k ? 1
第 7 页 共 10 页

? t ? 1 ,即 k ? 0 时, S?AOB 的最大值为 3 .…………12 分
(21)解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? a ln x ,∴ f ?( x) ? 1 ?

a , x

…………2 分

又 l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? f ?(1) ? 1 ? a ? 2 ,∴ a ? 1 .……4 分

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 (Ⅱ) g ? ? x ? ? ? x ? ? b ? 1? ? , x x
令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x2 ? (b ?1) x ? 1 ? 0 ,

? x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 ,……………6 分
1 1 2 ? ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ?ln x1 ? x12 ? ? b ? 1? x1 ? ? ?ln x2 ? x2 ? ? b ? 1? x2 ? 2 2 ? ? ? ?

? ln

x1 1 2 x 1? x x ? 2 ? ? x1 ? x2 ? ? b ? 1?? x1 ? x2 ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? ,…8 分 ? x2 2 x2 2 ? x2 x1 ?
1 1? x1 ? 0 ? t ? 1? h ? t ? ? ln t ? ? ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? 2? t ? x2
2

0 ? x1 ? x2 , 所以设 t ?

? t ? 1? ? 0 ,所以 h t 在 0,1 单调递减, 10 分 1 1? 1? h? ? t ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?? ? ? t 2? t ? 2t 2

? x1 ? x2 ? ? t ? 1 ? 2 ? 25 7 25 2 2 , 即 ? x1 ? x2 ? ? 又b ? , ? ? b ? 1? ? x1 ? x2 t 4 2 4
2

0 ? t ? 1, ? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0, ? 0 ? t ?
∴ h ?t ? ? h ? ? ?

1 , 4

? 1 ? 15 ? 2ln 2 , ?4? 8
15 ? 2 ln 2 .…………12 分 8

故所求的最小值是

(22)解:(Ⅰ)证明: 因为四边形 ACED 为圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, …1 分 又 ?DBE ? ?CBA, 所以△BDE ∽△BCA ,则

BE DE .………3 分 ? BA CA

而 AB ? 2 AC ,所以 BE ? 2DE .…………………4 分

第 8 页 共 10 页

又 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD.

………………5 分

(Ⅱ)由条件得 AB ? 2 AC ? 4 .………………6 分 设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC , 即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? 4, 所以 (4 ? t ) ? 4 ? 2t ? 4 ,解得 t ?

4 4 ,即 AD ? .…………10 分 3 3

? 1 ? ? 1 3 x ? ? t cos x? ? t ? ? ? ? 2 6 2 2 ( t 为参数) (23)解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
……2 分 由? ?

2 cos(? ? ) ,得 ? ? cos? ? sin ? , 4

?

所以 ? 2 ? ? cos? ? ? sin ? ,………4 分 得 x2 ? y 2 ? x ? y ,即 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

1 .…………5 分 2

? 1 3 x? ? t ? 1 2 1 2 1 1 1 ? 2 2 2 (Ⅱ)把 ? 代入 ( x ? ) ? ( y ? ) ? ,得 t ? t ? ? 0 ,… 8 2 2 2 2 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
分 ∴ PA ? PB ? t1 ? t2 ?

1 .………10 分 4

(24)解: (Ⅰ)∵ a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,

1 4 1 4 b 4a ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ? ? 9 ,………3 分 a b a b a b b 4a 1 2 当且仅当 ? ,即 a ? , b ? 时, a b 3 3 1 4 ? 取最小值 9.………………5 分 a b 1 4 (Ⅱ)因为对 a, b ? (0, ??) ,使 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立, a b

第 9 页 共 10 页

所以 2x ?1 ? x ? 1 ? 9 ,………………7 分 当 x ? ?1 时,不等式化为 2 ? x ? 9 , 当 ?1 ? x ? 解得 ?7 ? x ? ?1 ;

1 1 时,不等式化为 ?3x ? 9 ,解得 ?1 ? x ? ; 2 2 1 1 ? x ? 11 ; 当 x ? 时,不等式化为 x ? 2 ? 9 , 解得 2 2
∴ x 的取值范围为 ?7 ? x ? 11 .…………10 分

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