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2014高中数学 第三章不等式单元测试题 新人教A版必修5


数学 5(必修)第三章:不等式
一、选择题 1.若方程 x 2 ? (m ? 2) x ? m ? 5 ? 0 只有正根,则 m 的取值范围是( A. m ? ?4 或 m ? 4 C. ? 5 ? m ? ?4 答案:B B. ? 5 ? m ? ?4 D. ? 5 ? m ? ?2 ).

解析:

?? ? (m ? 2) 2 ? 4(m ? 5) ? 0 ? , ?5 ? m ? ?4 ? x1 ? x2 ? ?(m ? 2) ? 0 ?x x ? m ? 5 ? 0 ? 1 2

2.若 f ( x) ? lg x 2 ? 2ax ? 1 ? a 在区间 (??,1] 上递减,则 a 范围为( A. [1, 2) C. ?1, ?? ? 答案:A 解析: 令 u ? x ? 2ax ? 1 ? a, ? ??,1? 是的递减区间,得 a ? 1
2

?

?



B. [1, 2] D. [2, ??)

而 u ? 0 须恒成立,∴ umin ? 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ,∴ 1 ? a ? 2 ;

3. 不等式 lg x2 ? lg 2 x 的解集是 (

) B. (100, ??) D. (0,1) ? (100, ??)

1 ,1) 100 1 ,1) ? (100, ??) C. ( 100
A. ( 答案:.D
2

解析: 2lg x ? lg x,lg x ? 2或 lg x ? 0, x ? 100, 或0 ? x ? 1
2 4.若不等式 x ? loga x ? 0 在 (0, ) 内恒成立,则 a 的取值范围是 (

1 2

)

A.

1 ? a ?1 16

B.

1 ? a ?1 16

1

C. 0 ? a ? 答案:A

1 16

D. 0 ? a ?

1 16

解析: x2 ? loga x 在 x ? (0, ) 恒成立,得 0 ? a ? 1 , 则 log a x ? x
2 max

1 2

1 1 1 1 ? , (log a x) min ? log a ? ? ? a ? 1 。 (另可画图做) 4 2 4 16
)

5.若不等式 0 ? x ? ax ? a ? 1有唯一解,则 a 的取值为(
2

A. 0 C. 4 答案:B
2

B. 2 D. 6

解析: 当 x ? ax ? a ? 0 仅有一实数根 , ? ? a2 ? 4a ? 0, a ? 0或a ? 4 ,代入检验,不成 立 或 x ? ax ? a ? 1 仅有一实数根, ? ? a2 ? 4a ? 4 ? 0, a ? 2 ,代入检验,成立!
2

6.不等式 组 ? A.

? ? y ? x ?1 的区域面积是( ? ? y ? ?3 x ? 1
3 2

)

1 2 5 C. 2

B.

D. 1

答案:.D 解析: 画出可行域 二、填空题 1.不等式 log2 (2x ?1) ? log2 (2x?1 ? 2) ? 2 的解集是_______________。
5

答案: (log 2 4 ,log 23 ) 解析: log2 (2x ?1) ? log2[2(2x ?1)] ? 2,log2 (2x ?1) ?[1 ? log2 (2x ?1)] ? 2

log22 (2x ?1) ? log2 (2x ?1) ? 2 ? 0, ?2 ? log2 (2x ?1) ? 1
1 5 5 ? 2 x ? 1 ? 2, ? 2 x ? 3, log 2 ? x ? log 2 3 4 4 4

2.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,则 a ?

1 ? 2

b?

1 的范围是____________。 2

2

答案: ?

? 2? 6 ? , 2? 2 ? ?

解析: 令 y ?

a?

1 1 1 3 ? b ? ,则 y 2 ? 2 ? 2 ab ? ,而 0 ? ab ? 4 2 2 4

2 ? 3 ? y 2 ? 4,

2? 6 ? y?2 2

3.若 0 ? y ? x ? 答案:

?
2

, 且 tan x ? 3tan y, 则 x ? y 的最大值为________.

? 6

解析: tan( x ? y ) ?

tan x ? tan y 2 tan y ? ? 1 ? tan x tan y 1 ? 3 tan 2 y

2 1 ? 3 tan y tan y

?

2 2 3

?

3 3

而0 ? y ? x ?

?
2

,0 ? x ? y ?

?
2

, tan( x ? y) ?

3 ? ? x? y ? 3 6

4.设 x ? 0 ,则函数 y ? ( x ? 答案: ? 1,3 解析: x ?

1 2 ) ? 1 在 x =________时,有最小值__________。 x

1 1 1 1 ? 2或x ? ? ?2 ? ( x ? ) 2 ? 4 ? y ? ( x ? ) 2 ? 1 ? 3 x x x x

5.不等式 4 ? x2 ?

x ? 0 的解集是___ _____________。 x

答案: ? 3,0 ? ?0,2? 解析: 当 x ? 0 时 4 ? x2 ? 1 ? 0 ,得 0 ? x ? 2 ; 当 x ? 0 时 4 ? x2 ?1 ? 0 ,得 ? 3 ? x ? 0 ;? x ? ? ? 3, 0 ? ? 0, 2?

?

?

?

?

三、 解答题 1.若函数 f ( x) ? log a ( x ? 求实数 a 的取值范围。

a ? 4)(a ? 0, 且a ? 1) 的值域为 R , x

3

解析:令 u ? x ?

a ? 4 ,则 u 须取遍所有的正实数,即 umin ? 0 , x

而 umin ? 2 a ? 4 ? 2 a ? 4 ? 0 ? 0 ? a ? 4且a ? 1

?a ? (0,1) ? ?1, 4?

2.已知△ABC 的三边长是 a, b, c ,且 m 为正数,

a b c ? ? 。 a?m b?m c?m x (m ? 0) ,易知 (0, ??) 是 f ( x) 的递增区间 证明:设 f ( x) ? x?m a?b c ? ? a ? b ? c,? f (a ? b) ? f (c) ,即 a?b?m c?m a b a b a ?b ? ? ? ? 而 a?m b?m a?b?m a ?b?m a ?b?m a b c ? ? ? a?m b?m c?m
求证:

3.解不等式: log2 ( x ?

1 ? 6) ? 3 x

1 ? x? ?2 ? 1 1 1 ? x , 当 x ? 0 时, x ? ? 2,? x ? ? 2 ? x ? 1 ; 解析: 0 ? x ? ? 6 ? 8, ? x x x ? x ? 1 ? ?6 ? x ?
当 x ? 0 时, ?6 ? x ?

1 ? ?2,??2 2 ? 3 ? x ? 2 2 ? 3 x

? x ? (?3 ? 2 2, ?3 ? 2 2) ? ?1?

4.已知求函数 f ( x) ? (e ? a) ? (e
x 2

?x

? a)2 (0 ? a ? 2) 的最小值。

解析: f ( x) ? e
x

2x

? e?2 x ? 2a(ex ? e? x ) ? 2a2 ? (ex ? e? x )2 ? 2a(ex ? e? x ) ? 2a2 ? 2 ? t (t ? 2), y ? f ( x) ,则 y ? t 2 ? 2at ? 2a2 ? 2

令e ?e

?x

对称轴 t ? a(0 ? a ? 2) ,而 t ? 2

4

?2, ??? 是 y 的递增区间,当 t ? 2 时, ymin ? 2(a ?1)2
? f ( x)min ? 2(a ?1)2 。

ax ? b 的值域为 ?? 1,4? ,求 a , b 的值。 x2 ?1 ax ? b , yx 2 ? y ? ax ? b, yx 2 ? ax ? y ? b ? 0, 解析:令 y ? 2 x ?1
1. 设函数 f ( x ) ? 显然 y ? 0 可以成立,当 y ? 0 时, ? ? a2 ? 4 y( y ? b) ? 0, 4 y 2 ? 4by ? a 2 ? 0 而 ?1 ? y ? 4 ,??1和4 是方程 4 y 2 ? 4by ? a2 ? 0 的两个实数根 所以 ?1 ? 4 ? b, ?1? 4 ? ?

a2 ? a ? ?4, b ? 3 。 4

5



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