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空间向量及运算



专题六
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空间向量及其运算
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使 p ? xa ? yb ? zc

?

?

?

?
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1.空间向量的概念:在空间,

我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定 义 : 与 平 面 向 量 运 算 一 样 , 空 间 向 量 的 加 法 、 减 法 与 数 乘 向 量 运 算 如 下
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? ? ? ? ? ? ??? 若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底, a, b , c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量
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都可以构成空间的一个基底 推 论 : 设 O, A, B, C 是 不 共 面 的 四 点 , 则 对 空 间 任 一 点 P , 都 存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数 x, y, z , 使

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???? ???? ???? ???? O P? x O A y O? z O C ? B
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10 空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作 OA ?a , OB ? ,则 ?AOB 叫做向量 b
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? ?

??? ?

? ? ???

?

? ? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R) ? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

D' A' B'

C'

a

3.平行六面体: D ? C 平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A ?B ?C ?D ? 的轨迹所形成的几何体, 叫做平行 六面体,并记作:ABCD- A ?B ?C ?D ? 它的六个面都是平行四边形,每个面 的边叫做 A B 平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向 量也叫做共线向量.
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a 与 b 的夹角,记作 ? a, b ? ;且规定 0 ?? a, b ?? ? ,显然有 ? a, b ??? b , a ? ;若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互 2 ? ? 相垂直,记作: a ? b . ??? ? ? ??? ? ? ? 11.向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 . 向 量 的 数 量 积 : 已 知 向 量 a, b , 则 | a |? |b ?| c o? a b ,? 做 a, b 的 数 量 积 , 记 作 a ? b , 即 叫 s ? ? ? ? ? ? a ? b ? | a |? |b ?| c o?sa b ,. ? ??? ? ? ? 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? ,作点 B 在 l 上的射影 B? , ???? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ? 则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影. 可以证明 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | .
13.空间向量数量积的性质: (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a |2 ? a ? a . 14.空间向量数量积运算律:

? ?

?

? ?

?

?

? ?

向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使 b =λ a . ? 要注意其中对向量 a 的非零要求. 5 共线向量
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?

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? ?

? ? 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于 b 记 ? ? 作 a // b . ? ? ? ? ? ? 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行
直线. 6. 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) a // b 的充要条件是存在实数 λ,使 a =λ b . , ? 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条 件是存在实数 t 满足等式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) . ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律)
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z

A(x,y,z) k i x O j y

空间向量的直角坐标及其运算
1 空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫单位正交
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?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? {i , j 表示; ,k }

基 底 , 用

? ? OP ? OA ? t a .其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. ?

(2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i, j, k} ,以点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴:

?? ?

?? ?

空间直线的向量参数表示式:

OP ? OA ? t a 或 OP ? OA ? t (OB ? OA ) ? (1 ? t )OA ? tOB ,

?? ? x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原点,向量 i, j, k 都叫 zOx 坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平 面,
平面; 2.空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组 平 行 常 我
z D A ' D x A z A B ' B ' C y C '

1 中点公式. OP ? (OA ? OB ) 2 ? ? ? ? 7. 向量与平面平行: 已知平面 ? 和向量 a , O ? , 作 A a 如果直线 OA ? ? 于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? .通
们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的
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M

b a

B A A'

p

P

??? ? ? ? ( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? yj ? zk ,有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角 O ? x y中的坐标,记作 A( x, y, z) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标. z

坐标系

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? ? ? ? ? 8.共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的 ? ? ? 条件是存在实数 x, y 使 p ? xa ? yb
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常见坐标系
O

充 要

???? ???? ???? 推论: 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y , M ? A yM 使 P xM ? B ??? ???? ? ? ???? ???? 一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ② ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 或 OP ? xOA ? yOB ? zOM ,( x ? y ? z ? 1) ③
上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式
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①或对空间任

? ? ? ? 9 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ,
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①正方体 如图所示,正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 a ,一般选择点 D 为原点, DC 、 DD ' 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 标为 亦可选 A 点为原点. 在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体 如图所示,正四面体 A ? BCD 的棱长为 a ,一般选择 A 在 ?BCD 上的射 原点, OC 、 OD (或 OB ) OA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 、
1 x

、 各 点 坐

DA

B

O Cz x P D

D y

影 为 直 角

A

O B y

C

坐标系 O ? xyz ,则各点坐标为 ③正四棱锥 如图所示,正四棱锥 P ? ABCD 的棱长为 a ,一般选择点 P 在平面 ABCD 的射影为原点,OA (或 OC ) OB 、 (或 OD ) OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则各点坐标为 、 ④正三棱柱 OC 如图所示, 正三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 的底面边长为 a , 高为 h , 一般选择 AC 中点为原点, (或 OA ) OB 、 、 OE ( E 为 O 在 A ' C ' 上的射影)所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直 角坐标 系 O ? xyz ,则各点坐标为 3.空间向量的直角坐标运算律: (1)若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,则
z E C ' O C x B y A ' A B '

的值分别为 A.x=1,y=1 1 1 C.x= ,y= 2 2 1 B.x=1,y= 2 1 D.x= ,y=1 2

(

)

题组二

空间中的共线、共面问题

?

?

例 4.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点是否共面________(共面或不共面),并证明。

? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? ? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , ? ? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 . ??? ? (2)若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . ? ? 4 模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 . ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? 5.夹角公式: cos a ? b ? ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3
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一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

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题组三

空间向量数量积及应用

例 5.如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于 a, 点 E、F、G 分别为 AB、AD、DC 的中点,则 a2 等于 ( )

6.两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? 或 d A, B ?

? ??? ??? ? A.2 BA · BC ??? ??? ? ? C.2 FG · CA
AC=α,BD=2a,则 CD 的长为 ( A.2a 达标训练 B. 5a

??? ??? ? ? BD B.2 AD · ? ??? ??? ? D.2 EF · CB

??? ?

??? 2 ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ,
2 2 2
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例 6.二面角 α-l-β 为 60° ,A、B 是棱 l 上的两点,AC、BD 分别在半平面 α、β 内,AC⊥l,BD⊥l,且 AB= ) D. 3a

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
题组一

典型例题 空间向量的线性运算

C.a

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.在以下命题中,不正确的命题个数为( )

例 1.如图所示,已知四面体 ABCD,E、F、G、H 分别为

? ? ? ??? ??? 1 ??? AB、BC、CD、AC 的中点,则 ( AB + BC + CD )化简 2
的结果为 ( )

→ → → → (1)已知 A、B、C、D 是空间任意四点,则AB+BC+CD+DA=0. (2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底. (3)|(a· c|=|a|· |c|. b)· |b|·

??? ? A. BF ???? C. HG

???? B. EH ??? ? D. FG

例 2. 如图, 在底面 ABCD 为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 是 AC 与 BD 的交点, AB =a, 1 D1 M 若 A =b, A1 A1 =c,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 C. a- b+c 2 2 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2

??? ?

?????

→ → → → (4)对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中 x、y、z∈R),则 P、A、B、C 四点共面. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

?????

?????

(

)

→ → → → → → → → → 解析:AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD+DA=0(1)正确.由向量知识知(2)正确.若 a⊥b 则 a· b=0,则 (3)不正确.由空间向量中点共面知(4)正确,故选 A.

例 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若 AE = AA1 +x AB +y AD ,则 x、y
2

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

答案:A

→ → → → → → 2.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足AB· =0,AC· =0,AB· =0,则△BCD 是( AC AD AD A.钝角三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.不确定

)

则 AF=CE=

3 → → → ,|AB|=|AC|=|AD|=1, 2

→ → 1 → → 1 → → ∴AF· = (AB+AC)·(AC+DC) EC 2 2 1 → → 1 → → → = (AB+AC)·(AC+AC-AD) 2 2 1 → → → → → → → = (AB· -AB· +2AC2-AC· ) 2AC AD AD 4 1 1 1 1 = ×?1-2+2-2?= , ? 2 4 ? 1 → → 2 AF· EC 2 → → ∴cos〈AF,EC〉= = = , → → 3 3 3 |AF|· | |EC × 2 2 2 即 AF,CE 所成角的余弦值为 . 3 答案:A 5.若 a、b、c 为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( )

→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → 解析:∵BC· =(AC-AB)· -AB)=AC· -AB· -AC· +AB· =|AB|2>0,同理CB· >0,DB· >0, BD (AD AD AD AB AB CD DC 故△BCD 为锐角三角形.因此选 B. 答案:B → → → → 3.如图,空间四边形 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c.点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点,则MN 等于( )

1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 1 1 2 C. a+ b- c 2 2 3 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2 2 2 1 1 → → → 1 → → 2→ 1 解析:MN=ON-OM= (OB+OC)- OA= (b+c)- a=- a+ b+ c.故选 B. 2 3 2 3 3 2 2 答案:B

A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)· c=a· c+b· c C.m(a+b)=ma+mb D.(a· c=a· c) b)· (b· 解析:∵(a· c 与 c 共线,而 a· c)与 a 共线,故(a· c=a· c)不一定成立. b)· (b· b)· (b· 答案:D 6.已知四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两互相垂直,给出下列两个命题: → → → → → → ①AB· =AC· =AD· ; CD BD BC → → → → → → ②|AB+AC+AD|2=|AB|2+|AC|2+|AD|2. 则下列关于以上两个命题真假性的判断正确的是( A.①真、②真 C.①假、②假 B.①真、②假 D.①假、②真 )

→ → 解析:由 AB⊥AC、AB⊥AD,得 AB⊥平面 ACD,故 AB⊥CD,即有AB· =0, CD 4.如图,在棱长都相等的四面体 A-BCD 中,E,F 分别为棱 AD,BC 的中点,连结 AF,CE,则直线 AF,CE 所成的角的余弦值为( 2 A. 3 C. 3 2 ) 1 B. 6 1 D. 3 → → → → 同理,AC· =AD· =0, BD BC 于是,命题①为真命题. → → → 又以 AB、AC、AD 为同一顶点出发的三条棱,可构造一个长方体,则AB+AC+AD为以 A 为起点的长方体的体 → → → 对角线所对应的向量,从而|AB+AC+AD|为长方体的体对角线的长,而 故命题②也为真. 答案:A
3

→ → → |AB|2+|AC|2+|AD|2 也表示体对角线的长,

解析:设四面体的棱长为 1,

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1,且两两夹角都是 60° ,则对角 线 AC1 的长是________. → → → → → 解析:|AC1|2=AC12=(AB+BC+CC1)2 → → → → → → → → → =AB2+BC2+CC12+2AB· +2AB· 1+2BC· 1 BC CC CC 1 1 1 =1+1+1+2·+2·+2·=6. 2 2 2 → ∴|AC1|= 6. 答案: 6

→ → → → 1 → → 1→ DE=DD1+D1E=AA1+ DC=AA1+ AB, 2 2 → → → → → 1→ ∴A1C1· =(AB+AD)· 1+ AB) DE (AA 2 → → 1 → → → 1→ → =AB· 1+ AB2+AD· 1+ AD· AA AA AB 2 2 1→ 1 = |AB|2= a2, 2 2 5 → → 又∵|A1C1|= 2a,|DE|= a, 2 1 2 a → → 2 A1C1· DE 10 → → ∴cos〈A1C1,DE〉= = = , 10 → → 5 |A1C1||DE| 2a· a 2 10 → → ∴〈A1C1,DE〉=arccos , 10 10 → → 即向量A1C1与DE所成的角为 arccos . 10

π → → 8.如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC= ,则 cos〈OA,BC〉的值为________. 3 → → → → → 解析:∵OA· =OA(OC-OB) BC → → → → =OA· -OA· OC OB → → → → → → → → =|OA|· |cos〈OA,OC〉-|OA|· |· |OC |OB cos〈OA,OB〉 π ∵OB=OC,∠AOB=∠AOC= , 3 → → → → → → ∴OA· =0,即OA⊥BC.∴cos〈OA,BC〉=0. BC 答案:0 → → 9.如图所示,已知 E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 C1D1 的中点,则向量A1C1与DE所成的角是________.

答案:arccos

10 10

→ → → → → 10.(2011· 合肥)给出命题:①在?ABCD 中,AB+AD=AC;②在△ABC 中,若AB· >0,则△ABC 是锐角三角 AC → 1 → → 形;③在梯形 ABCD 中,E、F 分别是两腰 BC、DA 的中点,则FE= (AB+DC);④在空间四边形 ABCD 中,E、F 2 → 1 → → 分别是边 BC、DA 的中点,则FE= (AB+DC).以上命题中,正确命题的序号是________. 2 解析:本题考查向量的有关运算. → → → → ①满足向量运算的平行四边形法则, ①正确; · =|AB|· |· AB AC |AC cosA>0?∠A<90° 但∠B、 , ∠C 无法确定, △ABC → → → → → → → → 是否是锐角三角形无法确定,②错误;③符合梯形中位线, 正确;④如下图: =DA+AC; +AB=DA+AB+AC DC DC → → → → → → 1 → → =DA+2AE=2(FA+AE)=2FE,则FE= (AB+DC),正确. 2

解析:设正方体棱长为 a, → → → 则|AB|=|AD|=|AA1|=a, → → → → → → 且AB· =AD· 1=AA1· =0, AD AA AB → → → → → ∵A1C1=A1B1+B1C1=AB+AD,
4

答案:①③④ 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC1⊥AB1,BC1⊥A1C.

1→ 1→ 1 → → → → ∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC=-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2 2 (3)∵M 是 AA1 的中点, 1 1 1 1 → → → 1→ → ∴MP=MA+AP= A1A+AP=- a+(a+c+ b)= a+ b+c, 2 2 2 2 2 → → → 1→ → 1→ → 1 又NC1=NC+CC1= BC+AA1= AD+AA1= c+a, 2 2 2 1 1 1 3 1 3 → → ∴MP+NC1=?2a+2b+c?+?a+2c?= a+ b+ c. ? ? ? ? 2 2 2

求证:AB1=A1C. → → → → → → 证明:∵A1C=A1C1+C1C,BC1=BC+CC1, → → → → → → → → → A1C· 1=(A1C1+C1C)· +CC1)=A1C1· -C1C2=0, BC (BC BC → → → ∴C1C2=A1C1· . BC → → → → → → 同理AB1=AB+BB1,BC1=BB1+B1C1, → → → → → AB1· 1=AB· +CC12=0, BC BC → → → ∵C1C2=A1C1· , BC → → → → ∴AB· +A1C1· =0. BC BC → → → → → 又A1C1=AC,∴BC· +AC)=0. (AB → → → 设 D 为 BC 的中点,则AB+AC=2AD, → → ∴2BC· =0,∴BC⊥AD, AD ∴AB=AC.又 A1A=B1B,∴A1C=AB1. → → → 12.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P 分别是 AA1,BC, C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:

→ → → → (1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1. 分析:本题主要考查空间向量分解的基本原理和空间向量加减运算的几何意义. 解析:(1)∵P 是 C1D1 的中点, 1→ 1 → → → → → 1 → ∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ D1C1=a+c+ AB=a+c+ b. 2 2 2 (2)∵N 是 BC 的中点,
5



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