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几个常用函数的导数


§3.2.1 几个常用函数的导数
[目标]:

( 1 课时)
1 的 x

应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 2 、 y ? 导数公式; [重点]: 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 2 、 y ? [难点]: 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 2 、 y ? 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y 所以 y? ? lim ? lim 0 ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?0
1 的导数公式 x
1 的导数公式及应用 x

函数

导数

y?c
2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y 所以 y? ? lim ? lim 1 ? 1 ?x ?0 ?x ?x ?0

函数

导数

y?x

3.函数 y ? f ( x) ? x 2 的导数 因为
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x x 2 ? 2 x?x ? (?x) 2 ? x 2 ? ? 2 x ? ?x ?x

所以 y? ? lim

?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
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第 -1- 页 共 4 页

函数
y ? x2

导数

4.函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x
? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x

所以 y? ? lim

?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x ? ?x x

函数
y?

导数

1 x 总结:利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的三个步骤:作差, 求商,取极限。

[预习自测] 1、 y? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态. 2、已知函数 y ? , (1)求出曲线在点 (1,1) 处的切线方程.
1 x

(2)求出曲线在点 (1, 2) 处的切线方程.

(3)求过曲线上点 (1,1) 且与过这点的切线垂直的直线方程.

探究一:求导数
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第 -2- 页 共 4 页

例 1:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2x, y ? 3x, y ? 4x 的图象,并根据 导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关?

探究二:切线方程 例 2:求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程。

[当堂检测] 1、 f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 2、已知 f ( x) ? x 2 ,则 f ?(3) ? ( ) A.0 B.2 x C.6

D.不确定 D.9

? 3、 在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 的点为( ) 4 1 1 1 1 A. (0,0) B. (2, 4) C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4
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第 -3- 页 共 4 页

4、 过曲线 y ? 上点 (2, ) 且与过这点的切线垂直的直线方程是 5.、物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为 速度为 . ,在 t ? 4 时的

1 x

1 2

[拓展提升] 1、 已知圆面积 S ? ? r 2 ,根据导数定义求 S ?(r ) 。

2、求曲线 y ? x 2 ? 1 在(1,2)处的切线方程。

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