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浙江省衢州市五校联考2015届高三上学期期中数学试卷(文科)



浙江省衢州市五校联考 2015 届高三上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)已知向量 =(1,﹣2) , =(﹣ ,y) ,若 ∥ ,则 y=() A.1 B.﹣1 C. 2 ”是“ ”的() B. 必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
x

D.﹣2

>
2. (5 分)已知 是实数,则“ A.充分而不必要条件 C. 充要条件

3. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)

D.(1,2)

4. (5 分)数列{an}为等差数列,若 a2+a8= π,则 tan(a3+a7)的值为() A. B. ﹣ C. D.﹣

5. (5 分)sin(600°)的值为() A. B. C. D.

6. (5 分)已知函数 f(x)= A.x0=0 B.x0=8

,若 f(x0)=3,则 x0 的值为() C.x0=8 或 x0=0 ,α∈(0,π) ,则 tanα=() C. D. D.x0=6 或 x0=0

7. (5 分)已知 sinα﹣cosα= A.1 B.﹣1

8. (5 分)要得到函数 A.向左平移 C. 向左平移 个长度单位 个长度单位

的图象,可由函数 y=cos2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位

9. (5 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,若 sinA、sinB、sinC 依次成等 比数列,则()

A.a,b,c 依次成等差数列 C. a,c,b 依次成等差数列

B. a,b,c 依次成等比数列 D.a,c,b 依次成等比数列 )的最小正周期是

10. (5 分)若函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R(其中 ω>0, π,且 A. ,则() B. C. D.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分)已知集合 A={x∈N|x﹣3≤0},B={x∈Z|x +x﹣2≤0},则 A∪B=. 12. (4 分)已知实数 a,b 满足等式 log2a=log3b,给出下列五个关系式:①a>b>1;②b >a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能成立的关系式是. 13. (4 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 A= 则△ ABC 的面积等于. ,且 =4,
2

14. (4 分)等比数列{an}中,S4=5S2,则

=.

15. (4 分)在平面直角坐标系中, 三点 A、B、C 满足 = +2 ,

分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量,平面内 ,则实数 m 的值为.

=2 +m ,∠BAC=

16. (4 分)平面向量 , , 满足 =(1,0) , =(1,m) , =(2,n) ,| ﹣ |=2,则 ? 的最小值为. 17. (4 分)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈时,f(x)=x,若在区间内,方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,且 k≠1)有 4 个零点,则 k 取值范围是.

三、解答题:本大题共 5 题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 18. (14 分)已知{an}是递增的等差数列,a1=2,a2 =a4+8. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)若 bn=2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 19. (14 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,已知 cos2A=﹣ .

(1)求 sinA; (2)当 c=2,2sinC=sinA 时,求△ ABC 的面积.

20. (14 分)已知函数 f(x)=

,x∈时,求函数 f(x)的值域.

22. (15 分)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)=x|x+m|. (1)解不等式 f(x)≥x; (2)对任意 x1,x2∈,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2,求实数 a 的取值范围.

浙江省衢州市五校联考 2015 届高三上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)已知向量 =(1,﹣2) , =(﹣ ,y) ,若 ∥ ,则 y=() A.1 B.﹣1 C. 2 D.﹣2

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的共线的充要条件列出方程求解即可. 解答: 解:向量 =(1,﹣2) , =(﹣ ,y) ,若 ∥ , 所以﹣2× =y,解得 y=1.

故选:A. 点评: 本题考查向量的共线条件的应用,基本知识的考查.

2. (5 分)已知 是实数,则“ A.充分而不必要条件 C. 充要条件

”是“ ”的() B. 必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 观察“ ”与“ ”的关系,根据充分必要条件的定义判断.

解答: 解:∵ 是实数,

∴“

”不一定有“ ”, ” ”是“ ”的既不充分又不必要条件,

∵“ ”不一定有“

∴根据充分必要条件的定义可判断:“

故选:D 点评: 本题考查了充分必要条件的定义,属于容易题. 3. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

考点: 函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据函数零点的判定定理求得函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间. 解答: 解:由 ,以及及零点定理知,f(x)的零点

在区间(﹣1,0)上, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题.

4. (5 分)数列{an}为等差数列,若 a2+a8= π,则 tan(a3+a7)的值为() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质得,a3+a7=a2+a8,代入 tan(a3+a7)求值即可. 解答: 解:由等差数列的性质得,a3+a7=a2+a8= π, 所以 tan(a3+a7)=tan π=﹣ ,

故选:D. 点评: 本题考查等差数列的性质,以及特殊角的三角函数值,属于基础题. 5. (5 分)sin(600°)的值为() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式 sin(600°)=﹣sin(120°)即可求得答案.

解答: 解:sin(600°)=sin(720°﹣120°)=sin(﹣120°)=﹣sin(120°)=﹣ 故选:C. 点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,属于基础题.



6. (5 分)已知函数 f(x)= A.x0=0 B.x0=8

,若 f(x0)=3,则 x0 的值为() C.x0=8 或 x0=0 D.x0=6 或 x0=0

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 x≤0 时,3 ≤3 =3,可得 x0=0 满足 f(0)=3.当 x>0 时,令 log2x=3,解得 x 即可. x+1 1 解答: 解:当 x≤0 时,3 ≤3 =3,当且仅当 x=0 取等号,因此 x0=0 满足 f(0)=3. 当 x>0 时,令 log2x=3,解得 x=8,满足 f(x0)=3. 综上可得:x0=0 或 8. 故选:C. 点评: 本题考查了分段函数的定义、 综上函数与对数的运算及其性质、 分类讨论的思想方 法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 7. (5 分)已知 sinα﹣cosα= A.1 B.﹣1 ,α∈(0,π) ,则 tanα=() C. D.
x+1 1

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用辅助角公式可得 sinα﹣cosα= 而 α∈(0,π) ,从而可得 tanα 的值. 解答: 解:∵sinα﹣cosα= ∴sin( ∴ ∴α=2kπ+ ∴tanα=tan )=1, =2kπ+ (k∈Z) , ( sinα﹣ cosα)= sin( )= , sin( )= ,即 sin( )=1,

(k∈Z) ,α∈(0,π) , =﹣1,

故选:B. 点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用, 着重考查辅助角公式的应用, 属于中档题.

8. (5 分)要得到函数 A.向左平移 C. 向左平移 个长度单位 个长度单位

的图象,可由函数 y=cos2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数 的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:把函数 y=cos2x 的图象向右平移 =cos(2x﹣ )的图象, 个长度单位,可得函数数 y=cos2(x﹣ )

故选:D. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+ φ)的图象变换规律,属于基础题. 9. (5 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,若 sinA、sinB、sinC 依次成等 比数列,则() A.a,b,c 依次成等差数列 B. a,b,c 依次成等比数列 C. a,c,b 依次成等差数列 D.a,c,b 依次成等比数列 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比中项的性质得:sin B=sinAsinC,由正弦定理得 b =ac,则三边 a,b,c 成等比数列. 解答: 解:因为 sinA、sinB、sinC 依次成等比数列, 所以 sin B=sinAsinC, 2 由正弦定理得,b =ac, 所以三边 a,b,c 依次成等比数列, 故选:B. 点评: 本题考查等比中项的性质,以及正弦定理的应用,属于基础题. 10. (5 分)若函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R(其中 ω>0, π,且 A. ,则() B. C. D.
2 2 2

)的最小正周期是

考点: 三角函数的周期性及其求法. 分析: 先根据最小正周期求出 ω 的值,再由 围可确定出答案. 解答: 解:由 .由 求出 sinφ 的值,再根据 φ 的范 .





故选 D 点评: 本题主要考查三角函数解析式的确定.属基础题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分)已知集合 A={x∈N|x﹣3≤0},B={x∈Z|x +x﹣2≤0},则 A∪B={﹣2,﹣1,0,1, 2,3}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别求解一次不等式和二次不等式化简集合 A, B, 然后直接利用并集运算得答案. 解答: 解:∵A={x∈N|x﹣3≤0}={0,1,2,3}, 2 B={x∈ Z|x +x﹣2≤0}={﹣2,﹣1,0,1}, 则 A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}. 故答案为:{﹣2,﹣1,0,1,2,3}. 点评: 本题考查了并集及其运算,考查了不等式的解法,是基础题. 12. (4 分)已知实数 a,b 满足等式 log2a=log3b,给出下列五个关系式:①a>b>1;②b >a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能成立的关系式是②④⑤. 考点: 对数函数的定义. 专题: 数形结合. 分析: 在同一坐标系中做出 y=log2x 和 y=log3x 两个函数的图象,结合图象求解即可. 解答: 解:实数 a,b 满足等式 log2a=log3b,即 y=log2x 在 x=a 处的函数值和 y=log3x 在 x=b 处的函数值相等, 当 a=b=1 时,log2a=log3b=0,此时⑤成立 做出直线 y=1,由图象知,此时 log2a=log3b=1,可得 a=2,b=3,由此知②成立,①不成立 作出直线 y=﹣1,由图象知,此时 log2a=log3b=﹣1,可得 a= ,b= ,由此知④成立,③ 不成立 综上知②④⑤ 故答案为:②④⑤.
2

点评: 本题考查对数函数图象的应用,考查数形结合思想的应用. 13. (4 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 A= 则△ ABC 的面积等于 2 .

,且

=4,

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知 A= ,且 =4,根据向量数量积的公式算出 AB×AC=8.再利用正弦

定理的面积公式,即可算出△ ABC 的面积. 解答: 解:∵A= ,且 =4,∴AB×AC×ccosA=4,得 AB×AC=8 =2 ;

因此,△ ABC 的面积 S= AB×ACsinA= ×8×

故答案为:2 . 点评: 本题考查了平面向量得数量积得运用以及求三角形的面积等知识,属于基础题.

14. (4 分)等比数列{an}中,S4=5S2,则

=0 或



考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的前 n 项和公式,对公比 q 分类讨论分别化简 S4=5S2,利用整体思 想求出 q 的值,利用等比数列的通项公式化简 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,且 S4=5S2, 当 q=1 时,4a1=5×2a1,解得 a1=0,舍去; 当 q≠1 时,
4 2 2

,再代入求出即可.

=5×
2 2



化简得,q ﹣5q +4=0,解得 q =4 或 q =1, 当 q =4 时,
2

=

=



当 q =1 时,

2

=

=0,

故答案为:0 或



点评: 本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式,以及整体思想,注意需要对 q 分类 讨论,考查化简计算能力.

15. (4 分)在平面直角坐标系中, 三点 A、B、C 满足 = +2 ,

分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量,平面内 ,则实数 m 的值为﹣1.

=2 +m ,∠BAC=

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由于∠BAC= 解答: 解:∵ ∴ ,可得 =2+2m=0,解出即可. =(2,m) ,∠BAC= ,

=(1,2) ,

=2+2m=0,

解得 m=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系,属于基础题.

16. (4 分)平面向量 , , 满足 =(1,0) , =(1,m) , =(2,n) ,| ﹣ |=2,则 ? 的最小值为 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: 由于| ﹣ |=2,可得(m﹣n) =3.只考虑 mn<0.不妨取 n>0,m<0.利用向 量的数量积运算、基本不等式可得 ? =2+mn=2﹣(﹣m)n≥2﹣( 解答: 解:由 =(1,m) , =(2,n) ,| ﹣ |=2, 则
2 2

) 即可得出.

2

=2,

即有(m﹣n) =3, 只考虑 mn<0.不妨取 n>0,m<0. 则 ? =2+mn=2﹣(﹣m)n≥2﹣( =2﹣ = . 当且仅当﹣m=n= 故答案为: . 时,取得最小值 . )
2

点评: 本题考查了向量的数量积运算、 基本不等式的性质, 考查了分析问题与解决问题的 能力,考查了推理能力与计算能力. 17. (4 分)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈时,f(x)=x,若在区间内,方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,且 k≠1)有 4 个零点,则 k 取值范围是(﹣ ,0) .

考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质;函数零点的判定定理. 专题: 计算题;综合题. 分析: 在同一坐标系内作出 y=f(x)图象和动直线 l:y=kx+k+1,观察直线 l 可得:当已 知方程有 4 个零点时直线 l 的活动范围应该在图中两条虚线之间, 从而通过求直线斜率得到 k 取值范围. 解答: 解:∵偶函数 f(x)当 x∈时,f(x)=x, ∴当 x∈时图象与 x∈时关于 y 轴对称, 故 x∈时 f(x)=﹣x, 又∵f(x)是以 2 为周期的函数, ∴将函数 f(x)在上的图象向左和向右平移 2 的整数倍个单位,可得 f(x)在 R 上的图象. ∵直线 l:y=kx+k+1 经过定点(﹣1,1) ,斜率为 k ∴直线 l 的图象是经过定点(﹣1,1)的动直线. (如右图) 在同一坐标系内作出 y=f(x)和动直线 l:y=kx+k+1,当它们有 4 个公共点时, 方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,且 k≠1)有 4 个零点, ∴直线 l 的活动范围应该介于两条虚线之间, 而两条虚线的斜率 k1=0,k2= 故答案为: (﹣ ,0) =﹣ ,故直线 l 的斜率 k∈(﹣ ,0)

点评: 本题给出已知函数图象与动直线有 4 个公共点, 求斜率 k 的取值范围, 着重考查了 函数的周期性、奇偶性和直线的斜率等知识点,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 18. (14 分)已知{an}是递增的等差数列,a1=2,a2 =a4+8. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)若 bn=2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)设等差数列的公差为 d,d>0.由 题意得(2+d) =2+3 d+8,d +d﹣6=(d+3) (d﹣2)=0,由此能求出数列{an}的通项公式. 2n n (2)由 bn=2 =4 ,能求出数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)设等差数列的公差为 d,d>0. 2 2 由题意得(2+d) =2+3d+8,d +d﹣6=(d+3) (d﹣2)=0, 得 d=2.…(4 分) 故 an=a1+(n﹣1)?d=2+(n﹣1)?2=2n, 得 an=2n.…(7 分) 2n n (2)∵bn=2 =4 ∴Sn=b1+b2+…+bn = = .…(14 分)

2

2

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时 要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用. 19. (14 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,已知 cos2A=﹣ . (1)求 sinA; (2)当 c=2,2sinC=sinA 时,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理的应用;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (1)由 cos2A=﹣ ,利用倍角公式可得 得 sinA>0. 解得 sinA= . .由于 a>c,可得 ,由于 A∈(0,π) ,可

(2)由于 c=2,2sinC=sinA,由正弦定理可得 a=2c=4.sinC=
2 2 2

.由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC,解得 b,利用△ ABC 的面积 S= 即可得出.

解答: 解: (1)∵cos2A=﹣ , ∴ ,化为 sin A= ,
2

∵A∈(0,π) ,∴sinA>0. ∴sinA= .

(2)∵c=2,2sinC=sinA,由正弦定理可得 a=2c=4. ∴sinC= .

∵a>c,∴cosC>0.


2

=
2 2



由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC, ∴ 化为 ∴△ABC 的面积 S= , ,解得 b= = 或2 或 . .

点评: 本题考查了正弦定理与余弦定理的应用, 考查了同角三角函数基本关系式、 倍角公 式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (14 分)已知函数 f(x)=

,x∈时,求函数 f(x)的值域.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;数量积的坐标表达式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1) 先求得 f (x) =2sin (2x﹣ 即可解得:﹣ +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z; ≤ ,从而得 ≤2sin(2x﹣ )≤2. ) , 由﹣

(2)x∈时,可求得

≤2x﹣

解答: 解:f(x)= ? = (1)令﹣

sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣

)﹣﹣﹣﹣﹣﹣3 分 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z

得:﹣

∴函数 f(x)的单调增区间为: ,k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7 分 (2)x∈时, ∴ ≤2x﹣ ≤ ,

≤2sin(2x﹣

) ≤2

∴当 x∈时,函数 f(x)的值域为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣15 分 点评: 本题主要考察了数量积的坐标表达式, 三角函数中的恒等变换应用, 属于基本知识 的考查. 22. (15 分)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)=x|x+m|. (1)解不等式 f(x)≥x; (2)对任意 x1,x2∈,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的性质;二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意先求出 m,代入求函数解析式;

(1)由 x|x|≥x 可得



,从而解不等式;

(2)由 f(x)=

可知 f(x)在 R 上单调递增,从而化对任意 x1,x2∈,总有

|f(x1)﹣f(x2)|≤2 为 f(1+a)﹣f(1)≤2,从而解得. 解答: 解:∵f(x)=x|x+m|是定义域为 R 的奇函数, ∴m=0, ∴f(x)=x|x|; (1)由 x|x|≥x 得, 或 ;

解得,x≥1 或﹣1≤x≤0, 故不等式的解集为{x|x≥1 或﹣1≤x≤0}; (2)f(x)= ,

则 f(x)在 R 上单调递增, ∴f(x)在上单调递增, ∴f(1+a)﹣f(1)≤2, 即(1+a)|1+a|﹣1≤2, 又∵1+a>1, ∴0<a< ﹣1. 点评: 本题考查了分段函数的应用,属于中档题.



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