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2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷



2009 文科数学(必修+选修Ⅰ)
(1) sin 585 o 的值为(A) ?
2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。 解: s

in 585
o

? sin( 360

o

? 225 ) ? sin( 180
o

o

? 45 ) ? ? sin 45
o

o

? ?

2 2

,故选择 A。

(2)设集合 A={4,5,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 U ? A ? B ,则集合 ?U ( A ? B ) 中 的元素共有(A) 3 个 (B) 4 个 (C)5 个 (D)6 个 【解析】本小题考查集合的运算,基础题。 (同理 1) 解: A ? B ? {3, 4, 5, 7, 8, 9} , A ? B ? {4, 7, 9} ? ?U ( A ? B ) ? {3, 5, 8} 故选 A。也可用摩根 定律: 痧 ( A ? B ) ? ( U (3)不等式
x?1 x?1
U

A) ? (

U

B)

? 1 的解集为

(A)? x 0 ? x ?1? ? ? x x ? 1?

(B)? x 0 ? x ?1? (C)

? x ? 1? x ? 0 ?

(D)? x x ? 0?

【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式,基础题。 解:
x?1 x?1 ? 1 ? | x ? 1 |? | x ? 1 | ? ( x ? 1 ) ? ( x ? 1 ) ? 0 ? 4 x ? 0 ? x ? 0 ,
2 2

故选择 D。 (4)已知 tan a =4,cot ? = (A)
7 11 1 3

,则 tan(a+ ? )=
7 13

(B) ?

7 11

(C)

(D) ?

7 13

【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基础题。 解:由题 tan ? ? 3 , tan( ? ? ? ) ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? ? 4?3 1 ? 12 ? ? 7 11

,故选择 B。

(5)设双曲线

x a

2 2



y b

2 2

= 1 ? a> 0, b> 0 ? 的渐近线与抛物线 y= x +1 相切,则该双曲线的
2

离心率等于(A) 3

(B)2

(C) 5

(D) 6

【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率,

基础题。解:由题双曲线

x a

2 2



y b

2 2

= 1 ? a> 0, b> 0 ? 的一条渐近线方程为 y ?

bx a

,代入抛

物 线方程整 理得 ax 2 ? bx ? a ? 0 , 因渐近 线与抛物 线相切 ,所以 b 2 ? 4 a 2 ? 0 , 即
c
2

? 5a

2

? e ?

5 ,故选择 C。

(6)已知函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x )=1+ 2lgx ? x> 0 ? ,则 f (1 ) ? g (1 ) ? (A)0 (B)1 (C)2 (D)4

【解析】本小题考查反函数,基础题。解:由题令 1 ? 2 lg x ? 1 得 x ? 1 ,即 f (1 ) ? 1 , 又 g (1 ) ? 1 ,所以 f (1 ) ? g (1 ) ? 2 ,故选择 C。 (7)甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学,若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种

【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题,基础题。
2 1 1 1 1 2 解:由题共有 C 5 C 6 C 2 ? C 5 C 3 C 6 ? 345 ,故选择 D。

(8)设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |? | b |? | c |, a ? b ? c ,则 ? a , b ?? (A)150° (B)120° (C)60° (D)30°

【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。 解:由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起点处 的对角线长等于菱形的边长,故选择 B。 (9)已知三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 A B C 上的射影为 B C 的中点,则异面直线 A B 与 C C 1 所成的角的余弦值为
3 4 5 4 7 4
3 4

(A)

(B)

(C)

(D)

【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角,基础题。 (同理 7) 解:设 B C 的中点为 D,连结 A1 D,AD,易知 ? ? ? A1 A B 即为异面直线 A B 与 C C 1 所成的 角,由三角余弦定理,易知 c os ? ? cos ? A1 A D ? co s ? D A B ?
AD A1 A ? AD AB ? 3 4

.故选 D

(10) 如果函数 y ? 3 cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( (A)
?
6

4? 3

, 0 ) 中心对称,那么 ? 的最小值为

(B)

?
4

(C)

?
3

(D)

?
2

【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。 解: ? 函数 y= 3 cos ? 2 x+ ? ? 的图像关于点 ?
?2? 4? 3 ? ? ? k? ?

? 4?

? , 0 ? 中心对称 ? 3 ?
( k ? Z ) 由此易得 | ? | m in ?

?
2

? ? ? k? ?

1 3? 6

?
6

.故选 A

(11)已知二面角 ? ? l ? ? 为 600 ,动点 P、Q 分别在面 ? , ? 内,P 到 ? 的距离为 3 ,Q 到 ? 的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为 【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题,综合题。 (同理 10) 解:如图分别作 QA ? ? 于 A , AC ? l 于 C , PB ? ? 于 B ,
PD ? l 于 D ,连 C Q , BD 则 ? AC Q ? ? PBD ? 60 ? ,
AQ ? 2 3, BP ? 3 ,? A C ? P D ? 2
2

又? PQ ?

AQ ? AP
2

?

12 ? AP ? 2 3
2

当且仅当 A P ? 0 ,即 点 A与 点 P 重合时取最小值。故答案选 C。
x
2

(12)已知椭圆 C :

? y ? 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B。若
2

2

??? ? ??? ? ???? FA ? 3FB ,则 A F =

(A)

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础题。
??? ? ??? ? 解:过点 B 作 B M ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 FA ? 3 FB ,
2 3
10 7 3 3

故 | B M |?

.又由椭圆的第二定义,得 | B F |?

2 2 2 ?| A F |? ? ? 2 3 3
7

2 .故选 A

(13) ( x ? y ) 的展开式中, x y 的系数与 x y 的系数之和等于_____________. 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 (同理 13)
r r 10 ? r r 3 7 3 y 所以有 ? C 10 ? ( ? C 10 ) ? ? 2 C 10 ? ? 240 解: 因 T r ? 1 ? ( ? 1 ) C 10 x

(14)设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n 。若 S 9 ? 72 ,则 a 2 ? a 4 ? a 9 ? _______________. 【解析】本小题考查等差数列的性质、前 n 项和,基础题。 (同理 14) 解: ? ? a n ? 是等差数列,由 S 9 ? 72 ,得? S 9 ? 9 a 5 , a 5 ? 8
? a 2 ? a 4 ? a 9 ? ( a 2 ? a 9 ) ? a 4 ? ( a 5 ? a 6 ) ? a 4 ? 3 a 5 ? 24 。

(15)已知 O A 为球 O 的半径,过 O A 的中点 M 且垂直于 O A 的平面截球面得到圆 M ,若圆
M 的面积为 3? ,则球 O 的表面积等于__________________.

【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积,基础题。 解:设球半径为 R ,圆 M 的半径为 r ,则 ? r 2 ? 3? ,即 r 2 ? 3 由题得 R ? (
2

R 2

) ? 3,
2

所以 R 2 ? 4 ? 4? R 2 ? 16 ? 。 (16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 , 则 m 的倾斜角可以是 ① 15 ? ② 30 ? ③ 45 ? ④ 60
?

⑤ 75 ?

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思 想。 解:两平行线间的距离为 d ?
|3?1| 1?1 ? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30 , l 1 的倾斜
o

角为 45 o ,所以直线 m 的倾斜角等于 30 o ? 45 0 ? 75 0 或 45 o ? 30 0 ? 15 0 。故填写①或⑤ (17)设等差数列{ a n }的前 n 项和为 s n ,公比是正数的等比数列{ b n }的前 n 项和为 T n ,已 知 a1 ? 1, b1 ? 3, a 3 ? b3 ? 17, T3 ? S 3 ? 12, 求 {a n },{b n } 的通项公式. 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和,基础题。 解:设 ?a n ? 的公差为 d ,数列 ?b n ? 的公比为 q ? 0 , 由 a 3 ? b3 ? 17 得 1 ? 2 d ? 3 q ? 17
2

① ②

T3 ? S 3 ? 12 得 q ? q ? d ? 4
2

由①②及 q ? 0 解得 q ? 2 , d ? 2 故所求的通项公式为 a n ? 1 ? 2( n ? 1) ? 2 n ? 1, b n ? 3 ? 2 n ?1 。 (18) 在 ? A B C 中 , 内 角 A、 B、 C 的 对 边 长 分 别 为 a、 b、 c . 已 知 a 2 ? c 2 ? 2 b , 且
s i nB ? 4 c o A s s Cn i ,求 b .

【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解:由余弦定理得 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2 bc cos A , 又 a ? c ? 2b, b ? 0 ,
2 2

b ? 2 bc cos A ? 2 b ,
2

即 b ? 2 c cos A ? 2 由正弦定理得 又由已知得
sin B sin C b c ? sin B sin C



s i nB ?

4 cos A

sCi n

? 4 co s A ,

所以 b ? 4 c co s A 故由①②解得
b ? 4



(19 如图,四棱锥 S ? A B C D 中,底面 A B C D 为矩形, S D ? 底面
A B C D , AD ?
? ABM ? 60
?

2 , D C ? SD ? 2 , 点 M 在 侧 棱 S C 上 ,

(Ⅰ)证明: M 是侧棱 S C 的中点; (Ⅱ)求二面角 S ? A M ? B 的大小。 (同理 18) 解法一: (I) 作 M E ∥ C D 交 S D 于点 E,则 M E ∥ A B , M E ? 平面 SAD 连接 AE,则四边形 ABME 为直角梯形 作 M F ? A B ,垂足为 F,则 AFME 为矩形 设 M E ? x ,则 SE ? x , AE ?
ED ? AD
2 2

?

(2 ? x ) ? 2
2

M F ? AE ?

(2 ? x ) ? 2 , FB ? 2 ? x
2

由 M F ? FB ? tan 60。 得 (2 ? x ) 2 ? 2 ? , 解得 x ? 1 即 M E ? 1 ,从而 M E ?
1 2 DC

3 (2 ? x )

所以 M 为侧棱 S C 的中点 (Ⅱ) M B ?
BC ? M C
2 2

? 2 ,又 ? A B M ? 60 , A B ? 2 ,所以 ? A B M 为等边三角形,
?

又由(Ⅰ)知 M 为 SC 中点
SM ? 2 , SA ? 6 , A M ? 2 ,故 SA ? SM
2 2

? A M , ? SM A ? 90
2

?

取 AM 中点 G, 连结 BG, SA 中点 H, 取 连结 GH, B ? G , A ? 则G A H M M 为二面角 S ? A M ? B 的平面角 连接 B H ,在 ? B G H 中,
BG ? 3 2
2

,由此知 ? B G H

AM ?

3,GH ?

1 2

SM ?

2 2

, BH ?

AB ? AH
2

2

?

22 2

所以 cos ? B G H ?

BG ? GH

2

? BH

2

2 ? BG ? GH

??

6 3

二面角 S ? A M ? B 的大小为 arccos( ?

6 3

)

(20 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假 设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,综 合题。 记 解: “第 i 局甲获胜” 为事件 A i ( i ? 3 , 4 , 5 ) , 第 j 局乙获胜” “ 为事件 B j ( j ? 3, 4, 5) 。 (Ⅰ)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则
A ? A 3 ? A 4 ? B 3 ? B 4 ,由于各局比赛结果相互独立,故

P ( A ) ? P ( A3 ? A4 ? B 3 ? B 4 ) ? P ( A3 ? A4 ) ? P ( B 3 ? B 4 ) ? P ( A3 ) P ( A4 ) ? P ( B 3 ) P ( B 4 )

? 0 . 6 ? 0 . 6 ? 0 . 4 ? 0 . 4 ? 0 . 52

(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B,因前两局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得 这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局,从而
B ? A 3 ? A 4 ? B 3 ? A 4 ? A 5 ? A 3 ? B 4 ? A 5 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P ( B ) ? P ( A3 ? A4 ? B 3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B 4 ? A5 )
? P ( A3 ? A4 ) ? P ( B 3 ? A4 ? A5 ) ? P ( A3 ? B 4 ? A5 ) ? P ( A3 ) P ( A4 ) ? P ( B 3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) ? P ( A3 ) P ( B 4 ) P ( A5 ) ? 0 . 6 ? 0 . 6 ? 0 . 4 ? 0 . 6 ? 0 . 6 ? 0 . 6 ? 0 . 4 ? 0 . 6 ? 0 . 648

(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 6 .
4 2

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设点 P 在曲线 y ? f ( x ) 上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方 程【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性,综合题。 解: (Ⅰ) f '( x ) ? 4 x 3 ? 6 x ? 4 x ( x ?
6 2 6 2 6 2 )( x ? 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2

)

令 f '( x ) ? 0 得 ?

? x ? 0或x ?



令 f '( x ) ? 0 得 x ? ?

或0 ? x ?

因此, f ?x ? 在区间 (?

,0 ) 和 (

, ?? ) 为 增 函 数 ; 在 区 间 ( ?? , ?

)和

(0,

6 2

) 为减函数。

(Ⅱ)设点 P ( x 0 , f ( x 0 )) ,由 l 过原点知, l 的方程为 y ? f '( x 0 ) x ,
4 2 3 因此 f ( x 0 ) ? x 0 f '( x 0 ) ,即 x 0 ? 3 x 0 ? 6 ? x 0 ( 4 x 0 ? 6 x 0 ) ? 0 ,

2 2 整理得 ( x 0 ? 1 )( x 0 ? 2 ) ? 0 ,

解得 x 0 ? ? 2 或 x 0 ?

2

因此切线 l 的方程为 y ? ? 2 x 或 y ? 2 2 x (22) 如图,已知抛物线 E : y ? x 与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r ( r ? 0) 相交于 A、B、C、D
2 2 2 2

四个点。 (Ⅰ)求 r 的取值范围 (Ⅱ)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC、BD 的交 点 P 的坐标。 解: (Ⅰ) 将抛物线 E : y ? x 代入圆 M : ( x ? 4) ? y ? r ( r ? 0) 的
2 2 2 2

方程,消去 y , 整理得 x 2 ? 7 x ? 16 ? r 2 ? 0 ①

2

E 与 M 有四个交点的充要条件是:方程①有两个不相等的正根 x1、 x 2

? ? ? ( ? 7 ) 2 ? 4(16 ? r 2 ) ? 0 ? 由此得 ? x1 ? x 2 ? 7 ? 0 ? 2 ? x1 ? x 2 ? 16 ? r ? 0

解得

15 4

? r ? 16
2

又r ? 0 所以 r 的取值范围是 (
15 2

, 4)

(II) 设四个交点的坐标分别为 A ( x1 , x1 ) 、B ( x1 , ? x1 ) 、C ( x 2 , ? x 2 ) 、D ( x 2 ,
2 则由(I)根据韦达定理有 x1 ? x 2 ? 7, x1 x 2 ? 16 ? r , r ? (

x2 ) 。

15 2

, 4)

则S ?
2

1 2

? 2 ? | x 2 ? x1 | ( x1 ?
2

x 2 ) ? | x 2 ? x1 | ( x1 ?

x2 )
2 2

? S ? [( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]( x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ) ? (7 ? 2 16 ? r )(4 r ? 15)
2 令 16 ? r ? t ,则 S ? (7 ? 2 t ) (7 ? 2 t )
2 2

下面求 S 2 的最大值。

方法 1:由三次均值有:

S

2

? (7 ? 2 t ) (7 ? 2 t ) ?
2

(7 ? 2 t )(7 ? 2 t )(1 4 ? 4 t ) 2 1 7 ? 2t ? 7 ? 2t ? 14 ? 4t 3 1 28 3 ? ( ) ? ?( ) 2 3 2 3 7 6

1

当且仅当 7 ? 2 t ? 1 4 ? 4 t , t ? 即

时取最大值。 经检验此时 r ? (

15 2

, 4) 满足题意。

方法 2:设四个交点的坐标分别为 A ( x1 , x1 ) 、 B ( x1 , ? x1 ) 、 C ( x 2 , ? x 2 ) 、 D ( x 2 , 则直线 AC、BD 的方程分别为
y? x1 ? ? x2 ? x 2 ? x1 x1 ( x ? x 1 ), y ? x1 ? x2 ? x1 ( x ? x1 )

x2 )

x 2 ? x1

解得点 P 的坐标为 ( x 1 x 2 , 0 ) 。 设t ?
x 1 x 2 ,由 t ? 16 ? r
2

及(Ⅰ)得 t ? (0, )
2

7

由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积
S ? 1 2 (2 x1 ? 2 x 2 ) | x1 ? x 2 |

则S

2

? ( x 1 ? 2 x 1 x 2 ? x 2 )[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ]
2

将 x1 ? x 2 ? 7 ,
2

x 1 x 2 ? t 代入上式,并令 f ( t ) ? S ,得
2

f ( t ) ? ( 7 ? 2 t ) ( 7 ? 2 t ) ? ? 8 t ? 28 t ? 98 t ? 343 ( 0 ? t ?
3 2

7 2

),

∴ f '( t ) ? ? 24 t ? 56 t ? 98 ? ? 2(2 t ? 7 )(6 t ? 7 ) ,
2

令 f '( t ) ? 0 得 t ?

7 6

,或 t ? ?

7 2

(舍去)

当0 ? t ?

7 6

时, f '( t ) ? 0 ;当 t ?

7 6

时 f '( t ) ? 0 ;当

7 6

? t ?

7 2

时, f '( t ) ? 0

故当且仅当 t ?

7 6

时, f ( t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,故所求的点 P 的坐标

7 为 ( ,0 ) 6



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