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椭圆及其标准方程



2.1.1椭圆及其标准方程

圆锥曲线的产生

生活中 的椭圆

——“传说中的”飞碟

复习引入

1.动点M,到定点的距离等于定长,动点 P的运动轨迹是什么图形?
2.圆的标准方程是什么?

?x - a?

2<

br />
+ ? y - b? = r
2

2

圆心? a, b?,半径r

3.动点M,到平面内两个定点的距离之和 等于定长,动点P的运动轨迹是什么图形?

新课讲解

数学小实验

动点M,到平面内两个定点的距离之和等 于定长,动点P的运动轨迹是什么图形?

椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离之 和等于常数(大于|F1F2|)的动点M的 轨迹叫做椭圆。 ? M
F1 F2

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距 |F1F2|=2 c 。 几点说明:
1、若|MF1| + |MF2| = 2a > |F1F2|=2 c .则M点的轨迹是椭圆. 2、若|MF1| + |MF2| = 2a = |F1F2|=2 c ,则M点的轨迹是线段 F1F2. 3、若|MF1| + |MF2| = 2a < |F1F2|=2 c ,则M点的轨迹不存在.

知识运用
练习 1.用定义判断下列动点 M 的轨迹是否为椭圆。 (1)到 F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为 6 的点的轨迹。 (2)到 F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为 4 的点的轨迹。 (3)到 F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为 3 的点 2、 已知 B、C 是两个定点, BC ? 6 ,以线段 BC 为一边画三角形, 试问满足条件“ ? ABC 的周长为 20”的顶点 A 的轨迹是什么样的图 形?为什么?

探究:如何建立椭圆的方程?
建式 系 列 化 设 简 点

椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值,设为2a,则2a>2c
y
P(2x , y 2 则: ? x + c ?2 + y 2 + ? x - c ? + y ) = 2a

?

? x + c?
2 2

2

, 0 ?y 2 ?c + ca , 0? O ? x -F + y 2F= c2? 1? -2
2 2

x
2

? ? x + c ? + y = 4a - 4a
2

? x - c?

2

+ y ? ? x - c ? + y2
2

? ? a2 - c2 ? x2 + a2 y2 = a2 ? a 2 - c2 ?
2 2 2

2 ?设 a2 -P cx = a x c + y ? ? ( x,y )是椭圆上任意一点

设F1 F=2 ,则有 F1(-c,0)、 F2(c,0) F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴,线段 设 a - c = b ? b > 0? 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系. x y + = 1 ? a > b > 0? 即:
2 2

a2

b2

椭圆的标准方程
y
(0,b)M (a,0) M (-a,0)

y F2 (0 , c)

F1 (-c,0)
2

O
2

O
F1 (0,-c)

F2 (c,0)
(0,-b)

x

x

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
椭圆的标准方程的几点说明:

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1
(2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)a、b、c都有特定的意义: (4)焦点在大分母变量所对应的那个轴上

知识运用
x2 y 2 例 1 (1)已知椭圆的方程为: ? ? 1 ,则: 100 36
a= 焦点坐标 , b= ,c = ,焦距等于 , . 。

(2)a=5,c=4 的椭圆标准方程是

知识运用
练习 2 判定下列椭圆的焦点在?轴,并指明 a 、b ,写出焦点坐标
2 2

x2 y 2 1 ) ? ?1 25 16

2) 9x2 ? 4 y 2 ? 36
x2 y2 3) 2 ? 2 ?1 m m ?1

小结: 先定性(焦点位置) 再定量(确定a、b、c)

知识运用
例2 1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点 P 到
x2 y 2 ? ?1 25 9

两焦点距离的和是 10;

y2 2 ? x ?1 (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 4

(3)已知椭圆两个焦点的坐标分别是 (-2,0),(2,0),并且经过点

5 3 ( , ? ) ,求椭圆的标准方程。 2 2

x2 y 2 ? ?1 10 6

知识运用
练习 3 求适合下列条件的标准方程: (1) 两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0);

(2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的 距离之和为 26.

课堂总结
1、两种标准方程及a 、b 、c 的几何意义 2、两种标准方程的求法; 定义法 、待定系数法 3、 先定性(焦点位置) 再定量(确定a、b、c)



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