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《数学归纳法及其应用》



数学归纳法
1 2 3 k k+1 n-1 n

平遥中学 史宏刚

情境一、“摸球实验”

问题1:一个盒子里有十个乒乓球,请几个同学从 盒中分别摸出一个球,并判断乒乓球的颜色,由此 猜想这盒子中所有乒乓球的颜色 1)这个猜想对吗?

2)怎样判断这个猜想是对的?
3)为什么可

以一个一个摸出来看? 4)如果是无限的呢?

情境二:

问题2:一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2 1)分别求a1 ; a2 ; a3 ; 2)由此猜想出an的值?这个猜想正确吗? 容易验证

a1=1, a2=1,, a3=1, 如果由此作出结论: 对于一切n∈N*, an=(n2-5n+5)2=1都成立,那么就 错了,因a4=1, a5=25≠1
【结论】由上面两个例子看出:由几个特殊的事例 得出一般的结论有时是对的,有时是错的,只有经 过严格的证明,不完全归纳得出的结论才是正确的

归纳法:由一些特殊事例得出一般结论的推理方 法,分为完全归纳法和不完全归纳法。
完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推 出结论的归纳法称为完全归纳法; 不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)

特例得出一般结论的推理方法.
不完全归纳法的缺憾之处:仅根据一系列有限的 特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的,因为 有可能产生不正确的结论。

问题3在数列{an }中,a1=1,
项an 的公式.
a2 ?

an?1 ?

an 1 ? an ,先计算a2 , a3 , a4的值,再推测通

1 1 1 1 , a ? , a ? , a ? (不完全归纳法) 3 4 n 解: 2 3 4 n 7n?3 ? 6(7n ? 9) 对小于6的自然数n,不等式 成立 吗? 解: 6(7n+9) 大小关系 7 n ?3

问题4

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

1 49

1 7

1 7 49

< < < < <

96 138 180 222 264 (完全归纳法)

∴对小于6的自然数n,不等式成立.

下面看一个比较熟悉的数学问题: an ? a1 ? (n ?1)d 等差数列的通项公式:
回顾等差数列通项公式推导过程: a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d 猜想an ? a1 ? (n ?1)d

问题5:
这个猜想对吗? 怎样证明?

有没有更好的方法呢?

归纳与证明: 如何证明由不完全归纳法得到的一般结论? 第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科

问 题 6

1 2 3

k k+1

多米诺骨 n-1 n
牌 2010.flv

请思考:

满足什么样的条件才能使骨牌全部倒下?

条件1:第一块要倒下; 条件2:当前面一块倒下时,后面一块必须倒下

是否满足这两个条件就可以保证所有 的骨牌倒下?

由条件 1

第1块倒下 第3块倒下

由条件 2 由条件 2

第2块倒下 第n块倒下

由条件 2

由条件 2

所有的骨牌全部倒下

骨牌是 1 块, 2 块, ……, 无数块 , 而 我们要证的等差数列的通项公式也是 , ,那么是否 要证明 n ? 1, n ? 2, ?? 成立 可将多米诺骨牌游戏的原理类比到与 正整数有关的数学命题上?

多米诺骨牌游戏的原理 (1)第一块要倒下

与正整数有关的数学命题 (1)n=1时命题成立

(2) 当前面一块倒下时, (2)假设n=k(k≥1,k?N*) 后面一块必须倒下; 成立,则n=k+1时结论也 成立。 根据(1)和(2),可知无论 根据(1)和(2),可知对任意 多少块骨牌都能全部倒下 的正整数n*,命题都成立

进一步总结数学归纳法的两个步骤:

(1)n=1时命题成立; ? (2)假设n=k(k≥1,k?N*) 成立, ? 则n=k+1时结论也成立。 ? 我们把用这种模式来证明与正整数有关 的数学命题叫作数学归纳法。
?

下面解释一下用数学归纳法来证题是可行的,有效的:
1.推理过程:
由条件 2 由条件 2

由条件 1

n=1成立
n=3成立

n=2成立 所有的正整 数n都成立

由条件 2

2.假设n=k成立的依据 根据第1步,n=1成立,取k=1,这时假设n=k=1成立就不是 假设而是一个已经成立的事实了,再根据第2步,由n=k=1成 立就可推出n=k+1=1+1=2成立,再取k=2,这时假设n=k=2 成立就不是假设而是一个已经成立的事实了;如此取下去, 每一个假设n=k成立都是有依据的。 所以用数学归纳法来证明数学问题是有效的和可靠的, 大家可以放心大胆使用!

例:用数学归纳法证明:如果{an}是一个等差数 列,那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明思路:先证明“第一项满足公式” (证题基础) 再证明命题“若某一项满足公式,则下一项也满足公式” (递推关系)
条件 结论

证明:(1)当n=1时,左边是a1,右边是a1+0d=a1,等式 是成立的。 (2)假设当n=k(k ≥1,k∈N*)时等式成立, 就是 ak=a1+(k-1)d 那么, ak+1= ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+[(k+1)-1]d 这就是说,当n=k+1时,等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N*都 成立。

练习:用数学归纳法证明:多边形的内角和为 an ? (n ? 2) ?180?
通过这个练习,我们发现数学归纳法的第一步不一定是从 n ? 1 开始 的,所以对数学归纳法的两步略作改动: (1) n ? 1 时命题成立; (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N * ) 成立,则 n ? k ? 1 时结论也成立。 改为: (1)验证 n ? n0 (n0 ? 1, n0 ? N * ) 时命题成立; (2)假设 n ? k (k ? n0 , k ? N * ) 成立,则 n ? k ? 1 时结论也成立。

数学归纳法:

对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我 们常采用下面的方法来证明它们的正确性:先证明当n取第一个值 n0(例如n0=1) 时命题成立,然后假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立,这种证明方法叫做数学归纳法.
证题步骤:

(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2)时结论正确;
(2)假设n=k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1 结论正确; 注意:第一步中n可取的第一个值不一定是1; 第二步是证明一个命题,必须要利用假设的结论证明n=k+1时 结论正确;

小结:
1 本节的中心内容是:归纳法和数学归纳法;

2 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分为: 完全归纳法和不完全归纳法二种 归纳法的本质:特殊到一般
归纳法的作用:发现规律 归纳法的缺陷:具有不可靠性 3 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确, 因而必须作出证明,证明可用数学归纳法进行;

4 数学归纳法 递推的思想 (1)基本思想: 适用范围:与正整数有关的数学命题 (2)两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不 能成立; 必须使用归纳假设, (3)在证明递推步骤时, 必须进行恒等变换。

归纳法
完全归纳法 穷举法 不完全归纳法

可能错误, 如何避免?

数学归纳法

两个步骤一结论, 递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉。

作业:
用数学归纳法证明: 1、1+2+3+?+n=n(n+1)/2 (n∈N*); 2、1+2+22+?+2n-1=2n-1 (n∈N*); 3、首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式为: an=a1qn-1 (n∈N*)

作业解答

再见!

练习2、用数学归纳法证明: 1+3+5+…+(2n-1)=n2 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立,就是 1+3+5+…+(2k-1)=k2 那么,1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1) 7 -1] 5 2 =k +[2(k+1)-1] 3 2 =(k+1) 1 即,当n=k+1时,等式也成立。

因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都 成立。

1、1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (n∈N); 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立,就是 1+2+3+…+k=k(k+1)/2 那么, 1+2+3+…+k+(k+1) = k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)[(k+1)+1]/2 这就是说,当n=k+1时,等式也成立。

因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N*都 成立。

2、1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N) 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立,就是 1+2+22+…+2k-1=2k-1 那么, 1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+ 2k =2×2k-1 =2k+1-1 这就是说,当n=k+1时,等式也成立。

因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N*都 成立。



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