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《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》课件



第二章 平面向量
第四节 平面向量的数量积
第二课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标
? 1.掌握平面向量数量积运算规律; ? 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运 算规律解决有关问题; ? 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会 证明两向量垂直,以及能解决一些简单问 题. ? 教学重点: ? 平面向量数量积及运算规律. ? 教学难点: ? 平面向量数量积的应用

一、复习引入
(1) a ? b ? a ? b cos ? ( 2) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a; a ?b a ?b .

a ? b ? a ? b ? 0; cos ? ?

我们学过两向量的和与差可以转化为它们 相应的坐标来运算,那么怎样用

a和b的坐标表示a ? b呢?

二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示 如图,i 是x轴上的单位向量, j 是y轴上的单位 向量, 由于 a ? b ? a ? b cos? 所以

y

A(x1,y1)

i ? i ?1 .

j ? j ?1.

B(x2,y2)
b
j

a
x

i ? j ? j ?i ? 0 .

o

i

下面研究怎样用

a和b的坐标表示a ? b.
设两个非零向量
a

? ? ? ? ? ? a ? x1 i ? y1 j b ? x2 i ? y2 j , ? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2

=(x1,y1),

b=(x2,y2),则

故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘 积的和。即

y

A(x1,y1)
a
i

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

B(x2,y2)
b
j

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向量的 数量积的运算可转化为向量的坐标运算。

2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ? (2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) 2 ? (y1 ? y2 ) 2
2

x 2 ? y 2;

3、两向量垂直和平行的坐标表示

(1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0
设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为?(0? ? ? ? 180?), 则 cos ? ? a ?b ab

设a ? (x1 , y1 ), b ?( x2 , y2 ), 且a与b夹角为?, (0 ? ? ? 180 )则 cos ? ?
? ? 2 1 2 1 2 2

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ? 0, x ? y ? 0.

三、基本技能的形成与巩固

例1 (1)已知a ? (?1,2 ? 3 ), b ? (1,1), 求a ? b, a ? b, a与b的夹角? .
a ? b ? 1 ? 3, a ?b a ? b ? 2 4 ? 2 3 ? 2(1 ? 3),

1 ? ? ? cos? ? ? ,? 0 ? ? ? 180 ,?? ? 60 . a?b 2

(2)已知a ? (2,3), b ? (?2,4), 则(a ? b) ( ? a ? b) ? .

法一: a ? b ? (0,7), a ? b ? (4,?1) ? (a ? b) ( ? a ? b) ? 0 ? 4 ? 7 ? (?1) ? ?7. 法二:(a ? b) ( ? a ? b) ? a ?b
2 2 2 2

? a ? b ? 13 ? 20 ? ?7

例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断 ?ABC的形状,并给出证明.
证明 : ?AB ? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1)
AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3)
?AB? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

y
C(-2,5)

? AB ? AC

B(2,3) A(1,2)
0

?三角形 ABC是直角三角形 .

x

四、逆向及综合运用

例3 (1)已知 a =(4,3),向量 b 是 垂直于 a 的单位向量,求 b .

(2)已知a ? 10, b ? (1,2),且a // b,求a的坐标.

3? (3)已知a ? (3,0), b ? (k ,5),且a与b的夹角为 , 4 求k的值.
3 4 3 4 答案:( 1 ) b ? ( ,? )或b ? (? , ). 5 5 5 5 (2)( 2, 2 2)或( ? 2, ? 2 2);(3)k ? ?5.

提高练习

1、已知OA ? (?3,1), OB ? (0,5),且 AC // OB, BC ? AB ,则点C的坐标为
29 C (?3, ) 3

2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、D(5,8), 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 若ka +2

a

= (1,2),b = (-3,2), 平行,则k = - 1 .

b 与 2a- 4b

小结 1、理解各公式的正向及逆向运用; 2、数量积的运算转化为向量的坐标运算; 3、掌握平行、垂直、夹角及距离公式,形成 转化技能。



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