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北京首师大附属丽泽中学考前数学专题辅导--------概率



考前专题辅导----统计、概率
一、知识点归纳: (一)统计部分 1.标准差:
s2 ? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

方差:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ]

n

★★在频率直方图中计算众数、平均数、中位数: 众数= 样本数据的频率分布直方图中_____________的横坐标; 中位数 频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该________; 平均数= 频率分布直方图中________________________________________. 2.最小二乘法求回归直线方程: y= ? b x+ a
^
^ ^

b=

(x i 邋 i
=1

n

n

x )( y i - y )
=
i=1

x i y - nx y
i n

(x i 邋 i
=1

n

x)

2

x i - nx
i=1

2

2

,

a= y- bx

^

^

(二) 概率部分 1、条件概率: (1)条件概率:设 A 和 B 为两个事件且 P(A)>0,称 P( B | A) 为在“A 已发生”的条件下, B 发生的条件概率. P( B | A) = ②特殊分布的分布列: ★★二项分布:在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发 k 次的概率 P( ? =k)= C 记作: ξ~B(n,p),则 E? ? np ;D(X)= npq . 3、性质:若 X 是随机变量, a , b 为常数, 则 Y ? aX ? b 是随机变量,

P ( AB ) n( AB ) = n( A) P ( A)

k k n?k p q n

X ( b? ) _ ? _ _ _ _ . 且 E (aX ? b) ? _________. ( aE ( X ) ? b ) ; Da

( a D( X ) )

2

-1-

二、经典例题集锦:
★★1.频率分步直方图 1.为增强市民的节能环保意识, 某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿 者中随机抽样 100 名志愿者的年龄情况如下表所示. (Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如 图) ,再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 [30,) 35 岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活 动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的 人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 分组 (单位:岁) 频数 频率
频率 组距

? 20, 25? ? 25,30? ?30,35? ?35, 40?
? 40, 45?
合计

5


0.050

0.200


35
30 10

0.300 0.100

20

25

30

35

40

45

年龄 岁

100

1.00

解: (Ⅰ)①处填 20 ,②处填 0.35 ; 补全频率分布直方图如图所示.

频率 组距

500 名志愿者中年龄在 ?30,35? 的人数为

0.35 ? 500 ? 175 人.

????6 分

(Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取 20 人, 则其中“年龄低于 30 岁”的有 5 人, “年龄不低于 30 岁”的有 15 人. 故 X 的可能取值为 0 , 1 , 2 ;
20 25 30 35 40 45 年龄 岁

P( X ? 0) ?

2 1 1 C15 21 C15 C5 15 C52 2 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? , 2 2 2 C20 38 C20 38 C20 38

∴ EX ? 0 ?

21 15 2 1 ? 1? ? 2 ? ? . 38 38 38 2

????13 分

要会画频率分布直方图,并通过直方图,能计算数据的平均数和众数和中位数
-2-

★★2.几何概型 2. 行促销活动, 到商场购物消费满 100 元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽 奖,满 200 元转两次,以此类推(奖金累加) ;转盘的指针落在 A 区域中一等奖,奖 10 元, 落在 B、C 区域中二等奖,奖 5 元,落在其它区域则不中奖.一位顾客一次购物消费 268 元, (Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率; (Ⅱ) 记 ? 为该顾客所得的奖金数,求其分布列; (Ⅲ) 求数学期望 E? (精确到 0.01). (Ⅰ) 设该顾客中一等奖为事件 A B A

P( A) ?

1 1 1 11 23 ? ? 2? ? ? 12 12 12 12 144

C

(Ⅱ) ? 的可能取值为 20,15,10,5,0

P(? ? 20) ? P(? ? 10) ?

1 1 1 1 2 1 ? ? ? , P (? ? 15) ? 2 ? ? , 12 12 144 12 12 36

2 2 1 9 11 ? ? 2? ? ? 12 12 12 12 72 2 9 1 9 9 9 ? ? , P(? ? 0) ? ? ? (每个 1 分) 12 12 4 12 12 16

P(? ? 5) ? 2 ?

所以 ? 的分布列为:略 (Ⅲ) E? ? 20 ? 3.古典概型 1) “组合”型古典概型 3.(2011 西城二模理 17)甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手,乙班有 3 名男乒 乓球选手和 1 名女乒乓球选手,学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动. (Ⅰ)求选出的 4 名选手均为男选手的概率. (Ⅱ)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数,求 X 的分布列和期望. 解: (Ⅰ)事件 A 表示“选出的 4 名选手均为男选手” .由题意知

1 1 11 1 ? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 3.33 144 36 72 4

P( A) ?

C32 2 C52C4

?

1 1 1 ? ? . 10 2 20

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3 .

P( X ? 0) ?

C32 3 1 ? ? 2 2 C5 C4 10 ? 6 20

P( X ? 1) ?

1 1 2 1 C2 C3C3 ? C3 2 ? 3? 3 ? 3 7 , ? ? 2 2 C5 C4 10 ? 6 20

1 C32C3 3? 3 3 , P( X ? 3) ? 2 2 ? ? C5 C4 10 ? 6 20

-3-

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?
X 的分布列:略

9 . 20

E( X ) ? 0 ?

1 7 9 3 17 ? 2 ? ? 3? ? ★ ?1? 20 20 20 20 10

2) “排列”型古典概型 ★★4. (北京 2008 年高考试题)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四 个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率 ★★请同学们一定要会做了 (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列. 解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA ,那么 P( EA ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是
3 A3 1 , ? 2 4 C5 A4 40

1 . 40
4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10

(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P( E ) ? 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ?

9 . 10

(Ⅲ)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务, 则 P(? ? 2) ?
3 C52 A3 1 ? . 3 4 C5 A4 4

所以 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 2) ?

3 , ? 的分布列:略 4

★★★★3)摸球(综合)问题(有放回和无放回) 5. 一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1、2、3、4、5,现 从盒子中随机抽取卡片. (Ⅰ)从盒子中依次抽取两次卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,求两次取到的卡 片的数字都为奇数或偶数的概率; (Ⅱ)若从盒子中有放回的抽取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到卡片的数字为 奇数的概率; (III)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到记有奇数的卡 片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的分布列和期望. 解: (Ⅰ)因为 1,3,5 是奇数,2、4 是偶数,设事件 A 为“两次取到的卡片的数字都为奇数
-4-

或偶数”

2 C32 ? C 2 2 P( A) ? ? 2 5 C5

(Ⅱ )设 B 表示事件“有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上数 字为奇数” ,
2

由已知,每次取到的卡片上数字为奇数的概率为

3 , 5
??8 分

则 P ( B) ? C 34 ? ( ) ? (1 ? ) ?
2

3 5

3 5

54 . 125

(Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 1, 2,3 .

P( X ? 1) ?

3 5

P( X ? 2) ?

2?3 3 ? 5 ? 4 10

P( X ? 3 ) ?

2 ? 1? 3 1 ? 5 ? 4? 3 1 0

所以 X 的分布列为:略

3 3 1 3 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 5 10 10 2
6. 某同学设计一个摸奖游戏:箱内有红球 3 个,白球 4 个,黑球 5 个.每次任取一个,有 放回地抽取 3 次为一次摸奖.至少有两个红球为一等奖,记 2 分;红、白、黑球各一个为 二等奖,记 1 分;否则没有奖,记 0 分. (I)求一次摸奖中一等奖的概率; (II)求一次摸 奖得分的分布列和期望. 解: (I) 每次有放回地抽取, 取到红球的概率为 P 1 ? 取到黑球的概率为 P3 ?

3 1 4 1 ? ; ? ; 取到白球的概率为 P2 ? 12 4 12 3 1 4 3 4 1 4 5 32

5 ; 12

2 2 3 一次摸奖中一等奖的概率为 P ? C3 ( ) ( ) ? ( ) ?

(II)设 ? 表示一次摸奖的得分,则 ? 可能的取值为 0,1,2.

P (? ? 2) ?

5 5 3 1 1 5 ? ; P (? ? 1) ? A3 ? ? ; 4 3 12 24 32

P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?

61 96

? 一次摸奖得分 ? 的分布列为:略
期望为 E? ? 2 ?

61 5 5 61 25 ? 1? ? 0 ? ? . 注意: 0 ? 必需写 96 32 24 96 48

7. (2011 年西城期末理 17)一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别 为 1, 2,3, 4,5,6 .(Ⅰ)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 2 次,求取出的两个 球编号之和为 6 的概率; (Ⅱ) 若从袋中每次随机抽取 2 个球,有放回的抽取 3 次, 求恰有 2 次抽到 6 号球的概率; (Ⅲ)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X ,求随机 变量 X 的分布列.

-5-

解: (Ⅰ) 设先后两次从袋中取出球的编号为 m, n , 则两次取球的编号的一切可能结果 (m, n) 有 6 ? 6 ? 36 种, 其中和为 6 的结果有 (1,5),(5,1),(2, 4),(4, 2),(3,3) ,共 5 种,则所求概率为 (Ⅱ)每次从袋中随机抽取 2 个球,抽到编号为 6 的球的概率 p ?
1 C5 1 ? . 2 C6 3

5 . 36

所以, 3 次抽取中,恰有 2 次抽到 6 号球的概率为 C3 p (1 ? p ) ? 3 ? ( ) ( ) ?
2 2 2

1 3

2 3

2 9

(Ⅲ)随机变量 X 所有可能的取值为 3, 4,5,6 .

??????9 分

P( X ? 3) ?

3 C3 1 , ? 3 C6 20

P( X ? 4) ?

C32 3 , ? 3 C6 20

2 C4 6 3 P( X ? 5) ? 3 ? ? , C6 20 10

C52 10 1 P( X ? 6) ? 3 ? ? . C6 20 2

所以,随机变量 X 的分布列为:略 4.强行终止的概率问题 8、 (2011 东城二模理 17)甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分, 比赛进行到有一人比对方多 2 分或 打满 6 局时停止 .设甲在每局中获胜的概率为

5 1 p( p ? ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . 9 2
(Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? . 解: (Ⅰ)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止, 故 p ? (1 ? p) ?
2 2

5 , 9

解得 p ?

1 2 或p? . 3 3

又p?

1 2 ,所以 p ? . 2 3

(Ⅱ)依题意知 ? 的所有可能取值为 2,4,6.

P(? ? 2) ?

5 , 9

5 P (? ? 4 )? ( 1 ? 9

5 ? ) 9

20 ? , 81

5 20 16 P(? ? 6) ? 1 ? ? ? , 9 81 81

所以随机变量 ? 的分布列为:略 所以 ? 的数学期望 E? ? 2 ?

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81

★★9. 某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中 有大小完全相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆”.顾客从中任意取出 1 个 球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定

-6-

若取出“隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆” 字的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C. 则 P(A)= ??1 分

1 1 1 1 1 ? ? ? ? , 4 4 4 4 256

P(B) ?

A3 5 3 -1 ? 3 256 4

三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴” 三种情况. P(C) ? ( ?

9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 )? 64 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
??8 分

(Ⅱ)设摸球的次数为 ? ,则 ? ? 1, 2,3 .

1 P(? ? 1) ? , 4

3 1 3 P(? ? 2) ? ? ? , 4 4 16

3 3 1 9 27 , P(? ? 4) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? . (各 1 分) P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 4 64 64
故取球次数 ? 的分布列为:略

1 3 9 27 E? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 2.75 .(约为 2.7) 4 16 64 64
5.给出概率考查“事件的相互独立”

?13 分

10. (2011 西城一模理)甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出 密码的概率分别为

1 1 , , p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码 2 3

的概率为

1 . 4

(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率; (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX . 解:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,依题意有

1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? p, 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 2 3
(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1 2 2 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? ? ? . 2 3 3
-7-

(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ,则有

1 2 1? p , P ( B ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? (1 ? p ) ? 2 3 3
(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2,3 . 所以 P ( X ? 0) ?

所以

1? p 1 1 ? ,p? . 4 3 4

1 , 4

P( X ? 1) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
? 1 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 3 4 2 3 4 24

P( X ? 2) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4
X 分布列为:略
所以, E ( X ) ? 0 ?

1 1 1 1 P( X ? 3) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? ? 2 3 4 24

1 11 1 1 13 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 24 4 24 12

6.独立重复试验与古典概率综合考查 11. (2011 朝阳一模理 17)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球,至少 投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖;否则不获奖. 知教师甲投进每个球的概率都是 (Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率; (Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中,6 个球中恰好投进了 4 个球,求教师乙在这场比赛中获奖 的概率;教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗? 解: (Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知 X~B(6,

2 . 3

2 ). ★★ 3
k 6? k

? 2? ?1? P( X ? k ) ? C ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3?
k 6

( k ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

X 的分布列为:略 所以 EX ?

1 2916 (0 ?1 ? 1?12 ? 2 ? 60 ? 3 ?160 ? 4 ? 240 ? 5 ?192 ? 6 ? 64) = ?4. 729 729
2 2 ),所以 EX ? 6 ? ? 4 . 即 X 的数学期望为 4. ?????5 分 3 3

或因为 X~B(6,

(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,

-8-

则 P( A) ? C4 ? ( ) ? ( ) ? C4 ? ? ( ) ? ( ) ?
2 2 4 1 5 6

1 3

2 3

1 3

2 3

2 3

32 . 81

答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为

32 . 81

????????????10 分
2 4 A4 A4 2 则 P( B) ? ? . 6 A6 5

(Ⅲ)设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B

即教师乙在这场比赛中获奖的概率为

2 2 32 32 ? .显然 ? ,所以教师乙在这场比赛中 5 5 80 81

获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等. 12.(2011 海淀一模). 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检 测, 每一件二等品通过检测的概率为

2 .现有 10 件产品, 其中 6 件是一等品, 4 件是二等品. 3

(Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率; (Ⅱ)随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列; (Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率. 解:(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A ??????????1 分

事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2 分

p ( A) ?

6 4 2 13 ? ? ? 10 10 3 15

??????????4 分

(Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3.

P( X ? 0) ?

3 0 2 1 C4 C6 C4 C6 3 1 , ? P ( X ? 1) ? ? , 3 3 C10 30 C10 10

1 2 0 3 C4 C6 1 C4 C 1 P( X ? 2) ? 3 ? , P( X ? 3) ? 3 6 ? . C10 2 C10 6

??????8

分布列:略 (Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B 事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以, P ( B ) ? ?????10 分

1 1 3 1 ?( ) ? . 30 3 810

?????13 分

7.独立重复试验与“独立事件”综合考查 13、 (2011 丰台二模理 16).张先生家住 H 小区,他在 C 科技园区工作,从家开车到公司上 班有 L1,L2 两条路线(如图) ,L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均 为

1 3 3 ;L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 2 4 5

-9-

A1 (Ⅰ)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; .. (Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数 学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张 先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由. 解: (Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则 H B1

A2 L1 L2

A3 C B2

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? . 2 2 2 2
所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.

??4 分

1 . 2

3 3 1 P( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 10

3 3 3 3 P( X = 1 ) =? ?( 1 ? ) ? ( 1 ? ?) 4 5 4 5

9 20


3 3 9 P ( X =2)= ? ? . 随机变量 X 的分布列为:略 4 5 20 EX ? 1 9 9 27 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? . 10 20 20 20 1 2

(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布, Y ? B (3, ) , 所以 EY ? 3 ?

1 3 ? . 因为 EX ? EY ,所以选择 L2 路线上班最好. 2 2

★★14. (2011 门头沟一模理 17) 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要 求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测, 只有两轮都合格才能进行销售, 否则不能销 售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为 是否合格相互没有影响. (Ⅰ)求该产品不能销售的概率; (Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80 元(即获利-80 元).已知一箱中有产品 4 件,记一箱产品获利 X 元,求 X 的分布列,并 求出均值 E(X). 解: (Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件 A,则

1 1 ,第二轮检测不合格的概率为 ,两轮检测 6 10

1 1 1 P( A) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? . 6 10 4

所以,该产品不能销售的概率为

1 . 4

(Ⅱ)由已知,可知 X 的取值为 ?320, ?200, ?80, 40,160 .

1 1 P( X ? ?320) ? ( ) 4 ? , 4 256

1 3 3 1 P( X ? ?200) ? C4 ? ( )3 ? ? , 4 4 64
- 10 -

1 3 27 3 3 27 2 3 1 P( X ? ?80) ? C4 ? ( )2 ? ( )2 ? , P ( X ? 40) ? C4 ? ? ( ) ? , 4 4 128 4 4 64 3 81 P( X ? 160) ? ( ) 4 ? . 4 256
E(X) ? ?320 ? 8.条件概率 ★★15. (2007 年山东理 18)设 b和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ? 表 示方程 x ? bx ? c ? 0 实根的个数(重根按一个计).
2

所以 X 的分布列为:略

1 1 27 27 81 ? 40 ? 200 ? ? 80 ? ? 40 ? ? 160 ? 256 64 128 64 256

(I)求方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率;
2

(II) 求 ? 的分布列和数学期望; (III)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率.
2

解::(I)基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 , 若使方程有实根,则 ? ? b ? 4c ? 0 ,即 b ? 2 c 。
2

当 c ? 1 时, b ? 2,3, 4,5,6 ;当 c ? 2 时, b ? 3, 4,5,6 ;

b ? 4,5,6 ; b ? 4,5,6 ; 当 c ? 5 时, b ? 5, 6 ; b ? 5, 6 , 当 c ? 3 时, 当 c ? 4 时, 当 c ? 6 时,
目标事件个数为 5 ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 19, (II)由题意知, ? ? 0,1, 2 ,则 因此方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率为
2

19 . 36

P (? ? 0) ?

17 2 1 17 ? , P (? ? 2) ? , , P (? ? 1) ? 36 36 18 36

故 ? 的分布列为:略

? 的数学期望 E? ? 0 ?

17 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 1. 36 18 36
2

(III) 记 “先后两次出现的点数中有 5” 为事件 M, “方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根” 为事件 N, 则 P( M ) ?

11 7 P( MN ) 7 ? .★★ , P( MN ) ? , P( N M ) ? 36 36 P( M ) 11

9.创新问题 ★★16.(2011 年石景山期末理 16)某地区举办科技创新大赛,有 50 件科技作品参赛,大 赛组委会对这 50 件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级 采用 5 分制,若设“创新性”得分为 x , “实用性”得分为 y ,统计结果如下表:

- 11 -

作品数量

y
1分 1分 1 1 2 1 0 2分 3 0 1

实用性 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3

x
创 新 性 2分 3分 4分 5分

b
0

a
3

(Ⅰ)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (Ⅱ)若“实用性”得分的数学期望为

167 ,求 a 、 b 的值. 50

解: (Ⅰ)从表中可以看出, “创新性为 4 分且实用性为 3 分”的作品数量为 6 件, ∴“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率为

6 ? 0.12 . 50

??4 分

(Ⅱ)由表可知“实用性”得分 y 有 1 分、 2 分、 3 分、 4 分、 5 分五个等级, 且每个等级分别有 5 件, b ? 4 件, 15 件, 15 件, a ? 8 件.??5 分 ∴“实用性”得分 y 的分布列为:

y p

1

2

3

4

5

5 50

b?4 50

15 50
167 , 50

15 50

a?8 50

又∵“实用性”得分的数学期望为 ∴ 1?

5 b?4 15 15 a ? 8 167 ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? .??10 分 50 50 50 50 50 50
解得 a ? 1 , b ? 2 .

∵作品数量共有 50 件,∴ a ? b ? 3

★★17.(2011 海淀查漏补缺题)某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能 力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有 40 人, 下表为该班学生瞬时记忆能力的 调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人. 视觉 偏低 偏低 听觉 记忆 能力 中等 偏高 超常 0 1 2 0
- 12 -

视觉记忆能力 中等 7 8 偏高 5 3 0 1 超常 1

b
1 1

a
2

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听 觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 (Ⅰ)试确定 a 、 b 的值; (Ⅱ)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常 的学生的概率; (Ⅲ)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人 数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 解: (Ⅰ)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的 学生共有 ?10 ? a ? 人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为 事件 A ,则 P( A) ?

2 . 5

10 ? a 2 ? ,解得 a ? 6 .所以 b ? 40 ? (32 ? a) ? 40 ? 38 ? 2 . 40 5

(Ⅱ)由表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人. 方法 1:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , 则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , 所以 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

C3 124 123 32 . ? 1? ? 3 C40 247 247

方法 2:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B ,所以

P ? B? ?

2 2 1 3 C1 123 8C32 ? C8 C32 ? C8 . ? 3 C40 247

(Ⅲ) ? 的可能取值为 0,1,2,3, 因为 P(? ? 0) ?
3 2 C0 C1 14 72 24 C16 24 C16 , , ? P(? ? 1) ? ? 3 3 C40 247 C40 247

P(? ? 2) ?

1 0 C2 C3 552 253 24 C16 24 C16 , , ? P ( ? ? 3) ? ? 3 3 C40 1235 C40 1235

所以 ? 的分布列为: 所以 E? ? 0 ?

14 72 552 253 2223 9 ?1 ? ?2 ? ? ? . ?3 ? 247 247 1235 1235 1235 5

- 13 -



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