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湖北省普通高中联考2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)



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湖北省普通高中联考 2014-2015 学年高二上学期期末数学 试卷(理 科)
一、选择题 1. (5 分)命题:“若 x>1,则 lnx>0”的否命题为() A. 若 x>1,则 lnx≤0 B. 若 x≤1,则 lnx>0 C. 若 x≤1,则 lnx≤0 D. 若 lnx>1,则 x>0 2. (5 分)要从编号为 01~50 的 50 枚最新研制的某型号导弹中随机抽出 5 枚来进行发射试 验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定, 在选取的 5 枚导弹的编号可能是 () A. 05,10,15,20,25 B. 03,13,23,33,43 C. 01,02,03,04,05 D. 02,04,08,16,32

3. (5 分)在区间[﹣2,3]中任取一个数 m,则“方程 圆”的概率是() A. B. C.

+

=1 表示焦点在 x 轴上的椭

D.

4. (5 分)下面的程序运行的功能是()

A. 求 1+ + +?+ C. 求 1+1+ + +?+

的值 的值

B. 求 1+ + +?+ D. 求 1+1+ + +?+

的值 的值

5. (5 分)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ ) ,P(X≥5)=0.15,则 P(1<X<5)等 于() A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.85 6. (5 分)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次.两人成绩的统计表如甲表、乙表所示, 则: () 甲表: 环数 4 5 6 7 8 频数 1 1 1 1 1 乙表: 环数 5 6 9

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 频数 3 1 1

A. 甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B. 甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 C. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D. 甲成绩 的极差小于乙成绩的极差 7. (5 分)执行如图程序框图.若输入 n=20,则输出的 S 值是()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =1 和两点 A(1﹣m,0) ,B(1+m,0) ,m>0,若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为() A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 9. (5 分)已知一袋中有大小相同的白球和红球共 n 个,其中白球 m 个若从中任意摸出 2 个 球,则至少有一个红球的概率是 ,若从中有放回地摸球 6 次,每次摸出 1 球,则摸到白球 的次数的期望是 4,现从袋中不放回地摸球 2 次每次摸出 1 球.则第一次摸出红球后,第二 次摸出的还是红球的概率是() A. B. C. D.

2

2

10. (5 分)已知双曲线 C 的方程为



=1(a,b>0) ,其离心率为 e,直线 l 与双曲线
2

C 交于 A、B 两点,线段 AB 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 y =2px(p>0)上,且 M 到抛 物线焦点距离为 p,则直线 l 的斜率为() A. B. e ﹣1
2

C.

D. e +1

2

二、填空题 11. (5 分)某地区有 600 家商店,其中大型商店有 60 家,中型商店有 150 家.为了掌握各 商店的营业情况.要从中抽取一个容量为 40 的样本.若采用分层抽样的方法,抽取的中型 商店数是.

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12. (5 分)

的展开式中 x 的系数是.

3

13. (5 分)△ABC 中,A(1,1) ,B(5,﹣5) ,C(0,﹣1) .则 AB 边上的中线所在直线与 AC 边上的高所在直线的交点坐标为. 14. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为.

15. (5 分)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物. (1)现有 2 种不同的植物可供选择,则有种栽种方案; (2)现有 4 种不同的植物可供选择,则有种栽种方案.

三、解答题 16. (11 分)在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日,评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方 图(如图) ,已知从左到右各长方形的高的比为 2:3:4:6:4:1,第三组的频数为 12,请 解答下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数量最多?共有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖率高?

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 17. (12 分)已知圆 C 的圆心在直线 y=x﹣1 上,且 A(2,0) ,B( , )在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; 2 (2)若圆 M:x +(y﹣2
2 2

) =r (r>0)与圆 C 相切.求直线 y=

2

2

x 截圆 M 所得弦长.

18. (12 分)设 x +2ax+b =0 是关于 x 的一元二次方程. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数个中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,求方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]上任取一个数,b 是从区间[0,2]上任取一个数,求方程有实根 的概率. 19. (12 分)某连锁经营公司所属的 5 个零售店某月的销售额和利润额资料如下表: 商店名称 A BCD E 销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9 利润 额(y)/千万元 2 3 3 4 5 (1)画出销售额和利润额的散点图; (2)若销售额和利润额具有线性相关关系.用最小二乘法计算利润额 y 对销售额 x 的回归 直线方程. 20. (14 分)数学教师甲要求学生从星期一到星期四每天复习三个不同的常错题;每周五对 一周内所复习的常错题随机抽取若干个进行检测 (一周所复习的常错题每个被抽到的可能性 相同) . (1)数学教师甲随机抽了学生已经复习的 4 个常错题进行检测,求至少有 3 个是后两天复 习过的常错题的概率; (2)某学生对后两天所复习过的常错题每个能做对的概率为 ,对前两天所学过的常错题 每个能做对的概率为 ,若老师从后三天所复习的常错题中各抽取一个进行检测,若该学生 能做对的常错题的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 21. (14 分)已知椭圆 C 的焦点为 F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ,且椭圆 C 的下顶点到直线 x+y ﹣2=0 的距离为 3 /2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若一直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B(A、B 不是椭圆 C 的顶点)两点,以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的上顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

湖北省普通高中联考 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题 1. (5 分)命题:“若 x>1,则 lnx>0”的否命题为() A. 若 x>1,则 lnx≤0 B. 若 x≤1,则 lnx>0

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com C. 若 x≤1,则 lnx≤0 D. 若 lnx>1,则 x>0

考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 原命题的否命题直接把命题的题设和结论进行否定可. 解答: 解:原命题:“若 x>1,则 lnx>0” 则:否命题为:“若 x≤1,则 lnx≤0” 故选:C 点评: 本题考查的知识要点:四种命题的相互转换,属于基础题型. 2. (5 分)要从编号为 01~50 的 50 枚最新研制的某型号导弹中随机抽出 5 枚来进行发射试 验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定, 在选取的 5 枚导弹的编号可能是 () A. 05,10,15,20,25 B. 03,13,23,33,43 C. 01,02,03,04,05 D. 02,04,08,16,32 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义,则抽样间隔相同即可得到结论. 解答: 解:若采用系统抽样,则抽样间隔为 50÷5=10, 故只有 B 满足条件, 故选:B 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,比较基础.

3. (5 分)在区间[﹣2,3]中任取一个数 m,则“方程 圆”的概率是() A. B. C.

+

=1 表示焦点在 x 轴上的椭

D.

考点: 椭圆的标准方程;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;概率与统计. 2 分析: 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m+3>m +1,可得区间长度,求出在区间[﹣2,3]上 随机取一个实数 m 的区间长度,即可得出结论. 解答: 解:∵方程 ∴m+3>m +1, 解得﹣1<m<2, 故概率 P= =
2

+

=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,

故选:A 点评: 本题考查概率的求法, 是较基础题, 解题时要认真审题, 注意几何概型的合理运用.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 4. (5 分)下面的程序运行的功能是()

A. 求 1+ + +?+ C. 求 1+1+ + +?+

的值 的值

B. 求 1+ + +?+ D. 求 1+1+ + +?+

的值 的值

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序语句可知程序的功能是计算并输出 S 的值,i≤2014, S=1+1+ ? .

解答: 解:模拟执行程序语句可得:i=1,S=1,控制循环的条件为 i≤2014, 按照算法最后得到的结果应该为计算并输出 S 的值. S=1+1+ ? .

故选:D. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法, 正确分析循环语句的功能是解题的关键, 属于基 础题. 5. (5 分)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ ) ,P(X≥5)=0.15,则 P(1<X<5)等 于() A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.85 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 2 分析: 根据随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ ) ,看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 x=3,根据正态曲线的特点,即可得到结果. 2 解答: 解:∵随机变量 X 服 从正态分布 N(3,σ ) , ∴对称轴是 x=3. ∵P(X≥5)=0.15, ∴P(1<X<5)=1﹣2P(X≥5)=1﹣0.3=0.7. 故选:C. 点评: 本题考查正态曲线的形状认识,从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的 曲线,其对称轴为 x=μ ,并在 x=μ 时取最大值 从 x=μ 点开始,曲线向正负两个方向递减 延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线 的.
2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 6. (5 分)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次.两人成绩的统计表如甲表、乙表所示, 则: () 甲表: 环数 4 5 6 7 8 频数 1 1 1 1 1 乙表: 环数 5 6 9 频数 3 1 1 A. 甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B. 甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 C. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 考点: 专题: 分析: 解答: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 概率与统计. 根据表中数据,求出甲、乙的平均数,中位数,方差与极差,即可得出结论. 解:根据表中数据,得; = = =6, =6;

甲的平均数是 乙的平均数是

甲的中位数是 6,乙的中位数是 5; 甲的方差是 乙的方差是 = [(﹣2) +(﹣1) +0 +1 +2 ]=2, = [3×(﹣1) +0 +3 ]=2.4;
2 2 2 2 2 2 2 2

甲的极差是 8﹣4=4,乙的极差是 9﹣5=4; 由以上数据分析,符合题意的选项是 C. 故选:C. 点评: 本题考查了平均数、中位数、方差与极差的计算问题,是基础题目. 7. (5 分)执行如图程序框图.若输入 n=20,则输出的 S 值是()

A.

B.

C.

D.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 循环结构. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,可知该算法的功能是计算并输出数列{ 项和,由裂项法即可求值. 解答: 解:模拟执行程序框图,可知该算法的功能是计算并输出数列{ 求 10 项和. S= + + +?+ }的 }的求 10

= = =

+ (1 .

+

+?+ ﹣ +? ﹣ )

故选:A. 点评: 本题主要考察了循环结构和裂项法求数列的前 n 项和,属于基础题. 8. (5 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =1 和两点 A(1﹣m,0) ,B(1+m,0) ,m>0,若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为() A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据圆心 C 到 O (0, 0) 的距离为 5, 可得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6. 再 由∠APB=9 0°,可得 PO= AB=m,可得 m≤6,从而得到答案 解答: 解:圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =1 的圆心 C(3,4) ,半径为 1, ∵圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5, ∴圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6. 再由∠APB=90°,以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点,可得 PO= AB=m,故有 m≤6, 故选:B. 点评: 本题主要直线和圆的位置关系,求得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6,是解 题的关键,属于中档题. 9. (5 分)已知一袋中有大小相同的白球和红球共 n 个,其中白球 m 个若从中任意摸出 2 个 球,则至少有一个红球的概率是 ,若从中有放回地摸球 6 次,每次摸出 1 球,则摸到白球
2 2 2 2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 的次数的期望是 4,现从袋中不放回地摸球 2 次每次摸出 1 球.则第一次摸出红球后,第二 次摸出的还是红球的概率是() A. B. C. D.

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 计算题;概率与统计.

分析: 由题意,

,解得 m=4,n=6,再利用条件概率进行求解即可.

解答: 解:由题意,

,解得 m=4,n=6,

设事件 A={第一次摸出红球},B={第 2 次摸出红球},则 P(AB)= = ,P(A)= ,

∴P(B|A)= , 故选:B. 点评: 本题考查条件概率,考查学生的计算能力,确定 m,n 是关键.

10. (5 分)已知双曲线 C 的方程为



=1(a,b>0) ,其离心率为 e,直线 l 与双曲线
2

C 交于 A、B 两点,线段 AB 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 y =2px(p>0)上,且 M 到抛 物线焦点距离为 p,则直线 l 的斜率为() A. B. e ﹣1
2

C.

D. e +1

2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线的定义,确定 M 的坐标,利用点差法将线段 AB 中点 M 的坐标代入,化 简整理由离心率公式即可求得结论. 2 解答: 解:∵M 在抛物线 y =2px(p>0)上, 且 M 到抛物线焦点的距离为 p,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 则有抛物线的定义可得,xM+ =p, ∴M 的横坐标为 ,∴M( ,p) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 即有 x1+x2=p,y1+y2=2p, 则 ﹣ =1, ﹣ =1 ,

两式相减,并将线段 AB 中点 M 的坐标代入,可得



=0,

∴直线 l 的斜率为

=

=

=



故选 A. 点评: 本题考查双曲线与抛物线的综合,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于 中档题. 二、填空题 11. (5 分)某地区有 600 家商店,其中大型商店有 60 家,中型商店有 150 家.为了掌握各 商店的营业情况.要从中抽取一个容量为 40 的样本.若采用分层抽样的方法,抽取的中型 商店数是 10. 考点: 专题: 分 析: 解答: 则 分层抽样方法. 概率与统计. 根据分层抽样的定义建立比例关系即可. 解:设抽取的中型商店数为 x, ,解得 x=10,

故答案为:10 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键. 12. (5 分) 的展开式中 x 的系数是 24.
3

考点: 二项式定理. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 运用二项式展开式的通项公式,化简整理,令 x 的指数为 3,求得 r,即可得到. 解答: 解: 的展开式的通项 Tr+1=

=



文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 令 8﹣ r=3,解得 r=2, 故 的展开式中 x 的系数为 2 ?
3 2

=24.

故答案为:24. 点评: 本题考查二项式定理的运用, 考查运用二项式展开式的通项解决特定项的系数, 考 查运算能力,属于中档题. 13. (5 分)△ABC 中,A(1,1) ,B(5,﹣5) ,C(0,﹣1) .则 AB 边上的中线所在直线与 AC 边上的高所在直线的交点坐标为(﹣9,2) . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用中点坐标公式可得:线段 AB 的中点为(3,﹣2) ,再利用点斜式可得 AB 边上 的中线所在直线方程为 y+1= 可得出 AC 边上的高所在直线的方程为 .利用斜率计算公式可得 kAC= ,联立解出即可. =2,即

解答: 解:线段 AB 的中点 为(3,﹣2) ,∴AB 边上的中线所在直线方程为 y+1= ∵kAC= ,化为 x+3y+3=0. =2,∴AC 边上的高所在直线的方程为 ,化为 x+2y+5=0.

联立

,解得



∴AB 边上的中线所在直线与 AC 边上的高所在直线的交点坐标为(﹣9,2) . 故答案为: (﹣9,2) . 点评: 本题考查了中点坐标公式、 相互垂直的直线斜率之间的关系、 点斜式、 直线的交点, 考查了计算能力,属于基础题. 14. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为 2.

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的值,可得 S 的取值周期 T=4,从而得 解. 解答: 解:依据程序框图执行的顺序可得(i,S)的值依次为: (0,2) , ( 2, ) , (4, ﹣ ) , (6,﹣3) , (8,2) , (10, ) ,? ∴观察可得 S 的取值周期 T=4,由 i=2016 时,2016=4×504, ∴S=2. ∴输出的 S 的值为 2. 故答案为:2. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的值,得 S 的取值周期 T 为 4 是解题的关键,属于基础题. 15. (5 分)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物. (1)现有 2 种不同的植物可供选择,则有种栽 2 种方案; (2)现有 4 种不同的植物可供选择,则有 732 种栽种方案.

考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 应用题;排列组合. 分析: (1)因为只有两种选择,所以 A,C,E 一种植物,B,D,F 另一种植物,则有 2 种方案; (2)分三类讨论:A、C、E 种同一种植物、A、C、E 种同二种植物、A、C、E 种同三种植物, 利用分步计数原理,可得结论. 解答: 解: (1)因为只有两种选择,所以 A,C,E 一种植物,B,D,F 另一种植物,则有 2 种方案; (2)考虑 A、C、E 种同一种植物,此时共有 4×3×3×3=108 种方法. 考虑 A、C、E 种二种植物,此时共有 3×4×3×3×2×2=432 种方法. 3 考虑 A、C、E 种三种植物,此时共有 A4 ×2×2×2=192 种方法. 故总计有 108+432+192=732 种方法. 故答案为:2;732. 点评: 本题考查理解题意能力, 考查分类思想的运用,考查学生分析解决问题的能力, 属于基础题. 三、解答题 16. (11 分)在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日,评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方 图(如图) ,已知从左到右各长方形的高的比为 2:3:4:6:4:1,第三组的频数为 12,请 解答下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比?

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)哪组上交的作品数量最多?共有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖率高?

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (1)利用高之比等于频率之比,根据第三组的频率建立等量关系,求出样本容量 即可. (2)矩形高最高的就是上交作品数最多的,根据第四组的频率建立等量关系,即可求得频 数. (3) 先求出第四组和第六组的作品数, 再根据第四组和第六组的作品获奖数求出获奖概率, 比较大小即可. 解答: 解: (1)因为 所以本次活动共有 60 件作品参加评比. (4 分) (2)因为 所以第四组上交的作品数量最多,共有 18 件. (8 分) (3)因为 所以 ,所以第六组获奖率高.

点评: 本题考查频数, 频率及频率分布直方图, 考查运用统计知识解决简单实际问题的能 力,数据处理能力和运用意识.在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于 1, 每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量. 频率分布直方图中, 小矩形的高等于每一 组的频率/组距,它们与频数成正比,小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的 回答,要选择适当的数据特征进行考查,根据数据特征分析得出实际问题的结论.

17. (12 分)已知圆 C 的圆心在直线 y=x﹣1 上,且 A(2,0) ,B( , )在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; 2 (2)若圆 M:x +(y﹣2

) =r (r>0)与圆 C 相切.求直线 y=

2

2

x 截圆 M 所得弦长.

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)设出圆的一般方程,利用待定系数法即可求圆 C 的方程; (2)根据圆与圆相切的条件,结合直线和圆心相交的弦长公式即可得到结论. 2 2 解答 : 解: (1)设圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵圆心在直线 y=x﹣1 上,且 A(2,0) ,B( , )在圆 C 上,



,解得



即圆 C 的方程为 x +y ﹣2x=0; 2 2 2 (2)∵圆 M:x +(y﹣2 ) =r (r>0)与圆 C 相切. ∴圆心 M 坐标为(0,2 ) , 2 2 圆 C 的标准方程为(x﹣1) +y =1, 圆心 C 坐标为(1,0) ,半径 R=1, 当两圆外切时,|CM|=3=1+r,解得 r=2, 当两圆内切时,|CM|=3=r﹣1,解得 r=4, ∵M 当直线 y= x 的距离 d= x 截圆 M 所得弦长 l= x 截圆 M 所得弦长 l= , , .

2

2

∴当 r=2 时,直线 y= ∴当 r=4 时,直线 y=

点评: 本题主要考查圆的方程的求解, 以及直线弦长公式的应用, 利用两圆相切的等价条 件求出圆的半径是解决本题的关键. 18. (12 分)设 x +2ax+b =0 是关于 x 的一元二次方程. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数个中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,求方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]上任取一个数,b 是从区间[0,2]上任取一个数,求方程有实根 的概率. 考点: 几何概型;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题. 2 2 2 2 分析: 由题意可得方程有实根的充要条件为:△=(2a) ﹣4b ≥0,即 a ≥b . (1)基本事件共有 12 个,其中(0,0) , (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3, 0) , (3,1) , (3,2) ,代入几何概率的求解公式可求 (2 ) 试验的全部结果构成的区域为{ (a, b) |0≤a≤3, 0≤b≤2}, 满足题意的区域为: { (a, b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},分别求解区域的面积,可求 2 2 2 2 解答: 解:方程有实根的充要条件为:△=(2a) ﹣4b ≥0,即 a ≥b . (1)基本事件共有 12 个,其中(0,0) , (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3, 0) , (3,1) , (3,2)满足条件,则 .
2 2

(2 )试验的全部结果构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}, 满足题意的区域为:{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},

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所以,所求概率为

.?(12 分)

点评: 本题主要考查了古典概率的求解及与面积有关的几何概率的求解, 属于基本方法的 简单应用 19. (12 分)某连锁经营公司所属的 5 个零售店某月的销售额和利润额资料如下表: 商店名称 A BCD E 销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9 利润额(y)/千万元 2 3 3 4 5 (1)画出销售额和利润额的散点图; (2)若销售额和利润额具有线性相关关系.用最小二乘法计算利润额 y 对销售额 x 的回归 直线方程. 考点: 回归分析的初步应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)根据表中所给的五对数对,在平面直角坐标系中画出散点图.由散点图可以 看出:各个点基本上是在一条直线的附近,销售额和利润额具有相关关系. (2)做出横标和纵标的平均数,利用最小二乘法做出线性回归方程的系数,把样本直线的 代入求出 a 的值,协会粗线性回归方程. 解答: 解: (1)根据表中所给的五对数对,在平面直角坐标系中画出散点图.

由散点图可以看出:各个点基本上是在一条直线的附近,销售额和利润额具有相关关系. (2)∵ =6, =3.4, b= =0.5

a=3.4﹣0.5×6=0.4 ∴回归直线方程 y=0.5x+0.4. 点评: 本题考查线性回归方程的做法和判断两组变量之间的关系的方法, 本题解题的关键 是先判断出两组数据具有线性相关关系,进而求出线性回归方程,本题是一个基础题. 20. (14 分)数学教师甲要求学生从星期一到星期四每天复习三个不同的常错题;每周五对 一周内所复习的常错题随机抽取若干个进行检测 (一周所复习的常错题每个被抽到的可能性 相同) . (1)数学教师甲随机抽了学生已经复习的 4 个常错题进行检测,求至少有 3 个是后两天复 习过的常错题的概率;

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)某学生对后两天所复习过的常错题每个能做对的概率为 ,对前两天所学过的常错题 每个能做对的概率为 ,若老师从后三天所复习的常错题中各抽取一个进行检测,若该学生 能做对的常错题的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用互斥事件概率加法公式能求出数学教师甲抽到的 4 个常错题中,至少含 有 3 个后两天复习过的事件的概率. (2)由题意知 X 可取 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 E(X) . 解答: 解: (1)设数学教师甲抽到的 4 个常错题中,至少含有 3 个后两天复习过的事件为 A, 则由题意得 P(A)= + = .

(2)由题意知 X 可取 0,1,2,3, P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ∴X 的分布列为: X 0 P ∴E(X)= = . = , = , , ,

1

2

3

点评: 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、 数学期望的求法, 是中档题, 解题时要认真审题. 21. (14 分)已知椭圆 C 的焦点为 F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ,且椭圆 C 的下顶点到直线 x+y﹣2=0 的距离为 3 /2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若一直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B(A、B 不是椭圆 C 的顶点)两点,以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的上顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

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分析: (1)通过题意可设椭圆 C 的方程:

(a>b>0) ,利用点(0,﹣b)到

直线 x+y﹣2=0 的距离公式可得 b=1,结合 c= ,计算即得结论; (2)通过联立直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 的方程, 利用韦达定理,结合 AQ⊥BQ, 计算可得 m=1 或 m=﹣ ,进而可得结论. 解答: (1)解:∵椭圆 C 的焦点为 F1(﹣ ∴可设椭圆 C 的方程为: , 0) ,F2( ,0) ,

(a>b>0) ,

∵椭圆 C 的下顶点(0,﹣b)到直线 x+y﹣2=0 的距离为 ∴ ∴a= = = ,解得 b=1, = ; ,



∴椭圆 C 的方程为:

(2)证明:设椭圆 C 的上顶点为 Q(0,1) ,

联立

,消去 y 整理得: ( +k )x +2kmx+m ﹣1=0,

2

2

2

∵直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B(A、B 不是椭圆 C 的顶点)两点, ∴△=4k m ﹣4( +k ) (m ﹣1)=4(k ﹣ m + )>0,即 3k ﹣m +1>0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=﹣ ,x1x2= , ,
2 2 2 2 2 2 2 2

∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=

y1y2= (kx1+m) (kx2+m) =k x1x2+km (x1+x2) +m =k ?

2

2

2

+km (﹣

) +m =

2



∵AQ⊥BQ,∴x1x2+(y1﹣1) (y2﹣1)=0,即 x1x2+y1y2﹣(y1+y2)+1=0, ∴ + ﹣ +1=0,

化简得:2m ﹣m﹣1=0,解得 m=1 或 m=﹣ , 当 m=1 时,直线 l:y=kx+1 过定点 Q(0,1) ,与已知矛盾;

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 m=﹣ 时,满足 3k ﹣m +1>0, 此时直线 l:y=kx﹣ 过定点(0,﹣ ) , ∴直线 l 过定点(0,﹣ ) . 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问 题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
2 2



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