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空间中的垂直关系训练题



必修 2 第二章

学好数学,决胜高考,幸福一生

训练题
1. PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面,C 为圆周上异于 A、B 的任意一点,则∠BCP=90° 2. 直线 l 是平面 的一条斜线,则过 l 和平面 垂直的平面有 1 个。 3. ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,在平面 PAB、PBC、PCD、PDA 和 ABCD 中,请写出互相 垂直的平面一共有 5 对。 4. 下列命题 ①若直线 a//平面 M,直线 ,则 ; ②若直线 平面 M,直线 ,且 ,则 a//M; ③若直线 a 平行于平面 M 内的两条直线,则 a//M; ④若直线 a 垂直于平面 M 内的两条直线,则 。 其中正确命题的个数是( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 满足: B. ,那么必有( A ) 5. 如果直线 l、m 与平面 A.

C. D. 6. 如图 13,ABCD 为正方形,过 A 作线段 SA⊥面 ABCD,又过 A 作与 SC 垂直的平面交 SB、 SC、SD 于 E、K、H,求证:E、H 分别是点 A 在直线 SB 和 SD 上的射影.

图 13 7. 如图 12,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥CD; (3)若二面角 PDCA=45° ,求证:MN⊥平面 PDC.

图 12 8. 如图 14,已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,且∠DAB=60° ,AD=AA1,F 为棱 BB1 的 中点,M 为线段 AC1 的中点.

图 14 (1)求证:直线 MF∥平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1;
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(3)求平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小. 9. (2007 福建高考,理 18)如图 22,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点.

图 22 (1)求证:AB1⊥平面 A1BD; (2)求二面角 AA1DB 的正弦值; (3)求点 C 到平面 A1BD 的距离.

答案
6. 如图 13,ABCD 为正方形,过 A 作线段 SA⊥面 ABCD,又过 A 作与 SC 垂直的平面交 SB、 SC、SD 于 E、K、H,求证:E、H 分别是点 A 在直线 SB 和 SD 上的射影.

图 13 证明:∵

? SA ? 平面 ABCD ? ? ? SA⊥BC, BC ? 平面 ABCD ?

又∵AB⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面 AHKE,∴SC⊥AE. 又 BC∩SC=C,∴AE⊥平面 SBC. ∴AE⊥SB,即 E 为 A 在 SB 上的射影.同理可证,H 是点 A 在 SD 上的射影. 7. 如图 12,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥CD; (3)若二面角 PDCA=45° ,求证:MN⊥平面 PDC.

图 12 证明:如图 13 所示,

图 13

2

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(1)取 PD 的中点 Q,连接 AQ、NQ,则 QN

1 DC,AM 2

1 DC, 2

∴QN AM. ∴四边形 AMNQ 是平行四边形.∴MN∥AQ. 又∵MN ? 平面 PAD,AQ ? 平面 PAD,∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD. 又∵AQ ? 平面 PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD. (3)由(2)知,CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AD,CD⊥PD. ∴∠PDA 是二面角 PDCA 的平面角.∴∠PDA=45° . 又∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面 PDC. 8. 如图 14,已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,且∠DAB=60° ,AD=AA1,F 为棱 BB1 的 中点,M 为线段 AC1 的中点.

图 14 (1)求证:直线 MF∥平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1; (3)求平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小. (1)证明:延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连接 AN. ∵F 是 BB1 的中点, ∴F 为 C1N 的中点,B 为 CN 的中点. 又 M 是线段 AC1 的中点,故 MF∥AN. 又∵MF ? 平面 ABCD,AN ? 平面 ABCD, ∴MF∥平面 ABCD. (2)证明:连接 BD,由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,可知 AA1⊥平面 ABCD, 又∵BD ? 平面 ABCD,∴A1A⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A=A,AC、A1A ? 平面 ACC1A1, ∴BD⊥平面 ACC1A1. 在四边形 DANB 中,DA∥BN 且 DA=BN, ∴四边形 DANB 为平行四边形. 故 NA∥BD,∴NA⊥平面 ACC1A1. 又∵NA ? 平面 AFC1, ∴平面 AFC1⊥平面 ACC1A1. (3)解:由(2),知 BD⊥平面 ACC1A1,又 AC1 ? 平面 ACC1A1,∴BD⊥AC1. ∵BD∥NA,∴AC1⊥NA. 又由 BD⊥AC,可知 NA⊥AC, ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角.
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在 Rt△ C1AC 中,tan∠C1AC=

C1C 1 ,故∠C1AC=30° . ? CA 3

∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30° 或 150° . 9. (2007 福建高考,理 18)如图 22,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点.

图 22 (1)求证:AB1⊥平面 A1BD; (2)求二面角 AA1DB 的正弦值; (3)求点 C 到平面 A1BD 的距离. 分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间 想象能力、逻辑思维能力和运算能力. (1)证明:如图 23,取 BC 中点 O,连接 AO.

图 23 ∵△ABC 为正三角形, ∴AO⊥BC. ∵在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1, ∴AO⊥平面 BCC1B1. 连接 B1O,在正方形 BB1C1C 中,O、D 分别为 BC、CC1 的中点, ∴B1O⊥BD.∴AB1⊥BD. 在正方形 ABB1A1 中,AB1⊥A1B, ∴AB1⊥平面 A1BD. (2)解:设 AB1 与 A1B 交于点 G,在平面 A1BD 中,作 GF⊥A1D 于 F,连接 AF,由(1),得 AB1⊥ 平面 A1BD, ∴AF⊥A1D. ∴∠AFG 为二面角 AA1DB 的平面角. 在△ AA1D 中,由等面积法可求得 AF= 又∵AG=

4 5 , 5

1 AB1= 2 , 2

∴sin∠AFG=

AG 2 10 . ? ? AF 4 5 4 5
4

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∴二面角 AA1DB 的正弦值为

10 . 4

(3)解:在△ A1BD 中,BD=A1D= 5 ,A1B= 2 2 , ∴S△ A1BD= 6 ,S△ BCD=1. 在正三棱柱中,A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3 . 设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d. 由 VA1—BCD=VC—A1BD, 得

1 1 S△ BCD· 3 = S△ A1BD· d, 3 3

∴d=

3S ?BCD 2 = . S ?A BD 2
1

∴点 C 到平面 A1BD 的距离为

2 . 2

5



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