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高二概率2



高二概率
一.选择题(共 8 小题) 1. (2013?山东模拟)抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数, 可随机出现 1 到 6 点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点 数分别记为 a,b,c,求长度为 a,b,c 的三条线段能构成等腰三角形的概率为( ) A. B. C. D.

2. (2010?碑

林区校级二模)一个人做掷骰子(均匀的正方体形状的骰子)游戏,在他连续 掷 5 次都掷出奇数点朝上的情况下,掷第 6 次奇数点朝上的概率是( ) A. B. C. D.

3. (2014?陈仓区校级一模)已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为 ,则他在 3 天乘车中,此班车至少有 2 天准时到站的概率为( A. B. C. ) D.

4. (2014?浙江校级模拟)甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分, 比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每 局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ξ 的期望 Eξ 为( A. B. C. D. )

5. (2012?江西模拟)甲袋中装有白球 3 个,黑球 5 个,乙袋内装有白球 4 个,黑球 6 个, 现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋, 充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋, 则甲 袋中的白球没有减少的概率为( ) A. B. C. D.

6. (2005?天津)某人射击一次击中的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标 的概率为( ) A. B. C. D.

7. (2004?山东)从 1,2,…,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为 偶数的概率是( ) A. B. C. D.

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8. (2013 春?吉安期末)电子手表厂生产某批电子手表正品率为 ,次品率为 ,现对该批 电子手表进行测试,设第 X 次首次测到正品,则 P(1≤X≤2013)等于( A. B. C. D. )

二.填空题(共 5 小题) 9. (2008?湖北)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹 钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90,则两个闹钟至 少有一准时响的概率是 . 10. (2008?南通模拟)分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数,依次记为 m 和 n,则 m>n 的概率为 .

11. (2007?湖北)某篮运动员在三分线投球的命中率是 ,他投球 10 次,恰好投进 3 个球 的概率 . (用数值作答)

12. (2007?福建)两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望 Eξ= . 13.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村 庄中交通不方便的村庄数,则 P(X=4)= . (用数字表示)

三.解答题(共 1 小题) 14. (2009?朝阳区二模)在袋子中装有 10 个大小相同的小球,其中黑球有 3 个,白球有 n (2≤n≤5,且 n≠3)个,其余的球为红球. (Ⅰ )若 n=5,从袋中任取 1 个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有 2 个红球的概率; (Ⅱ )从袋里任意取出 2 个球,如果这两个球的颜色相同的概率是 ,求红球的个数;

(Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,从袋里任意取出 2 个球.若取出 1 个白球记 1 分,取出 1 个黑球记 2 分,取出 1 个红球记 3 分.用 ξ 表示取出的 2 个球所得分数的和,写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望 Eξ.

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2015 年 06 月 12 日 daydayup525 的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 8 小题) 1. (2013?山东模拟)抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数, 可随机出现 1 到 6 点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点 数分别记为 a,b,c,求长度为 a,b,c 的三条线段能构成等腰三角形的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 压轴题;概率与统计. 分析: 先求出总的基本事件数,再求出可构成等腰三角形的基本事件数,代入古典概型概率 公式,可得三条线段能构成等腰三角形的概率 解答: 解:连续抛掷三次,点数分别为 a,b,c 的基本事件总数为 6×6×6=216 长度为 a,b,c 的三条线段能构成等腰三角形有下列几种情形 ① 当 a=b=c 时,能构成等边三角形,有 1,1,1;2,2,2;…;6,6,6 共 6 种可能. ② 当 a,b,c 恰有两个相等时,设三边长为 x,y,z,其中 x∈{2,3,4,5,6}且 x=z, 且 x≠y; 若 x=2,则 y 只能是 1 或 3,共有 2 种可能; 若 x=3,则 y 只以是 1,2,4,5,共有 4 种可能; 若 x=4,5,6,则 y 只以是集合{1,2,3,4,5,6}中除 x 外的任一个数,共有 3×5=15 种可能; ∴ 当 a,b,c 恰有两个相等时,符合要求的 a,b,c 共有 3×(2+4+3×5)=63
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故所求概率为 P=

=

故选 B 点评: 本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,列举时要注意不重不漏,分类列 举. 2. (2010?碑林区校级二模)一个人做掷骰子(均匀的正方体形状的骰子)游戏,在他连续 掷 5 次都掷出奇数点朝上的情况下,掷第 6 次奇数点朝上的概率是( ) A. B. C. D.

考点: 随机事件;等可能事件的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 求出投掷一枚均匀的正方体骰子奇数点朝上的概率即可解答. 解答: 解:无论哪一次掷骰子,都有 6 种情况, 其中有 3 种奇数点朝上,另外 3 种是偶数点朝上;
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故掷第 6 次奇数点朝上的概率是 .
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故选 A. 点评: 本题考查概率的求法, 解答此题的关键是熟知一枚均匀的正方体骰子不论投掷多少次 其奇数点或偶数点朝上或朝下的概率均不变. 3. (2014?陈仓区校级一模)已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为 ,则他在 3 天乘车中,此班车至少有 2 天准时到站的概率为( A. B. C. ) D.

考点: n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 求出此班车正好有 2 天准时到站的概率,再加上此班车 3 天都准时到站的概率,即得 所求. 解答: 解:此班车正好有 2 天准时到站的概率为 = .
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此班车 3 天都准时到站的概率为

=

, + = ,

故他在 3 天乘车中,此班车至少有 2 天准时到站的概率为

故选:C. 点评: 本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率,等可能事件的概率,体现了 分类讨论的数学思想,属于中档题. 4. (2014?浙江校级模拟)甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分, 比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每 局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ξ 的期望 Eξ 为( A. B. C. D. )

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止,所以随机变量 ξ 的所有可 能的取值为 2,4,6,利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一 个随机变量取值时对应的随机事件的概率,在有离散型随机的期望公式求出期望. 解答: 解:依题意知,ξ 的所有可能值为 2,4,6,
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设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为



若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果 对下轮比赛是否停止没有影响. 从而有 ,
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, 故 .

故选 B. 点评: 此题考查学生对于题意的准确理解, 以及对于随机变量的定义的理解及独立事件及其 公式的准确理解及应用,此外还考查了期望的定义. 5. (2012?江西模拟)甲袋中装有白球 3 个,黑球 5 个,乙袋内装有白球 4 个,黑球 6 个, 现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋, 充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋, 则甲 袋中的白球没有减少的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 甲袋中白球没有减少的两种情形;一是从甲袋中取出的球为黑球,此时不论从乙袋中 取何种球放回甲袋, 甲袋中的白球不会减少, 另一种情形为从甲袋中取出的球是白球, 放入乙袋,并由乙袋取白球放入甲. 解答: 解:甲袋中白球没有减少的两种情形;一是从甲袋中取出的球为黑球,记作事件 E, 此时不论从乙袋中取何种球放回甲袋,甲袋中的白球不会减少, 另一种情形为从甲袋中取出的球是白球,放入乙袋,此事件用 F1 表示, 并由乙袋取白球放入甲,用 F2 表示, 令 F=F1F2. 则所求事件为 E∪ F,且 E 与 F 互斥,
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显然 P(E)= , 下面计算 P(F) ,记 F1 为由甲袋取出白球(不放入乙袋) , F2 为当乙袋内有 5 个白球,6 个黑球时取出一球为白球, 则显然有 P(F1F2)=P(F1′ F2′ ) . 而 F1′ 与 F2′ 独立,故 P(F1′ F2′ )= ? ∴ P(E∪ F)=P(E)+P(F)= + ? = .

故选 B. 点评: 本题关键是看清题意,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指, 两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. 6. (2005?天津)某人射击一次击中的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标 的概率为( ) A. B. C. D.

考点: n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.

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专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题是一个 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率, 至少有两次击中目标包括两次击 中目标或三次击中目标,这两种情况是互斥的,根据独立重复试验概率公式和互斥事 件的概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知,本题是一个 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率, 射击一次击中的概率为 0.6,经过 3 次射击, ∴ 至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标,这两种情况是互斥的, ∴ 至少有两次击中目标的概率为 C3 0.6 ×0.4+C3 0.6 =
2 2 3 3

=

故选 A. 点评: 本题考查 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率,考查互斥事件的概率,是一个基础 题,这种题目可以作为选择和填空出现. 7. (2004?山东)从 1,2,…,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为 偶数的概率是( ) A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 压轴题. 3 分析: 从 9 个数中随机抽取 3 个不同的数,共有 C9 种取法,3 个数的和为偶数包括抽取 3 个数全为偶数,或抽取 3 数中 2 个奇数 1 个偶数,用组合数表示出算式,根据古典概 型公式得到结果. 3 解答: 解:基本事件总数为 C9 ,设抽取 3 个数,和为偶数为事件 A, 则 A 事件数包括两类:抽取 3 个数全为偶数, 3 1 2 或抽取 3 数中 2 个奇数 1 个偶数,前者 C4 ,后者 C4 C5 . 3 1 2 ∴ A 中基本事件数为 C4 +C4 C5 .
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∴ 符合要求的概率为

=



点评: 本题不能列举出基本事件,可以用组合数表示,如何判断一个试验是否是古典概型, 分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数 是解题的关键.

8. (2013 春?吉安期末)电子手表厂生产某批电子手表正品率为 ,次品率为 ,现对该批 电子手表进行测试,设第 X 次首次测到正品,则 P(1≤X≤2013)等于( A. B. C. D. )

考点: 超几何分布. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出 P(X=0) ,即第 0 次首次测到正品,即全是次品的概率,从而可得结论.
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解答: 解:由题意,P(X=0)= ∴ P(1≤X≤2013)=1﹣P(X=0)= 故选 B. 点评: 本题考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率,考查学生的计算能力,属于中档 题. 二.填空题(共 5 小题) 9. (2008?湖北)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹 钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90,则两个闹钟至 少有一准时响的概率是 0.98 . 考点: 等可能事件的概率. 专题: 压轴题. 分析: 两个闹钟至少有一准时响包括三种结果,即两个都准时响,只有一个准时响, .而它 的对立事件是两个闹钟都不准时响, 两个闹钟都不准时响的概率是 (1﹣0.8) (1﹣0.9, 由对立事件的概率公式得到结果. 解答: 解:∵ 两个闹钟至少有一准时响包括三种结果,即两个都准时响,只有一个准时响, 而它的对立事件是两个闹钟都不准时响, 两个闹钟都不准时响的概率是(1﹣0.8) (1﹣0.9)=0.02, 由对立事件的概率公式得到 ∴ 至少有一准时响的概率是 1﹣0.02=0.98 故答案为:0.98. 点评: 本题主要考查古典概型和对立事件,正难则反是解题是要时刻注意的,我们尽量用简 单的方法来解题,这样可以避免一些繁琐的运算,使得题目看起来更加清楚明了.
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10. (2008?南通模拟)分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数,依次记为 m 和 n,则 m>n 的概率为 .

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意知本题是一个几何概型, 根据所给的条件作出试验发生是包含的所有事件是一 个矩形区域,做出面积,看出满足条件的事件对应的面积,根据几何概型公式得到结 果. 解答: 解:由题意知本题是一个几何概型, ∵ 试验包含的所有事件是以 m,n 为横轴,纵轴建立直角坐标系,1≤m≤6,2≤n≤4, 构成一矩形封闭区域,它的面积 5×2=10, 而满足条件的事件是作直线 l:m=n l 与矩形区域相交, 把它分成两部分,下面得部分即为 m>n 的区域,它的面积为 6
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∴ 由几何概型概率公式得到 m>n 的概率为

=

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故答案为: 点评: 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型, 古典概型要求能够列举出所有事件和发 生事件的个数, 而不能列举的就是几何概型, 几何概型的概率的值是通过长度、 面积、 和体积、的比值得到.

11. (2007?湖北)某篮运动员在三分线投球的命中率是 ,他投球 10 次,恰好投进 3 个球 的概率 . (用数值作答)

考点: n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件 A 的概率不变, 并且每次试验的结果 同其他各次试验的结果无关,重复是指试验为一系列的试验,并非一次试验,而是多 次,但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响. 解答: 解:∵ 由题意知运动员在三分线投球的命中率是定值,投球 10 次 ∴ 本题是一个独立重复试验
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∴ 所求概率 故答案为: 点评: 本题考查 n 次独立重复试验中,某事件恰好发生 k 次的概率,直接用公式解决.易错 点是把“恰好投进 3 个球”错误理解为某三次投进球,忽略“三次”的任意性. 12. (2007?福建)两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望 Eξ= .

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 压轴题. 分析: 由题意知 ξ 的取值有 0,1,2,当 ξ=0 时,表示的事件是 A 邮箱的信件数为 0,由分 步计数原理知两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,共有 3×3 种结果,而满足条件 的 A 邮箱的信件数为 0 的结果数是 2×2,由古典概型公式得到 ξ=0 时的概率,同理可 得 ξ=1 时,ξ=2 时的概率,用期望公式得到结果. 解答: 解:由题意知 ξ 的取值有 0,1,2, 当 ξ=0 时,即 A 邮箱的信件数为 0, 由分步计数原理知两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,共有 3×3 种结果, 而满足条件的 A 邮箱的信件数为 0 的结果数是 2×2, 由古典概型公式得到 ξ=0 时的概率,同理可得 ξ=1 时,ξ=2 时的概率
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∴ Eξ= 故答案为: . 点评: 本题考查离散型随机变量的期望,本题这种类型是近几年高考题中经常出现的,考查 离散型随机变量的分布列和期望,大型考试中理科考试必出的一道问题. 13.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村 庄中交通不方便的村庄数,则 P(X=4)= . (用数字表示)

考点: 超几何分布. 专题: 计算题;应用题. 分析: 由题意本题是一个超几何分布的问题,P(X=4)即取出的 10 个村庄中交通不方便的 村庄数为四,由公式算出概率即可 解答:
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解:由题意 P(X=4)=

=

=

故答案为: 点评: 本题考查超几何分布概率模型, 解本题的关键是能归纳出本题的概率模型以及概率的 计算公式. 三.解答题(共 1 小题) 14. (2009?朝阳区二模)在袋子中装有 10 个大小相同的小球,其中黑球有 3 个,白球有 n (2≤n≤5,且 n≠3)个,其余的球为红球. (Ⅰ )若 n=5,从袋中任取 1 个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有 2 个红球的概率; (Ⅱ )从袋里任意取出 2 个球,如果这两个球的颜色相同的概率是 ,求红球的个数;

(Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,从袋里任意取出 2 个球.若取出 1 个白球记 1 分,取出 1 个黑球记 2 分,取出 1 个红球记 3 分.用 ξ 表示取出的 2 个球所得分数的和,写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望 Eξ. 考点: 超几何分布;n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率;离散型随机变量的期望与方 差. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )先求出从袋中任取 1 个球是红球的概率,再利用独立事件的概率公式可求三次 取球中恰有 2 个红球的概率;
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(Ⅱ )根据从袋中一次任取 2 个球,如果这 2 个球颜色相同的概率是

建立等式关

系,求出 n 的值,从而求出红球的个数. (Ⅲ )ξ 的取值为 2,3,4,5,6,然后分别求出对应的概率,列出分布列,最后根据
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数学期望的公式解之即可; 解答: 解: (Ⅰ )设“从袋中任取 1 个球是红球”为事件 A,则 所以, 答:三次取球中恰有 2 个红球的概率为 . . …(4 分)



(Ⅱ )设“从袋里任意取出 2 个球,球的颜色相同”为事件 B,则 , 整理得:n ﹣7n+12=0,解得 n=3(舍)或 n=4. 所以,红球的个数为 3 个. …(8 分) (Ⅲ )ξ 的取值为 2,3,4,5,6,且 , ,
2

, 所以 ξ 的分布列为 ξ 2 3 4 P 所以,





5

6

.…(13 分)

点评: 本题以摸球为素材,主要考查相互独立事件的概率的求法,考查了离散型随机变量的 期望与分布列,解题的关键是正确利用公式求概率.

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